第二章 几何重要的不等式单元测试卷
[时间120分钟 满分150分]
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．下列命题正确的是( )
A.＋≥2成立当且仅当a，b均为正数
B．a＋b＋c≥3成立当且仅当a，b，c均为正数
C．logab＋logbc＋logca≥3成立当且仅当a，b，c∈(1，＋∞)
D．|a＋|≥2成立当且仅当a≠0
答案 D
解析 ①当a＝－2，b＝－1时，＋≥2成立，但a，b不是正数，故A错．
②当a＝b＝c＝－1时，a＋b＋c≥3，但a，b，c不是正数，于是B错．
③当a＝b＝c＝时，logab＋logbc＋logca≥3成立，但a，b，c均不属于(1，＋∞)．故C错．故选D.
2．设a，b∈R，且a2＋b2＝10，则3a＋b的最大值为( )
A．－10 B．10
C．－5 D．5
答案 B
解析 由柯西不等式，得(a2＋b2)·(32＋12)≥(3a＋b)2.
∴10·10≥(3a＋b)2，∴－10≤3a＋b≤10.
故选B.
3．设x＋y＋z＝1，则2x2＋3y2＋z2的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案 D
4．已知a，b，x1，x2∈R＋，ab＝1，x1＋x2＝2，则M＝(ax1＋bx2)·(bx1＋ax2)与4的大小关系是( )
A．M>4 B．M<4
C．M≥4 D．M≤4
答案 C
5．设a1，a2，a3为正数，E＝＋＋，F＝a1＋a2＋a3，则E，F的大小关系是( )
A．E
C．E＝F D．E≤F
答案 B
6．(1＋1)·(1＋)·…·(1＋)的取值范围是( )
A．(21，＋∞) B．(61，＋∞)
C．(4，＋∞) D．(3n－2，＋∞)
答案 C
解析 令A＝(1＋1)(1＋)·…·(1＋)
＝2×××…×，
B＝×××…×，
C＝×××…×，
由于>>，>>，>>，…，>>>0，
∴A>B>C>0，∴A3>A·B·C＝64，∴A>4.
7．若命题A(n)(n∈N＋)在n＝k(k∈N＋)时成立，则有n＝k＋1时命题也成立．现知命题对n＝n0(n0∈N＋)时成立，则有( )
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
答案 C
8．函数y＝＋(x∈(0，))的最小值是( )
A．20 B．25
C．27 D．18
答案 B
9．满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n＝( )
A．1 B．1或2
C．1，2，3 D．1，2，3，4
答案 C
10．从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n级台阶共有f(n)种走法，则下面的猜想正确的是( )
A．f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n≥3) B．f(n)＝2f(n－1)(n≥2)
C．f(n)＝2f(n－1)－1(n≥2) D．f(n)＝f(n－1)f(n－2)(n≥3)
答案 A
11．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋an－1(n∈N＋)，用数学归纳法证明a4n能被4整除，假设a4k能被4整除，然后应该证明( )
A．a4k＋1能被4整除 B．a4k＋2能被4整除
C．a4k＋3能被4整除 D．a4k＋4能被4整除
答案 D
12．已知n为正偶数，用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋＝2(＋＋…＋)时，若已假设n＝k(k≥2且为偶数)时，等式成立，则还需要利用归纳假设再证( )
A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立
答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上．)
13．函数y＝3＋4的最大值为________．
答案 10
14．已知0答案
15．用数学归纳法证明cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α＝(sinα≠0，n∈N＋)，在验证n＝1时，等式右边的式子是________．
答案 cosα
解析 当n＝1时，右边＝＝＝cosα.
16．已知数列{an}，其中a2＝6，且满足＝n，则a1＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________．
答案 1 15 28 n(2n－1)
解析 由已知可得＝1，＝2，＝3，
将a2＝6代入以上三式，解得a1＝1，a3＝15，a4＝28.
由于a1＝1，a2＝2×3，a3＝3×5，a4＝4×7，
猜想得an＝n(2n－1)．
三、解答题(共大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本题满分10分)
求函数y＝3＋的最大值．
解析 由题可知函数的定义域满足
即x∈[1，5]，
令α＝(3，)，β＝(，)．
而y＝3＋＝3·＋·＝|α·β|≤|α|·|β|＝·＝·＝2.
当且仅当3·＝·，
即x＝时，取等号，所以y的最大值为2.
18．(本题满分12分)
已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，求证：＋＋≥36.
证明 (x＋y＋z)(＋＋)≥(·＋·＋·)2＝(1＋2＋3)2＝36，
当且仅当x2＝y2＝z2，
即x＝，y＝，z＝时，等号成立．
19．(本题满分12分)设x>0，y>0，且x＋y＝2，求＋的最小值．
解析 因为x＋y＝2，根据柯西不等式，有[(2－x)＋(2－y)](＋)＝[()2＋()2][()2＋()2]≥(·＋·)2＝(x＋y)2＝4，
所以＋≥＝＝＝2.
当且仅当·＝·，即x＝y＝1时，等号成立．
所以当x＝y＝1时，＋有最小值2.
20．(本题满分12分)
1×2×3＋2×3×4＋…＋n×(n＋1)×(n＋2)＝(n∈N＋)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝1×2×3＝6，右边＝＝6＝左边，所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，
即1×2×3＋2×3×4＋…＋k×(k＋1)×(k＋2)＝.
则当n＝k＋1时，左边＝1×2×3＋2×3×4＋…＋k×(k＋1)×(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)
＝＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)
＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)(＋1)
＝.
所以由n＝k＋1时，等式成立．
由(1)、(2)可知，原不等式对于任意n∈N＋都成立．
21．(本题满分12分)
已知正项数列{an}和{bn}中，a1＝a(0(1)证明：对任意n∈N＋，有an＋bn＝1；
(2)求数列{an}的通项公式．
解析 (1)用数学归纳法证明．
①当n＝1时，a1＋b1＝a＋(1－a)＝1，命题成立；
②假设n＝k(k≥1)时命题成立，即ak＋bk＝1，
则当n＝k＋1时，ak＋1＋bk＋1＝akbk＋1＋bk＋1＝(ak＋1)·bk＋1＝(ak＋1)·＝＝＝1.
所以当n＝k＋1时，命题也成立．
由①②可知，an＋bn＝1对n∈N＋恒成立．
(2)因为an＋1＝anbn＋1＝＝＝，
所以＝＝＋1，即－＝1.
数列{}是公差为1的等差数列，其首项为＝，＝＋(n－1)×1，从而an＝(022．(本题满分12分)
在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)．
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；
(2)证明：＋＋…＋<.
解析 (1)由条件得2bn＝an＋an＋1，an＋12＝bnbn＋1.
由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.
猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，由上可得结论成立．
②假设当n＝k(k≥1)时，结论成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2.那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，
bk＋1＝＝(k＋2)2.所以当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．
(2)＝<.
当n≥2时，由(1)知an＋bn
＝(n＋1)(2n＋1)>2(n＋1)·n.
故＋＋…＋<＋[＋＋…＋]＝＋(－＋－＋…＋－)＝＋(－)<＋＝.
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第二章 几何重要的不等式单元测试卷
[时间120分钟 满分150分]
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．下列命题正确的是( )
A.＋≥2成立当且仅当a，b均为正数
B．a＋b＋c≥3成立当且仅当a，b，c均为正数
C．logab＋logbc＋logca≥3成立当且仅当a，b，c∈(1，＋∞)
D．|a＋|≥2成立当且仅当a≠0
2．设a，b∈R，且a2＋b2＝10，则3a＋b的最大值为( )
A．－10 B．10
C．－5 D．5
3．设x＋y＋z＝1，则2x2＋3y2＋z2的最小值为( )
A. B.
C. D.
4．已知a，b，x1，x2∈R＋，ab＝1，x1＋x2＝2，则M＝(ax1＋bx2)·(bx1＋ax2)与4的大小关系是( )
A．M>4 B．M<4
C．M≥4 D．M≤4
5．设a1，a2，a3为正数，E＝＋＋，F＝a1＋a2＋a3，则E，F的大小关系是( )
A．EC．E＝F D．E≤F
6．(1＋1)·(1＋)·…·(1＋)的取值范围是( )
A．(21，＋∞) B．(61，＋∞)
C．(4，＋∞) D．(3n－2，＋∞)
7．若命题A(n)(n∈N＋)在n＝k(k∈N＋)时成立，则有n＝k＋1时命题也成立．现知命题对n＝n0(n0∈N＋)时成立，则有( )
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
8．函数y＝＋(x∈(0，))的最小值是( )
A．20 B．25
C．27 D．18
9．满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n＝( )
A．1 B．1或2
C．1，2，3 D．1，2，3，4
10．从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n级台阶共有f(n)种走法，则下面的猜想正确的是( )
A．f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n≥3) B．f(n)＝2f(n－1)(n≥2)
C．f(n)＝2f(n－1)－1(n≥2) D．f(n)＝f(n－1)f(n－2)(n≥3)
11．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋an－1(n∈N＋)，用数学归纳法证明a4n能被4整除，假设a4k能被4整除，然后应该证明( )
A．a4k＋1能被4整除 B．a4k＋2能被4整除
C．a4k＋3能被4整除 D．a4k＋4能被4整除
12．已知n为正偶数，用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋＝2(＋＋…＋)时，若已假设n＝k(k≥2且为偶数)时，等式成立，则还需要利用归纳假设再证( )
A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上．)
13．函数y＝3＋4的最大值为________．
14．已知015．用数学归纳法证明cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α＝(sinα≠0，n∈N＋)，在验证n＝1时，等式右边的式子是________．
16．已知数列{an}，其中a2＝6，且满足＝n，则a1＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________．
三、解答题(共大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本题满分10分)
求函数y＝3＋的最大值．
19．(本题满分12分)设x>0，y>0，且x＋y＝2，求＋的最小值．
20．(本题满分12分)
1×2×3＋2×3×4＋…＋n×(n＋1)×(n＋2)＝(n∈N＋)．
21．(本题满分12分)
已知正项数列{an}和{bn}中，a1＝a(0(1)证明：对任意n∈N＋，有an＋bn＝1；
(2)求数列{an}的通项公式．
22．(本题满分12分)
在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)．
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；
(2)证明：＋＋…＋<.
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