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人教必修二
第九章
9.2.4总体离散程度的估计
问题导入
问题一：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4，乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 ，如果你是教练，你如何对两位运动员的设计情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？?
?
通过上述数据计算得出：甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7。
从这三个数据来看，两名运动员没有差别。
问题导入
根据以上数据作出频率分布直方图，如下：
由上图发现：甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中。
即甲的成绩波动幅度较大，而乙的成绩比较稳定。
可见，他们的射击成绩是存在差异的。
问题导入
问题二：上述问题中，甲、乙的平均数、中位数、众数相同，但二者的射击成绩存在差异，那么，如何度量这种差异呢？
我们可以利用极差进行度量。
根据上述数据计算得：甲的极差=10-4=6 乙的极差=9-5=4
极差在一定程度上刻画了数据的离散程度。
由极差发现甲的成绩波动范围比乙的大。
但由于极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，所含的信息量很少。也就是说，极差度量出的差异误差较大。
问题三：你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗？
我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；
相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远。
因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度。
问题导入
思考一：如何定义“平均距离”？?
知识探究（一）：方差与标准差
知识探究（一）：方差与标准差
知识探究（一）：方差与标准差
标准差：考察样本数据的_ ______________最常用的统计量，是样本数据到_______的一种__________，一般用
标准差的表达式：
分散程度的大小
平均距离
平均数
方差的表达式：
思考二：标准差的范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？?
知识探究（一）：方差与标准差
思考三：标准差和方差是怎样刻画数据的离散程度的？
标准差和方差刻画了数据的离散程度或波动幅度。
标准差（或方差）越大，数据的离散程度越大，越不稳定；
标准差（或方差）越小，数据的离散程度越小，越稳定。
s=0表示这组数据中的每个数据到平均数的距离都是0，这组数据的每个数据是相等的。
知识探究（一）：方差与标准差
显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的；但在实际问题中，一般多采用标准差。
在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的，就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常也用样本标准差估计总体标准差。
在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性。
接下来我们再来探究问题一：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4，乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 ，如果你是教练，你如何对两位运动员的设计情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？??
知识探究（一）：方差与标准差
我们可以根据标准差来判断两名运动员的成绩的离散程度，计算可得s甲=2，s乙≈1.095.
即s甲>s乙，由此可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小。由此可以估计，乙比甲的成绩稳定。
因此，如果要从这两名选手中选择一名参赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置。
如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则选甲。
知识探究（一）：方差与标准差
例题讲解
例1、在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？
例题讲解
例题讲解
样本标准差刻画了数据离平均数波动的幅度大小，平均数和标准差一起能反映数据取值的信息。
思考四： 你能根据下图计算出样本平均数和样本标准差吗？
知识探究（一）：方差与标准差
知识探究（一）：方差与标准差
例题讲解
例2、甲乙两人同时生产内径为24mm的一种零件。为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出5件，测得其内径尺寸如下(单位：mm )：
甲：22，25，23，23，27 乙：25，24，22，25，24
从生产的零件内径尺寸看，谁生产的质量较高？
解：
例题讲解
即 甲、乙生产的零件内径的平均数相等，但乙的稳定程度高，
所以，乙生产的零件的质量比甲的高一些。
课堂巩固
1、某校举行2014年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数为：79，84，84，87，84，86，93. 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为_________、_________。
2、抛硬币20次，正面12次，反面8次．如果抛到正面得3分，抛到反面得1分，则平均得分是________，得分的方差是________．
85
1.6
2.2
0.96
课堂巩固
3、甲、乙两人数学成绩(单位：分)分别为：
甲：75 78 81 82 87 89 92 93 94 95 102
乙：81 84 86 88 93 98 98 99 103 105 110
（1）分别求出这两名同学的数学成绩的平均数及标准差；
（2）比较这两名同学的成绩，谈谈你的看法。
解：(1)
课堂巩固
(2)
乙的数学平均分比的甲高好多，但稳定性稍差一点.
例题讲解
例题讲解
例题讲解
例题讲解
例题讲解
知识总结
平均数、方差性质
课堂巩固
知识探究（二）：统计分析报告
思考五：近年来，我国肥胖人数的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患。
目前，国际上常用身体质量指数（BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式为
BMI=体重（单位：kg）/身高2（单位：m2）。中国成人的BMI数值标准为BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<23.9未正常；24≤BMI<27.9为偏胖；BMI≥28为肥胖。
某公司想要了解公司员工的身体肥胖情况，你认为有哪些工作需要完成？
知识探究（二）：统计分析报告
1、从公司员工体检数据中，对男、女员工分别采用分层抽样抽取样本，并计算得到BMI值；
2、将上述样本数据用频率分布直方图进行统计；
3、根据统计图和统计量判断样本的分布以及差异，并对男、女员工在肥胖状况上的差异进行比较；
4、根据上述样本数据来估计该公司员工胖瘦程度的整体情况；
5、根据总体的估计对该公司员工提出控制体重的建议。
知识探究（二）：统计分析报告
即统计案例分析报告包括以下几个过程：
调查背景
抽取样本，得到样本数据
统计样本数据
判断样本的分布情况
估计总体的分布情况
提出针对性的建议
知识探究（二）：统计分析报告
思考六：由以上案例，你能得出统计分析报告主要由哪几部分组成吗？
1、标题；
2、前言
简单交代调查的目的、方法、范围等背景情况，使读者了解调查的基本情况；
知识探究（二）：统计分析报告
3、主体
展示数据分析的全过程：
首先要明确所关心的问题是什么，说明数据蕴含的信息；
根据数据分析的需要，说明如何选择合适的图表描述和表达数据；从样本数据中提取能刻画其特征的量，如均值、方差等，用于比较男、女员工在肥胖状况上的差异；
通过样本估计总体的统计规律，分析公司员工胖瘦程度的整体情况。
知识探究（二）：统计分析报告
4、结尾
对主体部分的内容进行概括，结合控制体重的一般方法，提出控制公司员工体重的建议。
课堂小结
课本P214 习题9.2 第2、3、8题
作业布置
2、统计分析报告的主要组成部分
1、方差与标准差
1.方差与
标准差
2.统计分析报
告的主要
组成部分
四、作业布置
三、课堂小结
二、探索新知
一、问题导入
9.2.4 总体离散趋势的估计
板书设计
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9.2.4总体离散程度的估计教学设计
课题 9.2.4总体离散程度的估计 单元 第九单元 学科 数学 年级 高一
教材分析 本节内容是在抽样的基础上，根据样本数据对总体进行估计，本节主要估计总体的离散程度，同时，对比得出更好的估计离散程度的方法。
教学目标与核心素养 1.数学抽象：利用样本的离散程度估计总体的离散程度； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握方差和标准差，利用方差和标准差估计总体的离散程度。 4.直观想象：通过样本标准差等数据直观估计总体的离散程度； 5.数学运算:能够正确计算样本的标准差或方差；6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 方差与标准差，并利用方差与标准差估计总体的离散趋势
难点 方差与标准差
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 问题导入： 问题一：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4，乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 ，如果你是教练，你如何对两位运动员的设计情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？? 通过上述数据计算得出：甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7。 从这三个数据来看，两名运动员没有差别。 根据以上数据作出频率分布直方图，如下： 由上图发现：甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中。 即甲的成绩波动幅度较大，而乙的成绩比较稳定。 可见，他们的射击成绩是存在差异的。 问题二：上述问题中，甲、乙的平均数、中位数、众数相同，但二者的射击成绩存在差异，那么，如何度量这种差异呢？ 我们可以利用极差进行度量。 根据上述数据计算得：甲的极差=10-4=6 乙的极差=9-5=4 极差在一定程度上刻画了数据的离散程度。 由极差发现甲的成绩波动范围比乙的大。 但由于极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，所含的信息量很少。也就是说，极差度量出的差异误差较大。 问题三：你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗？ 我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远； 相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远。 因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度。 学生利用问题情景，引出本节新课内容——方差与标准差。 学生观察频率分布直方图，判断两名运动员的成绩的离散情况。 设置问题情境，回顾上节课知识点，同时激发学生学习兴趣，培养学生严谨的逻辑思维能力，并引出本节新课。 培养学生学会数形结合的方法和能力。
讲授新课 知识探究（一）：方差与标准差 思考一：如何定义“平均距离”？? 标准差：考察样本数据的分散程度的大小最常用的统计量，是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。 标准差的表达式.方差：标准差的平方 方差的表达式思考二：标准差的范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？? s=0表示这组数据中的每个数据到平均数的距离都是0，这组数据的每个数据是相等的。 思考三：标准差和方差是怎样刻画数据的离散程度的？ 标准差和方差刻画了数据的离散程度或波动幅度。 标准差（或方差）越大，数据的离散程度越大，越不稳定； 标准差（或方差）越小，数据的离散程度越小，越稳定。 显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的；但在实际问题中，一般多采用标准差。 在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的，就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常也用样本标准差估计总体标准差。 在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性。 接下来我们再来探究问题一：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4，乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 ，如果你是教练，你如何对两位运动员的设计情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？?? 我们可以根据标准差来判断两名运动员的成绩的离散程度，计算可得s甲=2，s乙≈1.095. 即s甲>s乙，由此可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小。由此可以估计，乙比甲的成绩稳定。 因此，如果要从这两名选手中选择一名参赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置。 如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则选甲。 例1、在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？样本标准差刻画了数据离平均数波动的幅度大小，平均数和标准差一起能反映数据取值的信息。 思考四： 你能根据下图计算出样本平均数和样本标准差吗？例2、甲乙两人同时生产内径为24mm的一种零件。为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出5件，测得其内径尺寸如下(单位：mm )： 甲：22，25，23，23，27，乙：25，24，22，25，24。从生产的零件内径尺寸看，谁生产的质量较高？解：即 甲、乙生产的零件内径的平均数相等，但乙的稳定程度高， 所以，乙生产的零件的质量比甲的高一些。课堂巩固 某校举行2014年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数为：79，84，84，87，84，86，93. 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为__85___、___1.6__。 抛硬币20次，正面12次，反面8次．如果抛到正面得3分，抛到反面得1分，则平均得分是__2.2__，得分的方差是__0.96_． 3、甲、乙两人数学成绩(单位：分)分别为： 甲：75 78 81 82 87 89 92 93 94 95 102，乙：81 84 86 88 93 98 98 99 103 105 110 （1）分别求出这两名同学的数学成绩的平均数及标准差； （2）比较这两名同学的成绩，谈谈你的看法。 解：（1）（2）乙的数学平均分比的甲高好多，但稳定性稍差一点.知识总结 平均数、方差性质 课堂巩固知识探究（二）：统计分析报告 思考五：近年来，我国肥胖人数的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患。 目前，国际上常用身体质量指数（BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式为 BMI=体重（单位：kg）/身高2（单位：m2）。中国成人的BMI数值标准为BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<23.9未正常；24≤BMI<27.9为偏胖；BMI≥28为肥胖。 某公司想要了解公司员工的身体肥胖情况，你认为有哪些工作需要完成？ 1、从公司员工体检数据中，对男、女员工分别采用分层抽样抽取样本，并计算得到BMI值； 2、将上述样本数据用频率分布直方图进行统计； 3、根据统计图和统计量判断样本的分布以及差异，并对男、女员工在肥胖状况上的差异进行比较； 4、根据上述样本数据来估计该公司员工胖瘦程度的整体情况； 5、根据总体的估计对该公司员工提出控制体重的建议。 即统计案例分析报告包括以下几个过程： 思考六：统计分析报告主要由哪几部分组成？ 1、标题； 2、前言 简单交代调查的目的、方法、范围等背景情况，使读者了解调查的基本情况； 3、主体 展示数据分析的全过程： 首先要明确所关心的问题是什么，说明数据蕴含的信息； 根据数据分析的需要，说明如何选择合适的图表描述和表达数据；从样本数据中提取能刻画其特征的量，如均值、方差等，用于比较男、女员工在肥胖状况上的差异； 通过样本估计总体的统计规律，分析公司员工胖瘦程度的整体情况。 4、结尾 对主体部分的内容进行概括，结合控制体重的一般方法，提出控制公司员工体重的建议。 学生根据上述问题，探究“平均距离”。 根据上述推断得出标准差和方差的定义以及计算公式。 考虑标准差为0 的特殊情况。 学生分组合作，回到问题一，探究得出方差与标准差对总体数据离散程度的影响。 通过例题加强理解方差与标准差的意义。 利用思考题，让学生对标准差和方差进一步进行探索。 通过例题加强理解方差与标准差的意义。 学生和教师共同探究完成3个练习题。 探索平均数、方差的性质。 总结、巩固平均数、方差的性质。 通过抽样、统计等过程，让学生思考统计分析报告主要有哪几个方面。 利用问题情境探究得出“平均距离”,培养学生探索的精神. 给学生养成先推倒后总结的学习习惯。 数学知识是由特殊到一般或由一般到特殊的推导过程，引导学生养成全面推倒知识的习惯。 通过分组合作交流，培养学生合作的精神和探索的能力。 利用例题加深本节课的内容。 利用思考题让学生探究本节课的问题，让学生形成知识体系，培养学生整体思考的能力。 利用例题加深本节课的内容。 通过这3个题，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。 培养学生探索知识的能力。 培养学生总结知识的能力。 理论联系实际，无论是抽样还是统计，都是来源于生活的实际问题，让学生体会数学来源于生活。
课堂小结 方差与标准差统计分析报告的主要组成部分 学生回顾本节课知识点，教师补充。 让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。
板书
教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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