第二章 参数方程单元测试卷
[时间：120分钟 满分：150分]
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．与参数方程(t为参数)等价的普通方程为( )
A．x2＋＝1 B．x2＋＝1(0≤x≤1)
C．x2＋＝1(0≤y≤2) D．x2＋＝1(0≤x≤1，0≤y≤2)
答案 D
2．对于任意实数k，方程表示的图形经过的定点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 对于任意实数k，方程表示的图形是经过定点(－3，4)的直线，所以定点在第二象限．
3．点(1，2)与圆的位置关系是( )
A．点在圆内 B．点在圆外
C．点在圆上 D．与θ的值有关
答案 A
解析 圆的普通方程为(x＋1)2＋y2＝9cos2θ＋9sin2θ＝9，点(1，2)的坐标满足(1＋1)2＋22＝8<9，所以点在圆内．
4．直线(t为参数)上与点P(－2，3)的距离为的点的坐标是( )
A．(－4，5) B．(－3，4)
C．(－3，4)或(－1，2) D．(－4，5)或(0，1)
答案 C
5．曲线(φ为参数)的极坐标方程为( )
A．ρ＝sinθ B．ρ＝sin2θ
C．ρ＝2sinθ D．ρ＝2cosθ
答案 C
解析 曲线(φ为参数)的普通方程为x2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2＝2y.化为极坐标方程为ρ＝2sinθ.
6．直线l的参数方程为(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，b)之间的距离是( )
A．|t1| B．2|t1|
C.|t1| D.|t1|
答案 C
解析 直线l的参数方程为(t为参数)
令t＝t′，化为标准形式为(t′为参数)点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，b)之间的距离是|t1|.
7．过点(0，2)且与直线(t为参数)互相垂直的直线方程为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 直线化为普通方程为y＝x＋1－2，其斜率k1＝，设所求直线的斜率为k，由kk1＝－1，得k＝－，故参数方程为(t为参数)．
8．若动点(x，y)在曲线＋＝1(b>0)上变化，则x2＋2y的最大值为( )
A. B.
C.＋4 D．2b
答案 A
9．双曲线(θ为参数)，那么它的两条渐近线所成的锐角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
答案 C
10．已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，它们的交点坐标为( )
A．(1，) B．(1，)
C．(，) D．(，)
答案 B
解析 将两曲线的参数方程化为一般方程分别为＋y2＝1(y≥0，x≠－)和y2＝x，联立解得交点坐标为(1，)，故选B.
11．圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q(－2，2)是圆上一点，则参数θ的值是( )
A. B.π
C.π D.π
答案 B
解析 由4cosθ＝－2，得θ＝π或θ＝π.
由4sinθ＝2，得θ＝或θ＝π，故θ＝π.
12．直线(t为参数)被圆(x－3)2＋(y＋1)2＝25所截得的弦长为( )
A．7 B．40
C. D.
答案 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)
13．已知直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0与曲线(θ为参数)有且仅一个公共点，则正实数a的值为________．
答案 2
解析 直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0的直角坐标方程为3x＋4y＋a＝0，曲线(θ为参数)的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，因为直线与圆有且仅有一个公共点，则d＝＝1，解得a＝2或a＝－8，所以正实数a的值为2.
14．若过点P(－3，3)且倾斜角为的直线交曲线于A、B两点，则|AP|·|PB|＝______．
答案
解析 直线的参数方程为(t为参数)，依题意得
消去θ，得t2＋t＋＝0.
设其两根为t1、t2，则t1t2＝，
∴|AP|·|PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝.
15．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：则C上各点到l的距离的最小值为________．
答案 2－2
解析 圆方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，
∴圆心到直线的距离为d＝＝2.
∴距离最小值为2－2.
16．已知直线l：(t为参数)与圆C：(θ为参数)相切，则α＝________．
答案 0或
解析 直线l：(t为参数)的普通方程式为y＝tanα(x－)，
且过定点A(，0)，倾斜角为α，
圆C：(θ为参数)的普通方程为
x2＋(y－1)2＝1.
圆心为C(0，1)，半径为r＝1，且与x轴相切于点O，如图，设过A的直线与⊙C切于另一点B，由于|AC|＝＝2，|OC|＝1，
∴∠OAC＝，由对称性知∠OAB＝，故直线AB的倾斜角为.
综上所述，α＝0或.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ＋cosθ)＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解析 (1)圆C的普通方程是(x－1)2＋y2＝1，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以圆C的极坐标方程是ρ＝2cosθ.
(2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，
则有解得
设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，
则有解得
由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2，
所以线段PQ的长为2.
18．已知点Q(2，0)和点P(2cosα，2sinα＋2)，α∈[0，2π)．线段PQ的中点为M.
(1)求点M的轨迹的参数方程；
(2)设点P的轨迹与点M的轨迹交于A，B两点，求△QAB的面积．
解析 (1)由中点公式可得M(cosα＋1，sinα＋1)，所以点M的轨迹方程为参数α∈[0，2π)．
(2)由且α∈[0，2π)得点P的轨迹方程为x2＋(y－2)2＝4.①
由(1)知点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.②
①－②得公共弦所在直线的方程为x－y＝.③
将③与①联立方程组，得2x2－5x＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝，
可求得|AB|＝·|x1－x2|＝，点Q到直线x－y＝的距离为，所以△QAB的面积为S＝××＝.
19．(12分)已知平面直角坐标系xOy中，过点P(－1，－2)的直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ·sinθ·tanθ＝2a(a>0)，直线l与曲线C相交于不同的两点M，N.
(1)求曲线C和直线l的普通方程；
(2)若|PM|＝|MN|，求实数a的值．
解析 (1)因为(t为参数)
直线l的普通方程为x－y－1＝0，
因为ρsinθtanθ＝2a，
所以ρ2sin2θ＝2aρcosθ，
由得曲线C的普通方程为y2＝2ax(a>0)．
(2)因为y2＝2ax，a>0，所以x≥0，设直线l上的点M，N对应的参数分别是t1，t2(t1>0，t2>0)，
则|PM|＝t1，|PN|＝t2，
因为|PM|＝|MN|，所以|PM|＝|PN|，所以t2＝2t1.
将代入y2＝2ax得t2－2(a＋2)t＋4(a＋2)＝0，
所以
又因为t2＝2t1，所以a＝.
20．(12分)(2016·沈阳高二检测)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程是ρ＝，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M(－1，0)，直线l与曲线C交于A，B两点．
(1)求直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；
(2)线段MA，MB长度分别记为|MA|，|MB|，求|MA|·|MB|的值．
解析 (1)直线l：(t为参数)的直角坐标方程为x－y＋1＝0，
所以极坐标方程为ρcos(θ＋)＝－1，曲线C：ρ＝，即(ρcosθ)2＝ρsinθ，所以曲线的普通方程为y＝x2.
(2)将代入y＝x2
得t2－3t＋2＝0，所以t1t2＝2，
所以|MA|·|MB|＝|t1t2|＝2.
21．(12分)(2016·大同高二检测)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝cos(θ＋)．
(1)求直线l被曲线C所截得的弦长；
(2)若M(x，y)是曲线C上的动点，求x＋y的最大值．
解析 (1)直线l的参数方程化为普通方程为3x＋4y＋1＝0.
曲线C化为普通方程为x2＋y2－x＋y＝0.
圆心到直线的距离d＝＝，圆的半径r＝.
所以弦长＝2＝.
(2)设曲线C上的动点M为(＋cosθ，－＋sinθ)，
则x＋y＝cosθ＋sinθ＝sin(θ＋)，其最大值为1.
22．(12分)(2015·新课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1: x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N ，求△C2MN的面积．
解析 (1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
∴C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，
得ρ2－3ρ＋4＝0，
解得ρ1＝2，ρ2＝，|MN|＝ρ1－ρ2＝，
因为C2的半径为1，
则△C2MN的面积××1×sin45°＝.
PAGE
1
第二章 参数方程单元测试卷
[时间：120分钟 满分：150分]
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．与参数方程(t为参数)等价的普通方程为( )
A．x2＋＝1 B．x2＋＝1(0≤x≤1)
C．x2＋＝1(0≤y≤2) D．x2＋＝1(0≤x≤1，0≤y≤2)
2．对于任意实数k，方程表示的图形经过的定点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．点(1，2)与圆的位置关系是( )
A．点在圆内 B．点在圆外
C．点在圆上 D．与θ的值有关
4．直线(t为参数)上与点P(－2，3)的距离为的点的坐标是( )
A．(－4，5) B．(－3，4)
C．(－3，4)或(－1，2) D．(－4，5)或(0，1)
5．曲线(φ为参数)的极坐标方程为( )
A．ρ＝sinθ B．ρ＝sin2θ
C．ρ＝2sinθ D．ρ＝2cosθ
6．直线l的参数方程为(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，b)之间的距离是( )
A．|t1| B．2|t1|
C.|t1| D.|t1|
7．过点(0，2)且与直线(t为参数)互相垂直的直线方程为( )
A. B.
C. D.
8．若动点(x，y)在曲线＋＝1(b>0)上变化，则x2＋2y的最大值为( )
A. B.
C.＋4 D．2b
9．双曲线(θ为参数)，那么它的两条渐近线所成的锐角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
10．已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，它们的交点坐标为( )
A．(1，) B．(1，)
C．(，) D．(，)
11．圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q(－2，2)是圆上一点，则参数θ的值是( )
A. B.π
C.π D.π
12．直线(t为参数)被圆(x－3)2＋(y＋1)2＝25所截得的弦长为( )
A．7 B．40
C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)
13．已知直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0与曲线(θ为参数)有且仅一个公共点，则正实数a的值为________．
14．若过点P(－3，3)且倾斜角为的直线交曲线于A、B两点，则|AP|·|PB|＝______．
15．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：则C上各点到l的距离的最小值为________．
16．已知直线l：(t为参数)与圆C：(θ为参数)相切，则α＝________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ＋cosθ)＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
18．(12分)已知点Q(2，0)和点P(2cosα，2sinα＋2)，α∈[0，2π)．线段PQ的中点为M.
(1)求点M的轨迹的参数方程；
(2)设点P的轨迹与点M的轨迹交于A，B两点，求△QAB的面积．
19．(12分)已知平面直角坐标系xOy中，过点P(－1，－2)的直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ·sinθ·tanθ＝2a(a>0)，直线l与曲线C相交于不同的两点M，N.
(1)求曲线C和直线l的普通方程；
(2)若|PM|＝|MN|，求实数a的值．
20．(12分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程是ρ＝，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M(－1，0)，直线l与曲线C交于A，B两点．
(1)求直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；
(2)线段MA，MB长度分别记为|MA|，|MB|，求|MA|·|MB|的值．
21．(12分)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝cos(θ＋)．
(1)求直线l被曲线C所截得的弦长；
(2)若M(x，y)是曲线C上的动点，求x＋y的最大值．
22．(12分)在直角坐标系xOy中，直线C1: x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N ，求△C2MN的面积．
PAGE
1
