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训练1 三角形三边关系的巧用
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
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B
B
C
D
B
1．[2018·阜阳九中期中]以下列各组长度的线段为边，能组成三角形的是( )
A．2 cm，4 cm，6 cm
B．8 cm，6 cm，4 cm
C．14 cm，6 cm，7 cm
D．2 cm，3 cm，6 cm
B
2．[合肥期中]现有两根木棒，它们的长度分别为20 cm和30 cm，若不改变木棒的长度， 要钉成一个三角形木架，应在下列四根木棒中选取( )
A．10 cm长的木棒
B．20 cm长的木棒
C．50 cm长的木棒
D．60 cm长的木棒
B
3．[2018·蚌埠铁路中学期中]已知三角形的三边长分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是( )
A．5＜a＜11 B．4＜a＜10
C．－5＜a＜－2 D．－2＜a＜5
C
【点拨】由三角形的三边关系，得8－3＜1－2a＜8＋3.解得－5＜a＜－2.故选C.
4．[阜阳期末]已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为( )
A．11 B．16
C．17 D．16或17
D
6．用一条长为21 cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少？
(2)能围成一边长为5 cm的等腰三角形吗？说明理由．
解：设等腰三角形的底边长为x cm，则腰长为3x cm.由题意得3x＋3x＋x＝21，解得x＝3.故底边长是3 cm.
7．已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足(b－3)2＋|c－4|＝0，且a为方程|x－5|＝2的解，求△ABC的周长．
解：因为(b－3)2≥0，|c－4|≥0，且(b－3)2＋|c－4|＝0，
所以(b－3)2＝0，|c－4|＝0，解得b＝3，c＝4.
由a为方程|x－5|＝2的解，可知a－5＝2或a－5＝－2，即a＝7或a＝3.
当a＝7时，有3＋4＝7，不能组成三角形，故舍去；
当a＝3时，有3＋3>4，符合三角形的三边关系．
所以a＝3，b＝3，c＝4.
所以△ABC的周长为3＋3＋4＝10.
8．如图，已知D，E为△ABC内两点，试说明：AB＋AC>BD＋DE＋CE.
解：如图，将DE向两边延长分别交AB，
AC于点M，N，
在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE；①
在△BDM中，MB＋MD＞BD；②
在△CEN中，CN＋NE＞CE.③
①＋②＋③，得AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE，所以AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
9．如图所示的三个三角形，是分别用6根、7根、8根等长的火柴首尾顺次相接搭成的．
(1)4根火柴首尾相接________搭成三角形．(填“能”或“不能”)
不能
9．如图所示的三个三角形，是分别用6根、7根、8根等长的火柴首尾顺次相接搭成的．
(2)9根、11根火柴首尾顺次相接能搭成几种不同的三角形？请分别写出它们的边长．(假设1根火柴长度为1)
解：9根火柴能搭成三种不同的三角形，边长分别为1，4，4；2，3，4；3，3，3.
11根火柴能搭成四种不同的三角形，边长分别为1，5，5；2，4，5；3，3，5；3，4，4.
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训练2 三角形的三种重要线段的应用
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
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1．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4.求：
(1)△ABC的面积及AC边上的高BE的长；
(2)AD∶BE的值．
2．[2018·合肥45中期中]如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3 cm，AB与AC的和为13 cm，求AC的长．
解：因为AD是BC边上的中线，所以CD＝BD.
因为△ADC的周长比△ABD的周长多3 cm，
所以AC－AB＝3 cm.
又因为AB＋AC＝13 cm，所以AC＝8 cm.
3．如图，△ABC的三边上的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG∶GD＝2∶1，若S△ABC＝12，求图中阴影部分的面积和．
4．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．
(1)若∠B＝27°，∠C＝53°，则∠DAE＝________；
(2)若∠B＝α，∠C＝β(α＜β)，求∠DAE的度数．(用含α、β的代数式表示)
13°
5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB.
(1)若DF∥AC，EF交AD于点O.试问：DO是否为△DEF的角平分线？并说明理由；
解： DO是△DEF的角平分线，
理由如下：由DE∥AB，得∠EDA＝∠DAF.
由DF∥AC，得∠EAD＝∠ADF.
又AD是△ABC的角平分线，所以∠EAD＝∠DAF.
所以∠EDA＝∠ADF.所以DO是△DEF的角平分线．
5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB.
(2)若DO是△DEF的角平分线，试探索DF与AC的位置关系，并说明理由．
解：DF∥AC.理由如下：
因为AD是△ABC的角平分线，DO是△DEF的角平分线，所以∠CAD＝∠BAD，∠EDO＝∠FDO.因为DE∥AB，所以∠EDO＝∠BAD，所以∠CAD＝∠FDO，所以DF∥AC.
