人教版九年级下册 28.2 解直角三角形及其应用教案（3课时）

授课人 学科 数学 授课时间
课 题 28.2.1　解直角三角形
课 型 新授课 课时安排 第1课时
教学目标 一、知识与技能 1.理解直角三角形中五个元素之间的关系及什么是解直角三角形. 2.会利用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 二、过程与方法 1.综合运用所学知识解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力. 2.通过学习,发展分析、归纳、抽象、概括的能力,培养学生从已有的知识、特殊图形中去感知、迁移. 三、情感态度与价值观 1.在探索解直角三角形的过程中,渗透数形结合思想,培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯. 2.在探究活动中,培养学生的合作交流意识,让学生在学习中感受成功的喜悦,增强学习数学的信心.
教学重点 理解解直角三角形的概念,掌握解直角三角形的方法.
教学难点 理解并掌握解直角三角形的方法.
教学方法 自主探究 合作交流 启发引导
教学手段 多媒体课件
教学过程 备 注
（一）激趣导入 在本章引言中我们曾经描述过比萨斜塔倾斜程度的问题,把1972年的情形抽象为数学问题为:设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A,过点B向垂直中心线引垂线,垂足为C(如图所示).在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2 m,AB=54.5 m,求∠A的度数. 【师生活动】学生独立思考后回答,教师点评. 　sin A==≈0.0954. 　利用计算器可得∠A≈5°28'. 【追问】在Rt△ABC中,你还能求出其他的边和角吗? 【师生活动】学生思考后回答解题思路,教师把问题一般化,引出本节课课题. 一般地,在直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.在直角三角形中,已知三角形的一些边角元素,我们可以求解直角三角形中的其他元素,什么情况能求解、如何求解就是我们这节课要学习的主要内容.
指导自学 学生自学教材72-73页内容，了解解直角三角形的概念，教师巡视指导。 合作互助 探究 （1）在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？ （2）知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？ 【师生活动】学生在教师提出的问题的引导下,小组合作交流,回答解题思路,教师根据学生的回答进行汇总归纳。 【课件展示】　 （1）三边之间的关系. a2+b2=c2(勾股定理) 两锐角之间的关系： ∠A+∠B=900 边角之间的关系： 利用上述这些关系，知道两个元素(其中至少有一条边),就可以求出其余的三个未知元素. 精讲精练 例1如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=,解这个直角三角形. 　教师引导分析: 　(1)已知线段AC,BC是∠A的邻边和对边,用哪个三角函数可以表示它们之间的等量关系? 　(2)已知∠A的三角函数值可以求∠A的度数吗? 　(3)已知∠A的度数怎样求∠B的度数? 　(4)你有几种方法可以求斜边AB的长? 【学生活动】思考后独立完成,小组内交流答案,小组代表板书过程. 【课件展示】　解:∵tan A===, 　∴∠A=60°,∠B=90°-∠A=90°-60°=30°, 　AB=2AC=2. 例2如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,b=20,解这个直角三角形(结果保留小数点后一位). 教师引导分析:由∠B=35°, 可得∠A=　　　　=　　　　°； 由∠B=35°及它的对边b=20,根据　　　　可得 a=　　　　=　　　　; 由∠B=35°及它的对边b=20,根据　　　　可得 c=　　　　=　　　　.? 【追问】你还有其他方法求c的值吗? 【学生活动】在教师提出的问题的引导下,独立完成解答过程,小组内交流答案,组长指出组内成员的错误,并帮助改正.教师对学生的板书进行点评,强调规范性,并鼓励学生用多种方法求解. 【课件展示】　解:∠A=90°-∠B=90°-35°=55°. 　∵tan B=,∴a==≈28.6. 　∵sin B=,∴c==≈34.9. 检测达标 教材74页练习 归纳总结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 1.解直角三角形的概念 2.直角三角形中五个元素之间的关系: (1)三边之间关系:a2+b2=c2(勾股定理); (2)两锐角之间关系:∠A+∠B=90°; (3)边角之间关系:sin A=,cos A=,tan A=.
布置作业： 教材第77页习题28.2第1题.
板书设计： 28.2.1　解直角三角形 直角三角形中五个元素之间的关系 例1： 例2
教学反思：


授课人 学科 数学 授课时间
课 题 28.2.2 应用举例（1）
课 型 新授课 课时安排 第1课时
教学目标 一、知识与技能 1.了解仰角、俯角等有关概念,经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决实际问题. 2.通过在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问题. 二、过程与方法 1.经历将实际问题转化为数学问题的探究过程,提高应用数学知识解决实际问题的能力. 2.通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题,让学生体会数学知识的发生、发展、应用过程,并发展学生的动手能力. 3.经历从实际问题构建数学模型的过程,体会数学来源于生活又应用于生活. 三、情感态度与价值观 1.学生积极参与探索活动,并在探索过程中发表自己的见解,体会三角函数是解决实际问题的有效工具. 2.通过探索三角函数在实际问题中的应用,感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神. 3.让学生在自主探索、合作交流中获得成功的体验,建立自信心,让学生在解决问题的过程中体会学数学、用数学的乐趣.
教学重点 能根据题意画出示意图,将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系.
教学难点 正确理解题意,将实际问题转化为数学模型的建模过程.
教学方法 自主探究 合作交流 启发引导
教学手段 多媒体课件
教学过程 备 注
（一）激趣导入 如图所示,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子AB的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一架长6 m的梯子. (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙? (2)当梯子底端距离墙面2.4 m时,α等于多少度?此时人能否安全使用这架梯子? 学生小组内讨论解题思路,小组代表回答解题思路,教师巡视中帮助有困难的学生,对学生的回答作出点评,然后导出新课.
（二）指导自学 学生自学教材74-75页内容，了解本节课的内容，教师巡视指导。 合作互助 刚才的导入中用解直角三角形的知识解决了实际生活问题,在生活实际中还有许多问题可以用解直角三角形的知识解决,让我们一起去探究吧! （四）精讲精练 例3 2012年6月18日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行,如图所示,当组合体运行到地球表面P点的正上方时,从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400 km,π取3.142,结果取整数)? 师生合作探究: 　(1)从组合体上最远能直接看到的地球上的点,应该是视线与地球相切时的切点. 　(2)根据题意画出平面图形. 　(3)所要求的距离是图形中的哪条线段的长度? 　(4)已知中有哪些条件?求弧长需要知道哪些条件? 　(5)弧所对的圆心角在哪个三角形中?你能求出这个角的度数吗? 　(如图②所示,☉O表示地球,点F是组合体的位置,FQ是☉O的切线,切点Q是从组合体中观测地球时的最远点.弧PQ的长就是地面上P,Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出∠POQ(即α)的度数) 　【师生活动】　教师通过提出的问题引导学生分析思考,指导学生画出平面图形,分析已知条件和所求的结论,师生共同分析题意及解题思路后,学生独立完成并板书解题过程. 　【课件展示】　解:设∠POQ=α,在图②中,FQ是☉O的切线,△FOQ是直角三角形. 　∵cos α==≈0.9491, 　∴α≈18.36°. 　∴弧PQ的长为×6400≈×6400≈2051(km). 　由此可知,当组合体在P点正上方时,从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051 km. 　例4 热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120 m,这栋楼有多高(结果取整数)? 　教师引导分析: 　(1)如何根据题意画出符合题意的几何图形?(画出示意图如图所示) 　(2)分析题意,已知条件有哪些? 　(3)你能直接求出AB的长吗? 　(4)如何求出BC的长?(线段BD与线段CD的和) 　(5)在Rt△ABD中,能否求线段BD的长? 　(6)在Rt△ACD中,能否求线段CD的长? 【师生活动】教师引导学生思考问题,然后独立完成解题过程,教师巡视过程中及时发现问题,并帮助有困难的学生解决问题,然后课件展示解题过程,规范解题格式. 【课件展示】解:如图所示,α=30°,β=60°,AD=120. 　∵tan α=,tan β=, 　∴BD=AD·tan α=120×tan 30° 　=120×=40, 　CD=AD·tan β=120×tan 60° 　=120×=120. 　∴BC=BD+CD=40+120 　=160≈277(m). 　因此,这栋楼高约为277 m. （五）检测达标 教材76页练习 （六）归纳总结 用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程: 　(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题); 　(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形; 　(3)得到数学问题的答案; 　(4)得到实际问题的答案.
布置作业： 教材第78页习题28.2第2,3,4题.
板书设计： 28.2.2 应用举例（1） 例3 例4
教学反思：


授课人 学科 数学 授课时间
课 题 28.2.2 应用举例（2）
课 型 新授课 课时安排 第2课时
教学目标 一、知识与技能 1.了解方位角等有关概念,能准确把握所指的方位角是指哪一个角. 2.了解坡度、坡角的有关概念,知道坡度与坡角之间的关系. 3.经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决有关方位角、坡度、坡角的实际问题. 二、过程与方法 1.通过探究从实际问题中建立数学模型的过程,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力. 2.通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系,增强应用意识,体会数形结合思想的应用. 3.体验用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题的策略和方法,培养学生分析问题和解决问题的能力,提高学生思维能力的灵活性. 三、情感态度与价值观 1.通过根据实际问题画示意图的过程,培养学生的动手能力,激发学生对数学的好奇心和求知欲. 2.在运用三角函数知识解决问题的过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数学的应用价值. 3.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,体会数形结合思想在数学中的应用,培养学生良好的学习习惯. 4.在合作交流的学习过程中,提高学生的合作意识及团队精神.
教学重点 用三角函数有关知识解决方位角、坡度、坡角等有关问题.
教学难点 准确分析问题并将实际问题转化成数学模型.
教学方法 自主探究 合作交流 启发引导
教学手段 多媒体课件
教学过程 备 注
（一）激趣导入 【复习提问】 1.在练习本上画出方向图(表示东南西北四个方向的). 2.依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线. 【师生活动】学生动手画图,小组内交流答案,教师巡视过程中发现学生易犯错误,作出点评.
（二）指导自学 学生自学教材76页内容，了解本节课所要掌握的内容，教师巡视指导有困难的学生。 （三）合作互助 在生活实际中还有许多问题可以用解直角三角形的知识解决,本节课让我们继续一起去探究吧! （四）精讲精练 例5如图所示,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80 n mile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时,B处距离灯塔P有多远(结果取整数)? 　教师引导分析: (1)要求BP的长,常作的辅助线是什么?(构造直角三角形) (2)在Rt△BPC中,要求BP的长,已知什么?需要求什么? (3)题目中的已知条件是什么?在哪个直角三角形中? (4)在Rt△APC中,根据已知条件可以求出什么? (5)结合(2),只要求出哪条线段的长即可?(线段PC的长) (6)根据以上分析,你能写出解答过程吗? 【师生活动】学生根据教师提出的问题思考后,独立完成解答过程,教师巡视过程中及时辅导,鼓励学生用不同角度思考问题,最后展示学生的解答过程,学生点评与总结. 　解:在Rt△APC中, 　PC=PA·cos (90°-65°) 　=80·cos 25°≈72.505. 　在Rt△BPC中,∠B=34°, 　∵sin B=, 　∴PB=≈≈≈130(n mile). 　因此,当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处时,它距离灯塔P大约130 n mile. （五）检测达标 教材77页练习 （六）归纳总结 　利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程: 　(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题); 　(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形; 　(3)得到数学问题的答案; 　(4)得到实际问题的答案.
布置作业： 教材第78页习题28.2第5,7题.
板书设计： 28.2.2 应用举例（2） 例5
教学反思：