人教版数学九年级上册24.2.2.2切线的判定和性质同步练习（含答案解析）

第2课时　切线的判定和性质
1.下列说法正确的是(　　)
A.内心一定在三角形内部,外心一定在三角形外部
B.任何三角形只有一个内切圆,任何圆只有一个外切三角形
C.到三角形三边所在的直线距离相等的点只有一个
D.若PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,则PA=PB
2.如图,点A,B,C在☉O上,∠ABC=29°,过点C作☉O的切线交OA的延长线于点D,则∠D的大小为(　　)
A.29° B.32° C.42° D.58°
3.如图,AD,DC,BC都与☉O相切,且AD∥BC,则∠DOC的度数为(　　)
A.100° B.90° C.60° D.45°
4.如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB=　　　.?
5.如图,☉O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆,则☉O的半径为　　　　.?
6.如图,CB切☉O于点B,CA交☉O于点D且AB为☉O的直径,点E是ABD上异于点A,D的一点.若∠C=40°,则∠E的度数为　　　　.?
7.如图,PA,PB是☉O的切线,切点分别为A,B,点C在☉O上,如果∠C=70°,那么∠P的度数为　　　　　.?
8. (2018·湖南邵阳中考)如图所示,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,过点B作BD⊥CD,垂足为点D,连接BC,BC平分∠ABD.求证:CD为☉O的切线.
9. 如图,在△ABC中,AB=3,AC=94,点D是BC边上的一点,AD=BD=2DC,设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1,r2,则r1r2=(　　)
A.2 B.43 C.32 D.23
10. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,D为BC边的中点,以AD上一点O为圆心的☉O和AB,BC均相切,则☉O的半径为　　　　　.?
11.如图,∠ACB=60°,半径为1 cm的☉O切BC于点C,若将☉O在CB上向右滚动,则当滚动到☉O与CA也相切时,圆心O移动的水平距离是　　　　　 cm.?
12.如图,AB为☉O的直径,PQ与☉O相切于点T,AC⊥PQ,且垂足为C,交☉O于点D.
(1)求证:AT平分∠BAC;
(2)若AD=2,TC=3,求☉O的半径.
★13.阅读下列材料并回答问题.
材料:如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记p=a+b+c2,那么三角形的面积为S=p(p-a)(p-b)(p-c).①
古希腊几何学家海伦(Heron,约公元50年),在数学史上以解决几何测量问题而闻名.他在《度量》一书中,给出了公式①和它的证明,这一公式称为海伦公式.我国南宋数学家秦九韶(约1202—约1261),曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S=14a2b2-a2+b2-c222. ②
下面我们对公式②进行变形:
14a2b2-a2+b2-c222=12ab2-a2+b2-c242
=12ab+a2+b2-c2412ab-a2+b2-c24
=2ab+a2+b2-c24·2ab-a2-b2+c24
=(a+b)2-c24·c2-(a-b)24
=a+b+c2·a+b-c2·a+c-b2·b+c-a2
=p(p-a)(p-b)(p-c).
这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式,所以我们也称①为海伦—秦九韶公式.
问题:如图,在△ABC中,AB=13,BC=12,AC=7,☉O内切于△ABC,切点分别是D,E,F.
(1)求△ABC的面积;
(2)求☉O的半径.

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1.D
2. B　作直径B'C,交☉O于B',连接AB',则∠AB'C=∠ABC=29°.
∵OA=OB',
∴∠AB'C=∠OAB'=29°.
∴∠DOC=∠AB'C+∠OAB'=58°.
∵CD是☉的切线,
∴∠OCD=90°.
∴∠D=90°-58°=32°.故选B.
3.B　根据切线长定理,得∠ADO=∠CDO,∠DCO=∠BCO.
∵AD∥BC,
∴∠ADC+∠BCD=180°.
∴∠ODC+∠OCD=90°.
∴∠DOC=90°.
4.90°　5.33　6.40°
7.40°　连接OA,OB,则∠AOB=2∠C=140°,由四边形内角和为360°可求得∠P=40°.
8.证明 ∵BC平分∠ABD,
∴∠OBC=∠DBC.
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.
∴∠OCB=∠DBC.
∴OC∥BD.
∵BD⊥CD,∴OC⊥CD.
∵OC是☉O的半径,
∴CD为☉O的切线.
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9.C　根据内切圆半径与三角形边长的关系可得
r1=2S△ABDAB+BD+AD=2S△ABD3+4DC,
r2=2S△ACDAD+DC+AC=2S△ACD2.25+3DC,
又S△ABDS△ACD=BDCD=2,∴r1r2=32.故选C.
10.67　过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F.
∵AB,BC是☉O的切线,
∴点E,F是切点.
∴OE,OF是☉O的半径,
∴OE=OF.
∵在△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,
∴由勾股定理,得BC=4.
∵D是BC边的中点,
∴S△ABD=S△ACD.
∵S△ABD=S△ABO+S△BOD,
∴12AB·OE+12BD·OF=12CD·AC,
即5×OE+2×OE=2×3,解得OE=67.
∴☉O的半径是67.
11.3
12.(1)证明 如图,连接OT.
∵PQ与☉O相切于点T,
∴OT⊥PQ.
又AC⊥PQ,
∴OT∥AC,∠TAC=∠ATO.
又OT=OA,
∴∠ATO=∠OAT,∠OAT=∠TAC,
即AT平分∠BAC.
(2)解 过点O作OM⊥AC,垂足为M,
∴AM=MD=AD2=1.
又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°,
∴四边形OTCM为矩形,OM=TC=3.
在Rt△AOM中,
AO=OM2+AM2
=3+1=2,
即☉O的半径为2.
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13.解 (1)p=AB+BC+AC2=13+12+72=16,
S△ABC=p(p-AB)(p-BC)(p-AC)=16×(16-13)×(16-12)×(16-7)=16×3×4×9=243.
(2)连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,
∵☉O内切△ABC于点D,E,F,
∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.
设☉O的半径为r,
∵S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO,
∴S△ABC=AB·r2+BC·r2+AC·r2.
∴13r2+12r2+7r2=243.
∴r=332.