人教版数学九年级上册22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质同步练习（含答案解析）

22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.若抛物线y=-x2+bx+c经过点(-2,3),则2c-4b-9的值是(　　)
A.5 B.-1 C.4 D.18
2.(2018·山东德州中考)如图,函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
3.若抛物线y=x2-2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位长度,再沿竖直方向向上平移3个单位长度,则原抛物线对应的函数解析式应变为(　　)
A.y=(x-2)2+3 B.y=(x-2)2+5
C.y=x2-1 D.y=x2+4
4.二次函数y=12x2+3x+52的图象是由函数y=12x2的图象先向　　　(左、右)平移　　　个单位长度,再向　　　　　(上、下)平移　　　　　个单位长度得到的.?
5.经过A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线解析式是　　　　　　　　　　　　　.?
6.如图,若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x=1对称,则点Q的坐标为　　　　　.?
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点P(a,bc)在第　　　　　象限.?
8.已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图所示.
(1)试求该二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标.
(2)观察图象回答,何时y随x的增大而增大,何时y随x的增大而减小?
(3)将图中抛物线先向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,试确定所得到的抛物线的解析式.
9.已知抛物线y=x2-2mx-4(m>0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M',若点M'在这条抛物线上,则点M的坐标为(　　)
A.(1,-5) B.(3,-13)
C.(2,-8) D.(4,-20)
10.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:
“已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点(1,0)……求证:这个二次函数的图象关于直线x=2对称.”根据现有信息,题中的二次函数图象不具有的性质是(　　)
A.过点(3,0) B.顶点是(2,-2)
C.b<0 D.c=3
11.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛物线的函数解析式为　　　　　　　　　　　　　　　.?
12. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,且P=|2a+b|+|3b-2c|,Q=|2a-b|-|3b+2c|,则P,Q的大小关系是　　　　　.?
★13. 如图,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是(0,3),以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A,B两点.
(1)求A,B,C三点的坐标.
(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式.
(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过点D,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位长度?
★14.我们知道,经过原点的抛物线的解析式可以是y=ax2+bx(a≠0).
(1)对于这样的抛物线:
当顶点坐标为(1,1)时,a=　　　　　;?
当顶点坐标为(m,m)(m≠0)时,a与m之间的关系式是　　　　　;?
(2)继续探究,若b≠0,且过原点的抛物线顶点在直线y=kx(k≠0)上,请用含k的式子表示b;
(3)现有一组过原点的抛物线,顶点A1,A2,…,An在直线y=x上,横坐标依次为1,2,…,n(n为正整数,且n≤12),分别过每个顶点作x轴的垂线,垂足记为B1,B2,…,Bn,以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn,若这组抛物线中有一条经过Dn,求所有满足条件的正方形边长.

课后作业·测评
夯基达标
1.A　∵抛物线y=-x2+bx+c经过点(-2,3),
∴-(-2)2-2b+c=3,整理得,-2b+c=7,
∴2c-4b-9=2(c-2b)-9=2×7-9=5,故选A.
2.B　A.由一次函数y=ax-a的图象可得a<0,此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向下,故本选项错误;
B.由一次函数y=ax-a的图象可得a>0,此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=--22a>0,故本选项正确;
C.由一次函数y=ax-a的图象可得a>0,此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=--22a>0,和x轴的正半轴相交,故本选项错误;
D.由一次函数y=ax-a的图象可得a>0,此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向上,故本选项错误.故选B.
3.C　将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位长度,再沿竖直方向向上平移3个单位长度,相当于把抛物线向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,因为y=x2-2x+3=(x-1)2+2,所以抛物线的顶点坐标为(1,2),向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到顶点(0,-1),所以原抛物线对应函数的解析式应变为y=x2-1.故选C.
4.左　3　下　2　先将二次函数由一般式化成顶点式,再确定平移的单位长度.由于y=12x2+3x+52=12(x2+6x+5)=12(x2+6x+9-9+5)=12(x+3)2-2,
故抛物线y=12x2+3x+52是由抛物线y=12x2先向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度得到的.
5.y=-38x2+34x+3　根据题意设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4),
把C(0,3)代入得-8a=3,即a=-38,则抛物线的解析式为y=-38(x+2)(x-4)=-38x2+34x+3.
6.(-2,0)　由抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x=1对称,可知P,Q两点到对称轴x=1的距离相等,所以点Q的坐标为(-2,0).
7.三　∵抛物线开口向下,
∴a<0.
∵-b2a<0,a<0,
∴b<0.
∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0,
∴P(a,bc)在第三象限.
8.解 (1)由题图知,抛物线过点(1,0),(4,0),代入函数解析式,得a-5+c=0,16a-20+c=0,解得a=1,c=4.
故所求二次函数的解析式为y=x2-5x+4.
又因为y=x2-5x+4=x-522?94,所以函数图象的顶点坐标为52,-94.
(2)由(1)知,a=1>0,抛物线的对称轴为直线x=52,从图象知,当x>52时,y随x的增大而增大;当x<52时,y随x的增大而减小.
(3)由(1)知,y=x2-5x+4=x-522?94,将抛物线先向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,则所得抛物线的解析式为y=x-52+32?94-4,即y=x2+x-6.
培优促能
9.C　∵y=x2-2mx-4=x2-2mx+m2-m2-4=(x-m)2-m2-4,
∴点M(m,-m2-4).
∴点M'(-m,m2+4).
∴m2+2m2-4=m2+4.解得m=±2.
∵m>0,
∴m=2.
∴M(2,-8).故选C.
10.B　因为二次函数y=x2+bx+c的图象过点(1,0),且关于直线x=2对称,所以1+b+c=0,且图象过点(3,0),-b2=2,则b=-4<0;将b=-4代入1+b+c=0,得c=3.故y=x2-4x+3,顶点是(2,-1).
11.y=-x2+4x-3　设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1,将B(1,0)代入y=a(x-2)2+1,得a=-1.
因此抛物线的函数解析式为y=-(x-2)2+1,展开得y=-x2+4x-3.
12.P>Q　∵抛物线的开口向下,
∴a<0.
∵-b2a>0,∴b>0.
∴2a-b<0.
∵-b2a=1,∴b+2a=0.x=1时,a+b+c>0,x=-1时,y=a-b+c<0.
∴-12b-b+c<0.
∴3b-2c>0.
∵抛物线与y轴的正半轴相交,∴c>0.
∴3b+2c>0,∴P=0+3b-2c=3b-2c>0,Q=b-2a-3b-2c=-2a-2b-2c=-2(a+b+c)<0.
∴P>Q.
13.解 (1)由抛物线的对称性可知AE=BE.
在Rt△AOD和Rt△BEC中,
因为OD=EC,AD=BC,
所以Rt△AOD≌Rt△BEC(HL).
故OA=EB=EA.
设菱形的边长为2m,
在Rt△AOD中,m2+(3)2=(2m)2,解得m=1.
所以DC=2,OA=1,OB=3.
故A,B,C三点的坐标分别为(1,0),(3,0),(2,3).
(2)设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3,代入点A的坐标(1,0),得a=-3,
所以抛物线的解析式为y=-3(x-2)2+3.
(3)设平移后抛物线的解析式为y=-3(x-2)2+k,代入点D的坐标(0,3),得k=53,
所以平移后的抛物线的解析式为y=-3(x-2)2+53.
所以平移了53?3=43个单位长度.
创新应用
14.解 (1)-1　a=-1m(或am+1=0)
(2)因为a≠0,
所以y=ax2+bx=ax+b2a2?b24a.
所以顶点坐标为-b2a,-b24a.
因为顶点在直线y=kx上,
所以k·-b2a=-b24a.
又因为b≠0,所以b=2k.
(3)因为顶点An在直线y=x上,
所以可设An的坐标为(n,n),点Dn所在的抛物线顶点坐标为(t,t),由(1)(2)可得,点Dn所在的抛物线解析式为y=-1tx2+2x.
因为四边形AnBnCnDn是正方形,所以点Dn的坐标为(2n,n).
所以-1t·(2n)2+2×2n=n.
所以4n=3t.
因为t,n是正整数,且t≤12,n≤12,所以n的值为3,6或9.
所以满足条件的正方形边长为3,6或9.