第二章 二次函数
2.1 二次函数
一、教学目标
1．经历探究和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系.
二、教学重点及难点
重点：二次函数的概念．
难点：根据题意，寻找变量之间的关系．
三、教学用具
多媒体课件。
四、相关资源
《投篮球》动画和《篮球抛物线》图片，《橙子树挂橙子》图片.
五、教学过程
【情境引入】
【情景演示】乔丹与科比对彪，本资源为《二次函数》情景演示，可以形象生动的展示本节课相关内容，激发学生的学习兴趣，为教师的教学提供有效的参考素材。
【教学图片】《二次函数》图片4，本资源为《二次函数》教学图片，可以形象生动的展示本节课相关内容，激发学生的学习兴趣，为教师的教学提供有效的参考素材。
打篮球时，同学们可以发现，投出的篮球在空中走过一条曲线，那么，篮球的垂直高度和它距离球员的水平距离之间有什么关系呢？能不能用函数来表示呢？
教师活动：教师展示图片，出示问题，引出课题．
学生活动：学生观察欣赏图片，初步了解本节课所要研究的问题．
设计意图：创设问题情境，让学生从生活中发现数学问题，激发他们的好奇心和求知欲．
【探究新知】
某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
（橙子树挂橙子）
（1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
（2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，小组合作得出答案．
答：（1）这是一个开放性问题，只要学生的回答有道理就应予以肯定．如自变量有橙子树的棵树、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等；因变量有橙子的个数、橙子的质量等．
（2）(100+x)棵，(600-5x)个．
（3）果园橙子的总产量y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60 000．
设计意图：让学生初步感受一下二次函数与实际生活的联系．
做一做 银行的储蓄利率是随时间变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式．
师生活动：教师出示问题，学生思考并写出答案．
答：因为一年后的本息和为100(1+x)元，所以两年后的本息和为100(1+x)2元，即y=100x2+200x+100．
设计意图：让学生体会引入二次函数概念的实际背景，并感受其学习的意义．
想一想 （1）已知矩形的周长为40 cm，它的面积可能是100 cm2吗？可能是75 cm2吗？还可能是多少？你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗？
（2）两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．
解：（1）设矩形的一边长为x cm，那么另一边长为(20-x)cm，所以此矩形的面积为x(20-x)cm2．令x(20-x)=100，因为方程可化为x2-20x+100=0，Δ=b2-4ac=0，所以该一元二次方程有解．所以该矩形的面积可以是100 cm2．令x(20-x)=75，方程可化为x2-20x+75=0，此时Δ=b2-4ac=400-4×1×75=100＞0，所以该一元二次方程有解．所以该矩形的面积可以是75 cm2．该矩形的面积还有很多其他可能．设该矩形的一边长为x cm，面积为y cm2，则该矩形的另一边长为(20-x)cm，面积y=x(20-x)(0＜x＜20)．
（2）由题意，得y=x(20-x)(x为任意实数)．
设计意图：让学生从丰富的现实背景中体会函数模型的意义．
归纳 一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数．
例如，上面问题中的函数y=-5x2+100x+60 000，y=100x2+200x+100和y=-x2+20x都是二次函数．我们以前学过的正方形面积A与边长a的关系A=a2，圆面积S与半径r的关系S=πr2，自由落体运动物体下落的高度h与下落的时间t的关系h=gt2等也是二次函数的例子．
【典例精析】
例1 分别说出下列函数哪些是一次函数，哪些是二次函数？
（1）y=3x-1；（2）y=3x2+2；（3）y=3x3+2x2；（4）y=2x2-2x+1；（5）y=x2-x(1+x)；
（6）．
师生活动：学生尝试独立解答，教师点评、讲解．
分析：由一次函数、二次函数的概念可得答案．
解：一次函数有：（1）（5）；二次函数有：（2）（4）．
例2 m取哪些值时，函数y=(m2-m)x2+mx+m+1是以x为自变量的二次函数？
师生活动：学生思考、交流；教师分析、引导．
分析：若函数y=(m2-m)x2+mx+m+1是以x为自变量的二次函数，则需满足的条件是m2-m≠0．
解：若函数y=(m2-m)x2+mx+m+1是以x为自变量的二次函数，则m2-m≠0．解得m≠0，且m≠1．
因此，当m≠0，且m≠1时，函数y=(m2-m)x2+mx+m+1是以x为自变量的二次函数．
教师点拨：形如y=ax2+bx+c的函数只有在a≠0的条件下才是以x为自变量的二次函数．
设计意图：巩固二次函数的概念，加深对二次函数特征的认识与理解．
【课堂练习】
1．下列函数中（x，t是自变量），哪些是二次函数？
，，y=22+2x，s=1+t+5t2．
2．圆的半径是1 cm，假设半径增加x cm时，圆的面积增加y cm2．
（1）写出y与x之间的关系式；
（2）当圆的半径分别增加1 cm，cm，2 m时，圆的面积各增加多少？
3．函数y=(α-β)x2+2x+β是二次函数的条件是（ ）．
A．α，β是常数，α≠0 B．α，β是常数，α≠β
C．α，β是常数，β≠0 D．α，β可为任意实数
4．下列函数中，是二次函数的是（ ）．
A．y=x2-1 B．y=x-1 C． D．
5．若函数是二次函数，则m=________．
6．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5 m．
（1）长方体的长和宽用x(m)表示，长方体的表面积S(m2)的表达式是什么？
（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y(元)表示，那么y的表达式是什么？
7．某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元/件．为了调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量t(件)与每件的销售价x(元/件)之间有如下关系：t=-3x+70．请写出该超市销售这种产品每天的销售利润y(元)与x之间的函数关系式．
师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．
参考答案
1．二次函数有，s=1+t+5t2．
2．（1）由题意，得y=π(x+1)2-π×12=πx2+2πx．
（2）当x=1 cm时，y=3π(cm2)；当x=cm时，y=2(1+)π(cm2)；
当x=2 m时，y=8π(cm2)．所以当圆的半径分别增加1 cm，cm，2 m时，圆的面积分别增加了3π cm2，2(1+)π cm2，8π cm2．
3．B．4．A．5．2．
6．（1）S=6x2+2x；（2）y=30x2+10x．
7．y=-3x2+130x-1 400．
设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
六、课堂小结
1．二次函数
一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
2.1 二次函数
1．二次函数
课件23张PPT。第二章 二次函数2.1 二次函数 学习目标1．经历探究和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系.情境导入【情景演示】乔丹与科比对彪，本资源为《二次函数》情景演示，可以形象生动的展示本节课相关内容，激发学生的学习兴趣，为教师的教学提供有效的参考素材。情境导入 投出的篮球在空中走过一条曲线，那么，篮球的垂直高度和它距离球员的水平距离之间有什么关系呢？
能不能用函数来表示呢？【教学图片】《二次函数》图片4，本资源为《二次函数》教学图片，可以形象生动的展示本节课相关内容，激发学生的学习兴趣，为教师的教学提供有效的参考素材。探究新知某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．（橙子树挂橙子）探究新知（1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
答：自变量有橙子树的棵树、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等；因变量有橙子的个数、橙子的质量等．探究新知（2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
答：（100+x）棵，（600-5x）个．
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
答：果园橙子的总产量
y=（600-5x）（100+x）=﹣5x2+100x+60 000．探究新知做一做：设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和
y（元）的表达式． 答：因为一年后的本息和为100(1+x)元，所以两年后的本息和为100(1+x)2元，即y=100x2+200x+100．探究新知想一想：（1）已知矩形的周长为40 cm，它的面积可能是100 cm2吗？可能是75 cm2吗？还可能是多少？你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗？
（2）两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗？探究新知解：（1）该矩形的面积可以是100 cm2；该矩形的面积也可以是75 cm2．该矩形的面积还有很多其他可能．设该矩形的一边长为x cm，面积为y cm2，则该矩形的另一边长为(20-x)cm，面积y=x(20-x)(0＜x＜20)．
（2）由题意，得y=x(20-x)(x为任意实数)．探究新知归纳：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的二次函数．探究新知典例精析例1 分别说出下列函数哪些是一次函数，哪些是二次函数？（1）y=3x-1； （2）y=3x2+2；
（3）y=3x3+2x2； （4）y=2x2-2x+1；
（5）y=x2-x(1+x)；（6）y=x-2+x ．解：一次函数有：（1）（5）；
二次函数有：（2）（4）．典例精析例2 m取哪些值时，函数y=(m2-m)x2+mx+m+1是以x为自变量的二次函数？解：若函数y=(m2-m)x2+mx+m+1是以x为自变量的二次函数，则m2-m≠0．解得m≠0，且m≠1．因此，当m≠0，且m≠1时，函数y=(m2-m)x2+mx+m+1是以x为自变量的二次函数．课堂练习1．下列函数中（x，t是自变量），哪些是二次函数？课堂练习答案：（1）y=πx2+2πx．课堂练习3．函数y=(α-β)x2+2x+β是二次函数的条件是（ ）．
A．α，β是常数，α≠0 B．α，β是常数，α≠β
C．α，β是常数，β≠0 D．α，β可为任意实数
4．下列函数中，是二次函数的是（ ）．
A．y=x2-1 B．y=x-1 C． D．
5．若函数 是二次函数，则m=______． BA4课堂练习6．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5 m．
（1）长方体的长和宽用x(m)表示，长方体的表面积S(m2)的表达式是什么？
（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y(元)表示，那么y的表达式是什么？S=6x2+2xy=30x2+10x课堂练习7．某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元/件．为了调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量t(件)与每件的销售价x(元/件)之间有如下关系：t=-3x+70．请写出该超市销售这种产品每天的销售利润y(元)与x之间的函数关系式．y=-3x2+130x-1 400课堂小结课堂小结1．二次函数的概念
一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数．课堂小结再见
