人教版数学九年级上册24.4.1弧长和扇形面积同步练习（含答案解析）

24.4　弧长和扇形面积
第1课时　弧长和扇形面积
1. 如图,点C是以AB为直径的半圆O的三等分点,AC=2,则图中阴影部分的面积是(　　)
A.4π3?3 B.4π3-23
C.2π3?3 D.2π3?32
2.如图,在正方形ABCD中,分别以B,D为圆心,以正方形的边长a为半径画弧,形成树叶形(阴影部分)图案,则树叶形图案的周长为(　　)
A.πa B.2πa C.12πa D.3a
3. 如图,四边形OABC为菱形,点A,B在以O为圆心的弧上,若OA=2,∠1=∠2,则扇形ODE的面积为(　　)
A.4π3 B.5π3
C.2π D.3π
4.如图,水平地面上有一面积为30π cm2的扇形OAB,半径OA=6 cm,且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止,则点O移动的距离为(　　)
A.20 cm B.24 cm
C.10π cm D.30π cm
5.已知一个扇形的圆心角为100°,面积为15π cm2,则此扇形的半径长为　　　　.?
6. 如图,已知等边三角形ABC的边长为6,以AB为直径的☉O与边AC,BC分别交于D,E两点,则劣弧DE的长为　　　　.?
7. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,两等圆☉A,☉B外切,则图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为　　　　.?
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=6,三角形绕直角顶点C逆时针旋转,当点A的对应点A'落在AB边的起始位置上时即停止转动,则点B转过的路径长为　　　　　.?
9.如图,AB是半圆的直径,AB=2R,C,D为半圆的三等分点,求阴影部分的面积.
10.图中的粗线CD表示某条公路的一段,其中AmB是一段圆弧,AC,BD是线段,且AC,BD分别与圆弧AmB相切于点A,B,线段AB=180 m,∠ABD=150°.
(1)画出圆弧AmB的圆心O;
(2)求A到B这段弧形公路的长.
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经过的路径为BD,则图中阴影部分的面积是(　　)
A.π6 B.π3 C.π2?12 D.12
12.如图,△ABC内接于☉O,∠A=60°,BC=63,则BC的长为(　　)
A.2π B.4π C.8π D.12π
13.如图,将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得扇形AFB(阴影部分)的面积为　　　　　.?
14.如图,△ABC是正三角形,曲线CDE……叫做“正三角形的渐开线”,其中CD,DE,EF…的圆心依次按A,B,C循环,它们依次相连接,若AB=1,则曲线CDEF的长是　　　.?
15. 如图,已知四边形ABCD内接于圆O,连接BD,∠BAD=105°,∠DBC=75°.
(1)求证:BD=CD;
(2)若圆O的半径为3,求BC的长.
★16.如图,AB为☉O的直径,CD⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)请写出三条与BC有关的正确结论;
(2)当∠D=30°,BC=1时,求圆中阴影部分的面积.
★17.如图所示,在两墙(足够长)夹角为60°的空地上,某花店老板准备用30 m长的篱笆(可弯折)围成一个封闭花圃(要求:①该篱笆要全部用尽;②两墙须作为花圃的两边使用;③面积计算均精确到个位).
(1)按上述要求,店里三位员工分别想围成等边三角形、直角三角形、菱形的花圃,图①表示30 m长的篱笆,请你用此篱笆分别在图②、图③、图④上帮助他们画出指定的图形,并在图下方的横线上直接写出相应的花圃面积;
篱笆
图①
图②　等边三角形
面积:　　　　 m2?
图③　直角三角形
面积:　　　　 m2?
图④　菱形
面积:　　　　 m2?
(2)按上述要求,店老板决定把花圃围成扇形,请计算该扇形面积(不要求画图),并直接写出上述四个图形中面积最大的图形名称.

课后作业·测评
夯基达标
1.A　连接OC,∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点,∴∠ABC=30°,∠BOC=120°.
∵AB为直径,∴∠ACB=90°.
则AB=2AC=4,BC=23,
则S阴=S扇形BOC-S△BOC
=120π·22360?1212AC·BC=4π3?3.故选A.
2.A　由题意得,树叶形图案的周长为两条圆心角为90°的弧长之和,所以其周长为l=2·90π·a180=πa.
3.A　连接OB.因为OA=OB=OC=AB=BC,
所以∠AOB+∠BOC=120°.
又因为∠1=∠2,
所以∠DOE=120°.
所以扇形ODE的面积为120π×4360=4π3.
4.C　点O移动的距离即扇形OAB所对应的弧长,先运用扇形的面积公式S扇形=nπR2360求出扇形的圆心角n=300°,再由弧长公式l=nπR180,得l=10π(cm).
5.36 cm　设该扇形的半径长为R cm,则100π×R2360=15π,解得R=36.即该扇形的半径长为36 cm.
6. π　连接OD,OE,如图所示.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°.
∵OA=OD,OB=OE,
∴△AOD,△BOE是等边三角形,
∴∠AOD=∠BOE=60°.
∴∠DOE=60°.
∵OE=OA=12AB=3,
∴DE的长=60π×3180=π.
7.25π4　∵∠C=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=10,∠A+∠B=90°,
由等圆可知☉A,☉B的半径为5,根据扇形的面积计算公式,可得阴影部分的面积=90×π×52360=25π4.
8.2π
9.分析 由S△ACD=S△OCD,
知S阴影=S扇形OCD.
所以只要求扇形OCD的面积即可.
解 ∵AC=BD,
∴∠CDA=∠DAB,即CD∥AB.
∴S△ACD=S△OCD.
∴S阴影=S扇形OCD=nπR2360=60πR2360=πR26.
10.解 (1)如图,过点A作AO⊥AC,过点B作BO⊥BD,AO与BO相交于点O,O即为圆心.
(2)因为AO,BO都是圆弧AmB的半径,O是其所在圆的圆心,
所以∠OBA=∠OAB=150°-90°=60°.
所以△AOB为等边三角形,
即AO=BO=AB=180 m.
所以AB=60×π×180180=60π(m),
即A到B这段弧形公路的长为60π m.
培优促能
11.A　∵∠ACB=90°,AC=BC=1,∴AB=2,
∴图中阴影部分的面积是
S△EAD+S扇形DAB-S△ACB=30π×(2)2360=π6.
12. B　连接CO并延长,与圆交于点D,连接BD,BO.
∵CD为圆O的直径,
∴∠DBC=90°.
∵∠A与∠D为同弧所对的圆周角,
∴∠D=∠A=60°.
在Rt△DCB中,∠BCD=30°,
∴BD=12CD,设BD=x,则有CD=2x,
根据勾股定理得:x2+(63)2=(2x)2,
解得x=6,
∴OB=OD=OC=6,且∠BOC=120°,
则BC的长为120π×6180=4π,故选B.
13.18
14.4π　关键是确定圆心角和半径.因为△ABC是边长为1的正三角形,所以CD,DE,EF的圆心角都为120°,对应的半径分别为1,2,3.
因此CD=2π3,DE=4π3,EF=6π3=2π.
所以曲线CDEF的长是2π3+4π3+2π=4π.
15.(1)证明 ∵四边形ABCD内接于圆O,∴∠DCB+∠BAD=180°.
∵∠BAD=105°,∴∠DCB=180°-105°=75°.
∵∠DBC=75°,∴∠DCB=∠DBC=75°.∴BD=CD.
(2)解 ∵∠DCB=∠DBC=75°,∴∠BDC=30°.
由圆周角定理,得BC的度数为60°,故BC=nπR180=60π×3180=π.
16.解 (1)答案不唯一,只要合理均可.例如:
①BC=BD;②OF∥BC;③∠BCD=∠A;
④BC2=CE2+BE2;
⑤△ABC是直角三角形;
⑥△BCD是等腰三角形.
(2)连接OC,则OC=OA=OB.
∵∠D=30°,∴∠A=∠D=30°.∴∠AOC=120°.
∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
在Rt△ABC中,BC=1,∴AB=2,AC=3.
∵OF⊥AC,∴AF=CF.
∵OA=OB,∴OF是△ABC的中位线.
∴OF=12BC=12.
∴S△AOC=12AC·OF=12×3×12=34,S扇形AOC=13π×OA2=π3.
∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC=π3?34.
创新应用
17.解 (1)如图,图②中△ABC是边长为30 m的等边三角形,图③中△ABC是直角边BC的长为30 m的直角三角形,图④中四边形ABDC是边长为15 m的菱形.
图②中,等边三角形ABC的面积=12×30×153=2253(m2),
图③中,直角三角形ABC的面积=12×103×30=1503(m2),
图④中,连接BC,菱形ABDC的面积=12×15×1532×2=22532(m2).
图②　等边三角形
面积:390 m2
图③　直角三角形
面积:260 m2
图④　菱形
面积:195 m2
(2)根据弧长公式l=nπR180,得R=180lnπ=90π.
代入扇形面积公式,得S扇形=12×90π×30=1 350π≈430(m2).
四个图形中面积最大的图形是扇形.