第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理
第1课时 勾股定理的证明
1．经历探索和验证勾股定理的过程，了解勾股定理的概念．
2．利用拼图法验证勾股定理，并会利用两边求直角三角形的另一边长，发展学生的推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想．
3．对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，激发学生热爱数学的情感，激励学生发奋学习的欲望．
重点：经历探索和验证勾股定理的过程，会利用两边求直角三角形的另一边长．
难点：用拼图法验证勾股定理，会利用两边求直角三角形的另一边长．
一、导入新课
如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？
二、探究新知
探究 直角三角形的性质
让学生画一个直角边为3 cm和4 cm的直角三角形ABC，用刻度尺量出斜边AB的长．
以上这个事实是我国古代3 000多年前一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连接得一直角三角形，勾广三，股修四，径隅五．”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3，长的直角边(股)的长是4，那么斜边(弦)的长是5.
再画一个两直角边为5和12的直角三解形ABC，用刻度尺量斜边AB的长．
你是否发现32＋42与52的关系，52＋122和132的关系，即________，________.
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
由上面的几个例子我们猜想：
命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么________＋________＝________.
勾股定理的证明：
已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边为a，b，c.
求证：a2＋b2＝c2.
方法一：
分析：(1)让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明．
(2)拼成如图所示，其等量关系为：________.
(3)发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明．
(4)勾股定理的证明方法，达300余种．这个古老的精彩的证法，出自我国古代数学家之手．
方法二：
图① 图②
分析：图①，图②中的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等．
左边S＝________.
右边S＝________.
左边和右边面积相等，即________．
化简可证．
三、新知归纳
【文字语言】勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
【符号语言】如图，在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，
AB＝c，∴a2＋b2＝c2.
四、典例剖析
例1：求图中直角三角形中未知边的长度．
图① 图②
思路分析：利用勾股定理，已知直角三角形的两边长，可以求出第三边长，其中a2＋b2＝c2可变形为a2＝c2－b2和b2＝c2－a2.
解：图①中，∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2＝122＋62＝180，则AB＝＝6.
图②中，∵∠C＝90°，∴BC2＝AB2－AC2＝252－72＝576，则BC＝＝24.
例2：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13 cm，BC＝5 cm，CD⊥AB于D，求：
(1)AC的长；
(2)S△ABC；
(3)CD的长．
思路分析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13 cm，BC＝5 cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13 cm，BC＝5 cm，∴AC＝＝12 cm；
(2)S△ABC＝CB·AC＝×5×12＝30(cm2)；
(3)∵S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，∴CD＝＝ cm.
例3：在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．
思路分析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．
解：此题应分两种情况说明：
(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示，在Rt△ABD中，BD＝＝＝9.在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；
图① 图②
(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示．在Rt△ABD中，BD＝＝＝9.在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.
五、反馈训练
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》随堂演练．
六、课堂小测
1．在△ABC中，若∠C＝90°，AB＝17，AC＝15，则BC的值为( A )
A．8 B．9 C．10 D．11
2．在△ABC中，若∠C＝90°，c＝39，b?a＝12?5，则b，a的长度分别为( A )
A．36,15 B．15,36
C．12,5 D．24,10
3．若以直角三角形两直角边为边长向外作正方形，所得的面积分别是36和64，则这个直角三角形的斜边长为( C )
A．8 B．9 C．10 D．11
4．一个直角三角形，两边长分别是3和4，则第三边长为5或．
5.已知，如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA＝2 cm，AD是边BC上的高．
求(1)AD的长；(2)△ABC的面积．
解：(1)∵AB＝AC，AD是边BC上的高，∴∠ADB＝90°，BD＝BC，∵BC＝2 cm，∴BD＝1 cm，∴AD＝＝ cm.
(2)S△ABC＝BC·AD＝×2×＝(cm2)．
七、课堂小结
1．勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
2．勾股定理的证明
“赵爽弦图”“刘徽青朱出入图”“詹姆斯·加菲尔德拼图”“毕达哥拉斯图”．
3．勾股定理与图形的面积．
八、布置作业
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》课后作业或《红对勾·练吧》的相关练习．
课件23张PPT。第1课时
勾股定理的证明撷取百家精妙·荟萃时代品牌 谢谢观赏！
Thanks! 第2课时 勾股定理的应用
1．会用勾股定理解决简单的实际问题．
2．树立数形结合的思想．
重点：熟练运用勾股定理解决实际问题．
难点：掌握勾股定理的简单应用，探究最短距离问题．
一、导入新课
1．复习勾股定理的内容．
2．勾股定理在实际生产生活当中有着广泛的应用．勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试．
二、探究新知
问题1：一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
学生分组讨论、交流，教师深入到学生的数学活动中，引导他们发现问题，寻找解决问题的途径．
生1：从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．
生2：在长方形ABCD中，对角线AC是斜着能通过的最大长度．求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板是否能通过．
师生共析：
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.
因此AC＝≈2.24.
因为AC>木板的宽2.2 m，所以木板可以从门框内通过．
问题2：
师：在八年级上册，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．你们能用勾股定理证明这一结论吗？
学生思考并独立完成，教师巡视指导，并总结．
先画出图形，再写出已知、求证如下：
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根据勾股定理，得BC＝，B′C′＝.又AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′， ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
问题3：
师：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出所对应的点吗？
教师可指导学生寻找像长度为，，，…这样的包含在直角三角形中的线段．
师：由于要在数轴上表示点到原点的距离为，，，…，所以只需画出长为，，，…的线段即可，我们不妨先来画出长为，，，…的线段．
生：长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，而长为的线段是直角边为1和2的直角三角形的斜边．
师：长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？
生：设c＝，两直角边长分别为a，b，根据勾股定理a2＋b2＝c2，即a2＋b2＝13.若a，b为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，则a＝2，b＝3，所以长为的线段是直角边长分别为2,3的直角三角形的斜边．
师：下面就请同学们在数轴上画出表示的点．
生：步骤如下：
1．在数轴上找到点A，使OA＝3.
2．作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB＝2.
3．以原点O为圆心、以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点．
三、新知归纳
利用勾股定理解决实际问题的步骤：
1．读懂题意，分析已知、未知量之间的关系．
2．构造直角三角形．
3．利用勾股定理求解．
四、典例剖析
例1：如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？(计算结果保留两位小数)
思路分析：组织学生思考讨论：(1)根据生活经验，要求梯子底端B向外移动多少，必须知道哪两个量？(2)梯子移动过程中谁是不变的量，谁是变化的量？要求出梯子的底端B是否也外移0.5 m米，实际就是求BD的长，而BD＝OD－OB.
解：可以看出，BD＝OD－OB.
∵在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，
∴OB2＝AB2－AO2(勾股定理)．
∴OB＝＝＝1 (m)．
∵OC＝AO－AC，
∴OC＝2.4－0.5＝1.9 (m)．
∵在Rt△COD中，∠COD＝90°，
∴OD2＝CD2－CO2(勾股定理)．
∴OD＝＝＝≈1.77 (m)．
∴BD＝OD－OB≈1.77－1＝0.77 (m)．
答：梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m时，梯子的底端并不是外移0.5 m，而是外移约0.77 m.
例2：如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了100 km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100 km到达目的地C点，求出A，C两点之间的距离．
思路分析：根据所走的方向可判断出△ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解．
解：∵AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝60°.∵∠CBF＝30°，∴∠ABC＝180°－∠ABE－∠CBF＝180°－60°－30°＝90°.在Rt△ABC中，AB＝100 km，BC＝100 km，∴AC＝＝＝200(km)，∴A，C两点之间的距离为200 km.
例3：如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( C )
A.＋1 B．－＋1
C.－1 D.
思路分析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出点A的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为＝，∴－1到点A的距离是.那么点A所表示的数为－1.故选C.
例4：如图，长方体的长BE＝15 cm，宽AB＝10 cm，高AD＝20 cm，点M在CH上，且CM＝5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？
思路分析：将长方体沿CH，HE，BE剪开翻折，使面ABCD和面BEHC在同一个平面内，连接AM；或将长方体沿CH，GD，GH剪开翻折，使面ABCD和面DCHG在同一个平面内，连接AM，或将长方体沿CD，CH，GH剪开翻折，使面ADGF和面CDGH在同一个平面内，连接AM，再分别利用勾股定理求解，比较大小即可求出最短路程．
解：分三种情况比较最短距离：
图① 图②
如图①所示，蚂蚁爬行最短路线为AM，AM＝＝5(cm)．
如图②所示，蚂蚁爬行最短路线为AM，AM＝＝25 (cm)．
如图③所示，蚂蚁爬行的最短路线为AM，AM＝＝5 (cm)．
图③
∵5>5>25，
∴第二种短些，此时最短距离为25 cm.
答：需要爬行的最短距离为25 cm.
五、反馈训练
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》随堂演练．
六、课堂小测
1．一个高2米、宽1.5米的长方形门框，需要在其相对的顶点间用一条木条加固，则需木条长为__2.5米__．
2．如图，小明从家走到邮局用了8分钟，然后右转弯用同样的速度走了6分钟到达书店，已知小明家距离邮局640米，那么小明家距离书店__800__米．
3．若等腰直角三角形的斜边长为2，则它的直角边的长为__2__，斜边上的高的长为__1__.
4．有一个边长为50 dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，圆的直径至少为 50 dm (结果保留根号)．
5．如图，在一棵树的10 m高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20 m的池塘A处，另一只猴子爬到树顶后直接跃向池塘A处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？
解：已知BD＝10 m，AB＝20 m，
设CD＝x m，
则根据AB＋BD＝CD＋AC，
可求得AC＝(30－x)m，且BC＝(10＋x)m，
在Rt△ABC中，AC为斜边，
则AC2＝AB2＋BC2，
即(30－x)2＝202＋(10＋x)2，
解得x＝5，
故BC＝BD＋CD＝10＋5＝15 (m)，
答：此树高为15 m.
七、课堂小结
1．勾股定理的作用——它把直角三角形的图形特征转化为边的数量关系．
2．会用勾股定理进行有关计算和证明，要注意利用方程的思想求有关三角形的边长．
3．会从实际问题中抽象出数学模型，从而解决实际问题．
八、布置作业
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》课后作业或《红对勾·练吧》的相关练习.
课件28张PPT。第2课时
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Thanks! 17.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
1．了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”；而勾股逆定理的作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”．
2．理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系．
重点：能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形．
难点：1.灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题．
2．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系．
一、导入新课
活动探究：
(1)总结直角三角形有哪些性质；
(2)一个三角形满足什么条件时才能是直角三角形？
生：直角三角形有如下性质：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余；(3)两直角边的平方和等于斜边的平方；(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．
师：那么一个三角形满足什么条件时，才能是直角三角形呢？
生1：如果三角形有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形．
生2：如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形．
师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b与斜边c具有一定的数量关系即a2＋b2＝c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人是如何做的？
二、探究新知
多媒体呈现：据说，古埃及人用右图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
问题1：第4个结处的角是什么角？在其他结点钉木桩，还能得到类似的结果吗？这其中包含了什么数学道理？
让学生用棉线模仿古埃及人，用打结的方法进行试验．
学生经过试验操作，小组交流、探讨，初步归纳发现的结果：如果围成三角形的三边长分别是3,4,5，那么围成的三角形是直角三角形．(如果三边长是2,5,5，那么就不能围成直角三角形)
再画画看，如果三角形的三边长分别是2.5 cm，6 cm,6.5 cm，它们满足关系“2.52＋62＝6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4 cm,7.5 cm,8.5 cm，再试一试．
问题2：根据上面的几个例子，你能提出一个数学命题吗？
学生通过计算、测量、交流后，得出命题：
命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
教师分析：命题2与上节课所学的命题1的题设、结论正好相反，即命题1的题设是命题2的结论；命题1的结论是命题2的题设．我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题．那么另一个叫做它的逆命题．
问题3：若原命题为“同位角相等，两直线平行”，那么它的逆命题是什么？如果原命题正确，那么逆命题也一定正确吗？为什么？学生经过交流讨论后，教师予以评析．
问题4：从以上的学习，我们知道，△ABC中，如果a＝3 cm，b＝4 cm，c＝5 cm，三边之间存在a2＋b2＝c2的关系．△ABC应该是直角三角形，那么我们要如何证明呢？
教师分析：要直接证明某个角是直角有一定的难度，可以考虑采用其他策略，如用我们较为熟悉的三角形全等来证明．
我们可以先画一个△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝3，A′C′＝4，假如△ABC与△A′B′C′完全重合(全等)的话，能不能说明△ABC是直角三角形呢？
学生尝试去解决问题(可以让学生参照教材P32页的证明方法)．
学生探究、讨论后，师生共同总结：
用三角形全等可以证明勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理．我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．它是判定直角三角形的一个依据．
一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．
三、新知归纳
1．勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
2．两个命题的题设，结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．
3．像3,4,5这样能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
四、典例剖析
例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形．
(1)a＝15，b＝8，c＝17；
(2)a＝13，b＝14，c＝15.
思路分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
解：(1)因为152＋82＝225＋64＝289,172＝289，
所以152＋82＝172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．
(2)因为132＋142＝169＋196＝365,152＝225，
所以132＋142≠152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形．
例2：如图，已知在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝AD.求证：CE⊥EF.
思路分析：根据题设提供的信息，可将需证明垂直关系的两条线段转化到同一直角三角形中，运用勾股定理的逆定理进行证明．
证明：连接CF.设正方形的边长为4，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝4.∵点E为AB中点，AF＝AD，∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3.由勾股定理得EF2＝12＋22＝5，EC2＝22＋42＝20，FC2＝42＋32＝25.∵EF2＋EC2＝FC2，∴△CFE是直角三角形，且∠FEC＝90°，即EF⊥CE.
例3：如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四边形ABCD的面积．
思路分析：连接AC，根据已知条件可求出AC，再运用勾股定理可证△ACD为直角三角形，然后可分别求出两个直角三角形的面积，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．
解：连接AC.∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，∴AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝102，∴AC＝10.在△ACD中，∵AC2＋CD2＝100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×6×8＋×10×24＝144.
例4：写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题．
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)相等的角是内错角；
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．
思路分析：求一个命题的逆命题时，分别找出各命题的题设和结论，将其互换即可得原命题的逆命题．
解：(1)同旁内角互补，两直线平行，真命题；
(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内)，真命题；
(3)内错角相等，假命题；
(4)等边三角形有一个角是60°，真命题．
五、反馈训练
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》随堂演练．
六、课堂小测
1．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( D )
A．b2＝c2－a2
B．a?b?c＝3?4?5
C．∠C＝∠A－∠B
D．∠A?∠B?∠C＝12?13?15
2．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( C )
A．5,6,7 B．1,4,9
C．5,12,13 D．5,11,12
3．若一个三角形的三边长的平方分别为：32,42，x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是( D )
A．42 B．52
C．7 D．52或7
4．如图，AB⊥CB于B，AD＝24，AB＝20，BC＝15，CD＝7，求四边形ABCD的面积．
解：∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，∴AC＝＝＝25，∵AD2＋CD2＝242＋72＝252＝AC2，∴△ACD为直角三角形，且∠D＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×20×15＋×7×24＝150＋84＝234.
5．如果△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，判断△ABC的形状．
解：由a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，得a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c2－10c＋25＝0.所以(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0.又因为(a－3)2≥0，(b－4)2≥0，(c－5)2≥0，所以a＝3，b＝4，c＝5.因为32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．
七、课堂小结
1．勾股定理的逆定理及勾股数．
2．互逆命题与互逆定理．
八、布置作业
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》课后作业或《红对勾·练吧》的相关练习．
课件26张PPT。第1课时
勾股定理的逆定理撷取百家精妙·荟萃时代品牌 谢谢观赏！
Thanks! 第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用
1．勾股定理的逆定理的实际应用．
2．勾股定理及逆定理的综合应用．
重点：勾股定理的逆定理的实际应用．
难点：勾股定理及逆定理的综合应用．
一、导入新课
问题1：小红和小军周日去郊外放风筝，风筝飞得又高又远，他俩很想知道风筝离地面到底有多高，你能帮助他们吗？
问题2：如下图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的AD边和BC边是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．
(1)你能替他想想办法完成任务吗？
(2)李叔叔量得AD的长是30厘米，AB的长是40厘米，BD的长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？
(3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
二、探究新知
先由学生自主独立思考，然后分组讨论，交流各自的想法．
教师应深入到学生的讨论中去，对于学生出现的问题，教师及时给予引导．
在此活动中，教师应重点关注学生，
(1)能否独立思考，寻找解决问题的途径．
(2)能否积极主动地参加小组活动，与小组成员充分交流，且能静心听取别人的想法．
(3)能否由此活动，激发学生学习数学的兴趣．
生：对于问题1，我们组是这样考虑的：小红拉着风筝站在原地，小军到风筝的正下方也就是说小军的头顶就是风筝．小红放线，使线端到达他所站的位置，然后在线端做一记号，最后收回风筝，量出放出的风筝线的总长度AB，再量出小红和小军所站位置的两点间的距离BC，利用勾股定理便可以求出AC的长度．(如下图所示)
生：对于问题2，我们组是这样考虑的：李叔叔随身只带卷尺检测AD，BC是否与底边垂直，也就是要检测∠DAB＝90°，∠CBA＝90°，连接BD或AC，也就是要检测△DAB和△CBD是否为直角三角形．很显然，这是一个需要用勾股定理的逆定理来解决的实际问题．
根据我们的分析，用勾股定理的逆定理来解决，要检测△DAB是否为直角三角形，即∠DAB＝90°，李叔叔只需用卷尺分别量出AB，BD，DA的长度，然后计算AB2＋AD2和BD2，看他们是否相等，若相等，则说明AD⊥AB，同理可检测BC是否垂直于AB.
师：很好，对于问题2中的第(2)个小问题，李叔叔已量得AD，AB，BD的长度，根据他量出的长度能说明DA和AB垂直吗？
生：可以，因为AD2＋AB2＝302＋402＝2 500，而BD2＝2 500，所以AD2＋AB2＝BD2.可得AD与AB垂直．
师：小明带的刻度尺长度只有20厘米，他有办法检验AD与AB边的垂直吗？
生：可以利用分段相加的方法量出AD，AB，BD的长度．
生：这样做误差太大，可以AB，AD上各量一段较小的长度．例如在AB边上量一小段AE＝8 cm，在AD边上量一小段AF＝6 cm，而AE2＋AF2＝82＋62＝64＋36＝100＝102，这时只要量一下EF是否等于10 cm即可．
如果EF＝10 cm，EF2＝100，则有AE2＋AF2＝EF2，根据勾股定理的逆定理可知△AEF是直角三角形，∠EAF＝90°，即∠DAB＝90°，所以AD⊥AB；如果EF≠10 cm，则EF2≠100，所以AE2＋AF2≠EF2，△AEF不是直角三角形，即AD不垂直于AB.
三、新知归纳
利用勾股定理的逆定理解决实际问题的步骤．
1．找出已知条件与未知条件．
2．根据题意画出图形．
3．根据勾股定理的逆定理解决问题．
四、典例剖析
例1：如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
思路分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了．
解：根据题意，PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30.
因为242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，所以∠QPR＝90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°.因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．
例2：如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A，B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？
思路分析：已知走私艇的速度，求出走私艇所走的路程即可得出走私艇所用的时间，即可得出走私艇何时能进入我国领海．解题的关键是得出走私艇所走的路程，设MN与AC相交于E，根据题意，CE即为走私艇所走的路程．由题意可知，△BEC和△ABC均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出．
解：设MN与AC相交于E，则∠BEC＝90°.∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.∵MN⊥CE，∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE.由S△ABC＝AB·BC＝AC·BE，得BE＝ 海里．由CE2＋BE2＝122，得CE＝海里，∴÷13＝≈0.85(小时)＝51(分钟)，9时50分＋51分＝10时41分．
答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海．
例3：如图，已知点P是等边三角形ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．
思路分析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连接EP，判断△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的度数．
解：∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC.可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，如图，连接EP，∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°.在△APE中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，∴AE2＝PE2＋PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，∴∠APB＝90°＋60°＝150°.
五、反馈训练
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》随堂演练．
六、课堂小测
1．如图，四边形ABCD中，AB＝15，BC＝12，CD＝16，AD＝25，且∠C＝90°，则四边形ABCD的面积是( A )
A．246 B．296
C．592 D．以上都不对
2．甲乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40 m，甲客轮用15分钟到达点A，乙客轮用20分钟到达点B，若A，B两点的直线距离为1 000 m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( A )
A．南偏东60° B．南偏西60°
C．北偏西30° D．南偏西30°
3．由坐标平面内的三点A(－2，－1)，B(－1，－4)，C(5，－2)构成的三角形是__直角__三角形．
4．小强在操场上向东走80 m后，又走了60 m，再走100 m回到原地．小强在操场上向东走了80 m后，又走60 m的方向是__正南或正北__．
5．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A，B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，求甲巡逻艇的航向．
解：由题意可知：AC＝120×6×＝12，BC＝50×6×＝5，又∵AB＝13,122＋52＝132，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.∵∠CBA＝50°，∴∠CAB＝40°，∴甲巡逻艇航向为北偏东50°.
七、课堂小结
1．利用勾股定理逆定理求角的度数．
2．利用勾股定理逆定理求线段的长．
3．利用勾股定理逆定理解决实际问题．
八、布置作业
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》课后作业或《红对勾·练吧》的相关练习．
课件24张PPT。第2课时
勾股定理及其逆定理的综合应用撷取百家精妙·荟萃时代品牌 谢谢观赏！
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