2020北京第二外国语学院附属中学人教版高中数学必修1第三章第一节方程的根与函数的零点（共19张PPT）

(共19张PPT)
在2010年第六期《科学》杂志中有一篇为纪念华罗庚诞辰100周年的文章——一元五次方程求解的往事 ，该文章中介绍了早在16世纪，数学家就已经解决了一次，二次，三次和四次方程的一般性解法，在随后的三百多年里，方程解法的发展停滞了，直到19世纪挪威年轻数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解 。这就是方程求解的发展史。
问题·探究
我的根是0.5
我的根是3和-1
我的根有点难度，等你们学完这节你们就会了！！！
上述一元二次方程的实数根?二次函数图象与x轴交点的横坐标
方程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
y= x2－2x－3
y= x2－2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
函数的图象
与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2－2x－3=0
y= x2－2x+3
问题2：求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标.
问题3:从该表你可以得出什么结论？





问题4： 若将上面特殊的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)推广到一般的一元二次方程及相应二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？（我们以a>0为例）
判别式△ =
b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
函数y= ax2 +bx
+c(a>0)的图象
函数的图象
与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
方程ax2 +bx+c=0
(a>0)的根
两个不相等
的实数根x1 、x2
有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根
结论：一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标．







问题5:其他函数与方程之间也有同样结论吗？
方程f(x)=0的实数根?函数y= f(x)图象与x轴交点的横坐标

一.函数零点的定义：
例1：函数f(x)=x(x2－4)的零点为 （ ）
A．(0，0)，(2，0) B．0，2 C．(–2，0)，(0，0)，(2，0) D．–2，0，2
函数的零点是实数，而不是点。
求函数的零点就是求函数所对应方程的根。

对于函数y＝f(x)，把使
f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
D
思考1：知道了问题4后，大家来想想求函数的零点有哪几种方法 ？
2、区别：
1、联系：
①数值上相等
②存在性相同：函数y=f(x)有零点
? 方程f(x)=0有实数根
? 函数y=f(x)的图象与x轴有交点
零点对于函数而言，根对于方程而言．
问题6:函数y=f(x)的零点与方程f(x)=0的根有什么联系
和区别？
代数法
图像法
牛刀小试
我的零点是-1和3
我的零点是10
不好意思，我没有零点，你答对了吗？
问题7:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？
观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：
在区间[-2，1]上有零点______；
f(-2)=_______，f(1)=_______，
f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）．
在区间(2，4)上有零点______；
f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）．
－1
－4
5
<
3
<
探究:
二.零点存在性定理的探究：
问题7:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？
观察函数的图象并填空:
①在区间(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“＜”或“＞”)．
在区间(a,b)上______(有/无)零点；
② 在区间(b,c)上f(b)·f(c) _____ 0(“＜”或“＞”)．
在区间(b,c)上______(有/无)零点；
③ 在区间(c,d)上f(c)·f(d) _____ 0(“＜”或”＞”)．
在区间(c,d)上______(有/无)零点；
有
<
有
<
有
<
问题8：是不是函数y＝f(x)在区间[a,b]上只要满足f(a)·f(b) ＜ 0，函数y＝f(x)在区间(a,b)上一定有零点？

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
函数零点存在性定理：
问题9：为什么是开区间（a,b）内有零点，而不是闭区间[a,b]上有零点？
（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （ ）
（3）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续且在区间(a,b)内存在零点.，则f(x)必满足f (a) ·f(b) < 0. （ ）

（2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （ ）
（4）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续的单调函数且满足
f (a) ·f(b) < 0，则函数y=f (x)区间(a,b)上有且仅有一个
零点。 （ ）
例2 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例
例3 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数.
三.函数零点存在性定理的应用：
等价于
由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)·f(3)<0， ∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．
用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表：
例3 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数。
解法2
-4
-1.3
1.1
3.4
5.6
7.8
10.0
12.1
14.2
思考2：如何说明函数零点的个数？
思考3：如何说明函数在(0,+∞)内是增函数？
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x)
解法3：
例3 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数。
方程lnx+2x－6=0根的个数
方程lnx=-2x+6根的个数
函数y=lnx与y=-2x+6图像交点的个数，且交点的横坐标就是方程的根
函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数
等价于
等价于
等价于
课堂小结
通过本节课的学习你学到了哪些数学知识？又学到了哪些重要的数学思想？
1．函数零点的定义
2．三个等价关系
函数的零点存在性定理
4.两种思想：函数方程思想；数形结合思想．
布置作业：
2.思考题：方程2-x =x在区间______内有解，如何求出这个解的近似值？ 请预习下一节．
1.必做题：课本的练习1，2