(共41张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
第4节 角的平分线
第2课时 角平分线的性质和判定
课堂讲解
课时流程
1
2
角平分线的性质
角平分线的判定
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
1
知识点
角平分线的性质
知1－导
思考：
如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA,PD ⊥ OB,点C,D是垂足.
你能猜想PC，PD长度间有什么关系吗？
证明你的猜想.
知1－讲
知识点
下面我们给出上面“思考”中猜想结论的证明.
证明：∵OP平分∠AOB，（已知）
∴∠AOP=∠BOP.(角平分线定义）
又 ∵ PC⊥OA，PD ⊥ OB，（已知）
∴∠PCO=∠PDO= 90°.(垂直的定义）
知1－讲
知识点
在△PCO 和△ PDO中， ∵
∴ △ PCO≌ △ PDO.(AAS)
∴ PC=PD.
知1－讲
知识点
1.角的平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
要点精析：(1)点一定要在角平分线上；(2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度；(3)角平分线的性质可用来证明两条线段相等．
知1－讲
知识点
2．书写格式：如图，∵OP平分∠AOB，
PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E, ∴PD＝PE.
3．易错提示：易找错距离，误以为角平分线上的点到角的两边的距离就是角平分线上
的点与角两边上任意点间的距离．
知1－讲
知识点
例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，
DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC，
求证：BD＝DF.
导引：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．
知1－讲
知识点
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，∠C＝90°，
∴DE＝DC，∠DEB＝∠C＝90°.
在△BDE和△FDC中，
∴△BDE≌△FDC,
∴BD＝DF.
知1－讲
由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段相等，这是证线段相等的一个简捷方法．
知1－讲
例2 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E.若AB＝10 cm，
求△DBE的周长．
知1－讲
导引：要求△DBE的周长，实质是求BE＋DE＋BD的长，而题中已知 AB＝10 cm，因此需证DE＋BD＝AE，又AD是角平分线及垂直条件知DE＝CD，所以需证BC＝AE，由BC＝AC，因此只需证AC＝AE，它可由Rt△ACD≌Rt△AED得出．
知1－讲
解：∵AD平分∠CAB，且∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE.
又∵∠C＝∠DEA＝90°，AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE.
知1－讲
又∵AC＝BC，∴AC＝AE＝BC.
∴DE＋EB＋BD＝DC＋EB＋BD＝BC＋EB
＝AE＋EB＝AB.
又∵AB＝10 cm，
∴△DBE的周长为DB＋BE＋DE＝10 cm.
知1－练
1
(中考·茂名)如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为( )
A．6 B．5
C．4 D．3
A
知1－练
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是( )
A．6 cm B．7 cm
C．8 cm D．9 cm
A
2
知1－练
(中考·湖州)如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于( )
A．10 B．7
C．5 D．4
3
C
2
知识点
角平分线的判定
知2－讲
思考：
写出上面角平分线性质定理的逆命题.
这个逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并给出证明.
知2－讲
角平分线的判定：
1．判定方法：角的内部到角两边距离相等
的点在角的平分线上．
(1)书写格式：如图，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在
∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
(2)作用：运用角平分线的判定，可以证明两个角相
等或一条射线是角的平分线．
知2－讲
2．角平分线的判定定理与性质定理的关系：(1)如图，都与距离有关： 即条件PD⊥OA，PE⊥OB都具备；(2)点在角平分线上 点
到角两边的距离相等．
3. 拓展：三角形三个内角的平分线交于一点且这点到三边的距离相等．
性质
判定
知2－讲
例3 如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
导引：要证AD平分∠BAC，已知条件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个
距离相等即可证明结论，证这两条
垂线段相等，可通过证明△BDE和
△CDF全等来完成．
知2－讲
证明：∵BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴AD平分∠BAC.
知2－讲
判定角平分线的两步：(1)找出与角的两边都垂直的垂线段；(2)证明两条垂线段相等．
知2－讲
例4 如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，点E在∠ACB的平分线上，D是AC上一点，若∠CBD＝20°，求∠ADE的度数．
知2－讲
解：如图，作EN⊥CA于点N，EM⊥BD于点M，
EP⊥CB交CB的延长线于点P，
因为∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝100°－20°
＝80°，∠PBA＝180°－100°＝80°，
所以∠PBA＝∠ABD.
知2－讲
因为EM⊥BD于点M，EP⊥CB于点P，所以EP＝EM.
又∵点E在∠ACB的平分线上，EN⊥CA，EP⊥CB，
∴EN＝EP，∴EN＝EM，∴DE平分∠ADB.
∵∠ADB＝∠ACB＋∠CBD＝40°，
∴∠ADE＝ ∠ADB＝ ×40°＝20°.
知2－讲
本题根据角的和差关系计算有关角的度数，利用角平分线的性质定理证明EP＝EM和EN＝EP，得到EN＝EM，由角平分线的判定判断DE平分∠ADB，便可求出∠ADE的度数．
知2－讲
例5 已知：如图，△ABC中，∠B的平分线BE与∠C的平分线CF相交于点P.
求证：AP平分∠BAC.
知2－讲
证明：过点P分别作PM⊥BC，PN ⊥ AC， PQ⊥ AB,
垂足分别为点M,N,Q.
∵BE是∠B的平分线，点P在BE上，（已知）
∴PQ=PM.(角平分线上的点到角两边的距离相等）
同理，PN=PM.
∴PN=PQ.(等量代换）
∴AP平分∠BAC.(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
知2－讲
这个例子说明：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.
知2－讲
例6 如图，在△ABC中，请证明：
(1)若AD为∠BAC的平分线，则S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC；
(2)设D为BC上的一点，连接AD，若S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC，则AD为∠BAC的平分线．
知2－讲
证明：如图，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
(1)∵AD平分∠BAC且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
∴S△ABD∶S△ACD＝ ∶ ＝AB∶AC.
(2)∵S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC，
∴ ∶ ＝AB∶AC， ∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD为∠BAC的平分线．
知2－讲
运用角平分线解与面积有关的问题的方法：首先运用三角形的面积公式将面积关系转化为线段关系，结合角平分线的性质进一步转化为三角形边长之间的关系，从而把两者联系起来，结合已知条件可解决问题．
知2－练
在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，∠AOB两边距离相等的点应是( )
A．点M B．点N
C．点P D．点Q
1
A
知2－练
如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是( )
A．∠1＝∠2 B．∠1>∠2
C．∠1<∠2 D．无法确定
2
A
知2－练
如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是( )
A．AF平分BC
B．AF平分∠BAC
C．AF⊥BC
D．以上结论都正确
3
B
知2－练
如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝__________________.
4
4 : 5 : 6
知2－练
到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( )
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．以上均不对
5
B
到三角形三边距离相等的点的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6
D
1. 运用角的平分线的性质解决与面积有关的问题的方法：
首先运用三角形的面积公式将面积关系转化为线段关
系，再结合角的平分线的性质进一步转化为三角形边长之间的关系，从而把两者建立起关系，结合已知条件可解决问题．
2. 过角平分线上一点作垂线是解决有关角平分线问题最
常用的作辅助线的方法．
角的平分线的性质与判定定理的关系：
(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．
(2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距离相等．
(3)性质反映的是只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就一定相等；判定定理反映的是只要是角的内部到角两边距离相等的点都在角的平分线上．
判定定理
性质
请完成对应习题。
(共22张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
第4节 角的平分线
第1课时 角平分线的画法
课堂讲解
课时流程
1
2
角平分线的画法
过一点作已知直线的垂线
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
1
角平分线的画法
知1－导
问题：怎样作出角的平分线？
知1－讲
角的平分线的画法1：
通过折纸可以作出一个角的角平分线.在半透明纸上任画一个角，请你用折叠的方法，找出角的平分线，如图.
知1－讲
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
知1－讲
角的平分线的画法2：
也可以用量角器来画一个角的平分线.
角的平分线的画法3：下面介绍用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线（如图）.
作法：
1.以O为圆心，任意长为半径画弧分别交
OA,OB于点M,N,如图（1）.
知1－讲
2.分别以点M,N为圆心，以大于 MN长为半径(为什么？）在角的内部画弧交于点P,如图（2）.
3.作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的平分线，如图（3）.
知1－讲
思考：
1.根据作图，你能证明所作射线OP,就是∠AOB的平分线吗？
2.当∠AOB的两边成一直线时（即∠AOB= 180°），你会作这个角的平分线吗？这时的角平分线与直线AB是什么关系？
知1－讲
如图所示，已知∠AOB，
求作：∠AOM＝ ∠AOB.
例1
导引：要作射线OM，使∠AOM＝ ∠AOB，可作 ∠AOB的平分线．
知1－讲
解：作法：
(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点E，交OB于点F；
(2)分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；
(3)画射线OC；
(4)同理，作∠AOC的平分线OM.
∠AOM即为所求(如图所示)．
知1－讲
作法中“适当长为半径画弧”的目的是为方便作图，不能太大或太小；“大于 EF的长为半径画弧”是因为若以小于或等于 EF的长为半径画弧时，画出的两弧不能相交．
知1－练
1
作∠AOB的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA，OB分别相交于C，D，然后分别以C，D为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度应( )
A．大于 CD B．等于 CD
C．小于 CD D．以上答案都不对
A
知1－练
(中考·玉林)根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论：____________________________，然后证明你的结论．(不要求写已知、求证)
OM平分∠BOA
2
2
过一点作已知直线的垂线
知2－讲
1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线：
如图所示，已知直线AB和AB上一点C，作AB的垂线，使它经过点C.
知2－讲
作法：如图所示．
第一步：作平角ACB的平分线CF；
第二步：反向延长射线CF.直线CF就是所要求作的垂线．
知2－讲
2．经过已知直线外一点作这条直线的垂线：如图所示，已知直线AB和AB外一点C，作AB的垂线，使它经过点C.
知2－讲
作法：如图所示．
第一步：以点C为圆心，作能与AB
相交于D 、 E两点的弧；
第二步：作∠ DCE的平分线CF；
第三步：反向延长射线CF.则直线CF就是所要求作的垂线．
知2－讲
思考：
为什么这样作出的直线CF就是所求作的垂线？你能说说道理吗？
知2－讲
1.理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：“SSS”．
拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线．
2.易错警示：作角平分线的最后一步“过两点作射线”时，不能简单地叙述为“连接两点”，连接两点是线段，角平分线是射线而不是线段．
1.角的平分线图形结构中的“两种数量关系”：
如图，OC 平分∠AOB，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，DE交OC于点F.
(1)角的相等关系：
①∠AOC＝∠BOC＝∠PDF＝∠PEF；
②∠ODP＝∠OEP＝∠DFO＝∠EFO＝∠DFP＝∠EFP＝∠PDA＝∠PEB＝90°；
③∠DPO＝∠EPO＝∠ODF＝∠OEF.
(2)线段的相等关系：OD＝OE，DP＝EP，DF＝EF.
请完成对应习题。
