第十八章 平行四边形
18．1 平行四边形
18．1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的性质(1)
1．掌握平行四边形有关概念和性质．
2．探索并掌握平行四边形的对边相等，对角相等的性质．
3．理解平行线间的距离处处相等的结论，并了解其简单应用．
重点：1.理解平行四边形的概念．
2．掌握平行四边形边、角的性质．
难点：利用平行四边形边、角的性质解决问题．
一、导入新课
平行四边形是我们常见的图形，如小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等(教师多媒体课件展示)．
问题：同学们还能再举出一些平行四边形的例子吗？
学生交流、讨论后，教师请学生回答，并给予评析．
我们知道，有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用“?”表示，如图所示，平行四边形ABCD记作“?ABCD”．
教师强调定义的两个方面作用：一是可以判定一个四边形是不是平行四边形；二是平行四边形具有两组对边分别平行的性质．
本节课我们将一起来探究平行四边形具有哪些性质？
二、探究新知
探究1
师：平行四边形是一种特殊的四边形，它除了具有四边形的性质和两组对边分别平行的性质外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．
(1)由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．
(2)猜想平行四边形的对边相等、对角相等．
下面证明这个结论的正确性．
已知：?ABCD.
求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD.
思路分析：作四边形ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．
证明：如图，连接AC，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.
又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(ASA)．
∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D.
由上面的证明可知：
∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3，
∴∠BAD＝∠BCD.
由此得到平行线的性质．
探究2
问题：距离是几何中的重要度量之一，前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离．在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，介绍平行线之间的距离．
如图1，a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点．由平行四边形的概念和性质可知，AB＝CD.也就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．
图1 图2
从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．如图2，a∥b，A是a上的任意一点，AB⊥b，B是垂足，线段AB的长就是a，b之间的距离．
三、新知归纳
1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2．表示：平行四边形用符号“?”来表示．
3．平行四边形的性质：(1)平行四边形的对边相等；(2)平行四边形的对角相等．
4．平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．
四、典例剖析
例1：如图所示，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：AE＝CF.
思路分析：要证明线段AE＝CF，它不是平行四边形的对边，无法直接用平行四边形的性质证明，考虑证明△ADE≌△CBF.由题意容易得到∠AED＝∠CFB＝90°，再根据平行四边形的性质可以得出∠A＝∠C，AD＝CB.在此基础上，引导学生写出证明过程，并组织学生进行点评．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB.
又∠AED＝∠CFB＝90°，
∴△ADE≌△CBF.
∴AE＝CF.
例2：如图，点G，E，F分别在?ABCD的边AD，DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：FP＝EP.
思路分析：根据平行四边形的性质推出∠DGC＝∠GCB，根据等腰三角形性质求出∠DGC＝∠DCG，推出∠DCG＝∠GCB，根据“等角的补角相等”求出∠DCP＝∠FCP，根据“SAS”证出△PCF≌△PCE即可得出结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB.∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG，∴∠DCG＝∠GCB.∵∠DCG＋∠ECP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，∴∠ECP＝∠FCP.
在△PCF和△PCE中，∵∴△PCF≌△PCE(SAS)．
∴PF＝PE.
例3：如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等．
思路分析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．
解：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.
∴S△EGH＝GH·h，S△FGH＝GH·h，
∴S△EGH＝S△FGH，
∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，
∴S△EGO＝S△FOH.
五、反馈训练
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》随堂演练．
六、课堂小测
1．?ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为( C )
A．60° B．80°
C．100° D．120°
2．在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是( B )
A．对角相等 B．对角互补
C．邻角互补 D．内角和是360°
3．在?ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交于点O，那么图中的平行四边形一共有( D )
A．4个 B．6个
C．8个 D．9个
4．在?ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH＝EH.
证明：如图所示，∵在?ABCD中，BA∥CD，∴∠E＝∠2.∵CE平分∠BCD，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠E.∴BE＝BC.
又∵BH⊥EC，∴CH＝EH.
5．如图所示，四边形ABCD是一个平行四边形，BE⊥CD于点E，BF⊥AD于点F.
(1)请用图中的字母表示出平行线AD与BC之间的距离；
(2)若BE＝2 cm，求平行线AB与CD之间的距离．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵BF⊥AD，∴BF⊥BC，∴平行线AD与BC之间的距离是线段BF的长度．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵BE⊥CD，∴BE⊥AB，∴平行线AB与CD之间的距离是线段BE的长度，是2 cm.
七、课堂小结
1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2．平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形具有一般四边形的性质，内角和是360°，具有不稳定性等．
3．两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离，两条平行线间的距离处处相等．
八、布置作业
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》课后作业或《红对勾·练吧》的相关练习．
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Thanks! 第2课时 平行四边形的性质(2)
1．掌握平行四边形性质——对角线互相平分．
2．经历平行四边形性质的探索过程，体验发现的乐趣．
重点：平行四边形对角线互相平分的性质．
难点：运用平行四边形的性质解决有关图形的计算或证明问题．
一、导入新课
请同学们一起来思考以下两个问题：
问题1：平行四边形是一个特殊的图形，它的边、角各有什么性质？
学生交流、讨论后，派代表回答，教师予以评析．
(平行四边形对边平行且相等，对角相等，邻角互补．)
问题2：平行四边形除了边、角的性质外？还有其他的性质吗？
本节课我们将继续探究平行四边形的对角线所具备的性质．
二、探究新知
探究 如教材图，在?ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？你能证明发现的结论吗？
这个环节让学生把自己的想法与同学交流、讨论，再把猜想归纳成文字．
教师讲评：我们猜想，在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD.
与证明平行四边形的对边相等、对角相等的方法类似，我们也可以通过三角形全等证明这个猜想．
证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB綉DC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
则在△DOC与△BOA中，
∴OA＝OC，OB＝OD.
三、新知归纳
平行四边形的一个性质：平行四边形的对角线相互平分．
四、典例剖析
例1：如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC.求BC，CD，AC，OA的长，以及?ABCD的面积．
思路分析：根据平行四边形的对边相等，可以求出BC和CD的长度．再由勾股定理求出AC的长度．再由平行四边形的对角线互相平分求出OA的长度，由平行四边形面积公式可以求出面积．
解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝10，OA＝OC＝AC.
∵AB＝10，BC＝8，由勾股定理得：
AC＝＝6，
∴OA＝3，
S?ABCD＝BC·AC＝8×6＝48.
例2：已知?ABCD的周长为60 cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，求这个平行四边形各边的长．
思路分析：?ABCD的周长为60 cm，即相邻两边之和为30 cm.△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，而AO为共用，OB＝OD，因而由题可知AB比AD长5 cm，进一步解答即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.∵△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，∴AB－AD＝5 cm，又∵?ABCD的周长为60 cm，∴AB＋AD＝30 cm，则AB＝CD＝ cm，AD＝BC＝ cm.
例3：如图，平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别是AO，CO的中点，试判断线段BE，DF的关系并证明你的结论．
思路分析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA＝OC，OB＝OD.利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用△FOD≌△EOB可得出BE＝DF，BE∥DF.
解：BE＝DF，BE∥DF.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE＝OF，又∵∠FOD＝∠EOB，∴△FOD≌△EOB(SAS)，∴BE＝DF，∠ODF＝∠OBE，∴BE∥DF.
五、反馈训练
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》随堂演练．
六、课堂小测
1．如图，在?ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为( A )
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
2．在?ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为( D )
A．3 B．5 C．2或3 D．3或5
3．平行四边形的两条对角线分别为4和6，则其中一条边x的取值范围为( B )
A．2C．04．如图，在?ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是__24__.
5．如图所示，?ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，过O点作直线EF，分别交AD，BC于E，F.
(1)试说明OE＝OF；
(2)四边形ABFE的面积与四边形FCDE的面积有何关系？试说明你的结论．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，AD∥BC.
∵AD∥BC，∴∠1＝∠2.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.
(2)S四边形ABFE＝S四边形FCDE，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝DA，∠ABC＝∠CDA，
∴△ABC≌△CDA.
∴S△ABC＝S△CDA(全等三角形的面积相等)．
又由(1)知△AOE≌△COF，
∴S△AOE＝S△COF.
∴S四边形ABFE＝S四边形FCDE.
七、课堂小结
1．平行四边形的性质：
边：(1)平行四边形的两组对边分别平行．
(2)平行四边形的两组对边分别相等．
角：(1)平行四边形的四个内角的和等于360°.
(2)平行四边形的邻角互补．
(3)平行四边形的对角相等．
对角线：平行四边形的对角线互相平分．
2．研究平行四边形的方法：常把他转化为三角形的问题．
八、布置作业
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》课后作业或《红对勾·练吧》的相关练习．
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平行四边形的性质(2)撷取百家精妙·荟萃时代品牌 谢谢观赏！
Thanks! 18．1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定(1)
1．学习平行四边形的三种判定方法．
2．能结合图形用几何语言说出平行四边形的判定过程．
重点：掌握平行四边形的判定定理．
难点：综合运用平行四边形的性质与判定解决问题．
一、导入新课
我们已经学习了平行四边形，那么平行四边形具有什么性质呢？(学生回答)反过来，对边相等，对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？这就是我们这节课所要探讨的问题，导入新课，板书课题．
二、探究新知
1．结合下图，用定义可以说明四边形ABCD是平行四边形．
如图，在四边形ABCD中，
∵AB∥________，________∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
由此平行四边形的定义也可以作为一个判定：
平行四边形的判定一(定义法——两组对边的位置法)：
2．请同学们思考：两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？动动手．
用两根一样长的木条作为一组对边(AB＝CD)，再用两根一样长的木条作为另一组对边(AD＝BC)拼一个四边形(如图)．这个四边形是平行四边形吗？自己验证．
证明：(用定义“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”加以证明)
平行四边形的判定二(两组对边的数量法)：
判定格式：如图，在四边形ABCD中，
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
3．两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？(用以上判定方法二探究)
平行四边形的判定三(两组对角法)：
判定格式：如图，在四边形ABCD中，
∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形．
4．动手试一试：把两根长度不一样的木条的中点用一颗钉子固定，然后用线段顺次连接两木条的端点(即得四边形)．猜一猜这个四边形是平行四边形吗？
验证你的猜想：如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，交点是点O，且OA＝OC，OB＝OD.
则四边形ABCD是平行四边形．
证明：在△OAB和△OCD中，
∵
∴________≌________( )，
∴∠BAO＝________，∠ABO＝________( )，
∴AB∥________，AD∥________( )，
∴四边形ABCD是______( )．
平行四边形的判定四(对角线法)：
判断格式：如图，在四边形ABCD中，
∵OA＝________，
∴________＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
三、新知归纳
平行四边形的判定方法
1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
2．判定定理：
(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
四、典例剖析
例1：如图，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形ACE，等边三角形BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
思路分析：根据题意，利用全等可证明AD＝FE，DF＝AE，从而可判断四边形DAEF为平行四边形．
解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF(SAS)，同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，AC＝DF＝AE.∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
例2：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
思路分析：(1)可根据三角形的内角和为180°得出∠D的大小；(2)根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行证明．
解：(1)∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；
(2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB＝40°，∠DCB＋∠B＝180°，∴∠DAB＝∠1＋∠CAB＝125°，∠DCB＝180°－∠B＝125°，∴∠DAB＝∠DCB.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．
例3：已知：如图?ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．
思路分析：由平行四边形的性质可以得到OA＝OC，OB＝OD，再由AE＝CF及等式的性质可以得到OE＝OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可以得证．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF.
即EO＝FO.
又∵BO＝DO，
∴四边形BFDE是平行四边形．
五、反馈训练
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》随堂演练．
六、课堂小测
1．以长分别为4 cm,5 cm,7 cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画形状不同的平行四边形( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．填空：如图，在四边形ABCD中，
(1)若AB∥CD，补充条件__AD∥BC__，使四边形ABCD为平行四边形；
(2)若AB＝CD，补充条件__AD＝BC__，使四边形ABCD为平行四边形；
(3)若对角线AC，BD交于点O，OA＝OC＝3，OB＝5，补充条件__OD＝5__，使四边形ABCD为平行四边形．
(4)∠BAD＝120°，则∠ABC＝__60°__，∠BCD＝__120°__，∠ADC＝__60°__时，四边形ABCD是平行四边形．
3．如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.
在△AOC和△BOD中，
∵
∴△AOC≌△BOD(AAS)；
(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E，F分别是OC，OD的中点，∴OF＝OD，OE＝OC，∴EO＝FO，又∵AO＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．
七、课堂小结
1．平行四边形的判定方法：
边：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
2．在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
3．用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过证明三角形全等解决．
八、布置作业
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》课后作业或《红对勾·练吧》的相关练习．
课件26张PPT。 第1课时
平行四边形的判定(1)撷取百家精妙·荟萃时代品牌 谢谢观赏！
Thanks! 第2课时 平行四边形的判定(2)
1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题．
3．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
4．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
重点：1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法．
2．掌握中位线的定义及中位线定理．
难点：平行四边形性质与判定的综合运用．
一、导入新课
我们在研究平行四边形时，经常采用把平行四边形转化为三角形的问题，能否用平行四边形研究三角形呢？
如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE.像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
问题：看一看，量一量，猜一猜：DE与BC之间有什么位置关系和数量关系？
猜想：DE∥BC，DE＝BC.
二、探究新知
探究1 平行四边形的判定方法(一组对边法)
取两根等长的木条AB，CD，将它们平行放置，再用两根木条BC，AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？
怎样证明你的猜想是正确的？
证明：如图，连接AC，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2.
在△ABC与△CDA中，
∴△ABC≌△CDA，
∴AD＝BC.又∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
探究2
思考：
(1)想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？
(答：①一个三角形的中位线共有三条；②三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线．)
(2)三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．
求证：DE∥BC，DE＝BC.
思路分析：本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半．将DE延长一倍后，可以将证明DE＝BC转化为证明延长后的线段与BC相等．此时，能否通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明？
证明：如图，延长DE到F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF.∵AE＝EC，DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CF∥AD，CF＝AD.
∵AD＝BD，
∴CF∥BD，CF＝BD，
∴四边形BDFC为平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC.
又DE＝DF，
∴DE＝BC，DE∥BC.
三、新知归纳
1．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
几何语言表述：∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
2．你能用一句话概括你的猜想和证明吗？
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
几何语言表述：∵DE是三角形中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC.
四、典例剖析
例1：如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
思路分析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，可证出AD∥CB.根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证出结论．
解：四边形ABCD是平行四边形．理由如下：
∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB.又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．
例2：已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
思路分析：因为已知点E，F，G，H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．
证明：如图连接AC，在△DAC中，
∵AH＝HD，CG＝GD，
∴HG∥AC，HG＝AC(三角形中位线性质)．
同理EF∥AC，EF＝AC.
∴HG∥EF，且HG＝EF.
∴四边形EFGH是平行四边形．
五、反馈训练
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》随堂演练．
六、课堂小测
1．如图，以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形AEDF的周长是( B )
A．18 B．16 C．14 D．12
3．如图，在△ABC中，E是AB的中点，AF交BC于点F，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，垂足为D，连接DE，若BC＝12，AC＝8，则DE的长为( A )
A．2 B．2.5 C．3 D．4
4．如图，O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG.
求证：四边形DEFG是平行四边形．
证明：如图，连接OA，
在△AOB中，D，E为AB，BO上的中点，
∴DE为△AOB的中位线，
∴DE＝AO，DE∥AO.
同理可证，GF＝AO，GF∥AO.
∴GF∥DE，GF＝DE.
∴四边形DEFG是平行四边形．
七、课堂小结
1．平行四边形的判定：
边：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
3．三角形中位线定理揭示了三角形中位线与第三边的位置关系和数量关系，当图形中有中点或中线时，常常想到连接中点构造中位线来判定平行和倍分关系．
八、布置作业
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》课后作业或《红对勾·练吧》的相关练习．
课件26张PPT。第2课时
平行四边形的判定(2)撷取百家精妙·荟萃时代品牌 谢谢观赏！
Thanks! 18．2 特殊的平行四边形
18．2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
1．掌握矩形的性质，学会运用矩形的性质解决问题．
2．经历探索矩形的性质的过程，发展学生主动探索、研究的习惯．
3．通过动手操作，感受矩形与平行四边形之间的关系，掌握矩形性质相对于平行四边形性质的相关性和特殊性．
重点：矩形的性质．
难点：矩形性质的探究．
一、导入新课
通过前面的学习我们知道当一个四边形满足两组对边分别平行时，就会成为平行四边形，也就是说平行四边形是特殊的四边形．当把平行四边形的边角特殊化时，就会成为特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形．从本节课开始我们研究这几类图形．
我们先从角入手，当一个平行四边形的一个角成为直角时，就成为了特殊的平行四边形矩形，本节课就来研究矩形．
二、探究新知
探究1 矩形的定义
1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门、活动衣架、篱笆、井架等)，想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？
平行四边形的性质：
(1)平行四边形的对边平行且相等．
(2)平行四边形的对角相等，邻角互补．
(3)平行四边形的对角线互相平分．
2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？(动画演示拉动过程)
3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？(小学学过的长方形)引出矩形定义．
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．
探究2 矩形的性质
在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线)，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．
1．随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
2．当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？
先独立思考再小组讨论、确定结论，组间交流．
得到矩形的性质：
矩形性质1 矩形的四个角都是直角．
矩形性质2 矩形的对角线相等．
3．请同学们验证你们猜想得出的矩形特殊的性质．
猜想1：矩形的四个角都是直角．
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形．
求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
又矩形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∠A＋∠B＝180°.
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
即矩形的四个角都是直角．
结论：矩形的四个角都是直角．
数学语言：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
猜想2：矩形的对角线相等．
已知：如图，四边形ABCD是矩形，求证：AC＝BD.
证明：在矩形ABCD中，
∵∠ABC＝∠DCB＝90°，
AB＝DC，BC＝CB.
∴△ABC≌△DCB.
∴AC＝BD，即矩形的对角线相等．
结论：矩形的对角线相等．
数学语言：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD.
如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，由性质2有AO＝BO＝CO＝DO＝AC＝BD.因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
三、新知归纳
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．
2．矩形的性质：
矩形的性质1：矩形的四个角都是直角．
矩形的性质2：矩形的对角线相等．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
四、典例剖析
例1：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，求矩形对角线的长．
思路分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分．
∴OA＝OB.
又∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形．
∴OA＝AB＝4，
∴矩形的对角线长AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.
例2：已知：如图，矩形ABCD中，AB长8 cm，对角线比AD边长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长．
思路分析：因为矩形的四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．
解：设AD＝x cm，则对角线长(x＋4)cm，在Rt△ABD中，由勾股定理，得x2＋82＝(x＋4)2，解得x＝6，即AD＝6 cm.由AE·DB＝AD·AB，解得AE＝4.8 cm.
例3：如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
(2)求证：EF垂直平分AD.
思路分析：(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DE＝AE＝AB，DF＝AF＝AC，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可．
解：(1)∵AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点，∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；
(2)证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E，F在线段AD的垂直平分线上，∴EF垂直平分AD.
五、反馈训练
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》随堂演练．
六、课堂小测
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于F，那么S△ACF为( D )
A．12 B．15 C．6 D．10
2．如图，矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，OE⊥AC，交AD于点E，连接CE.若AB＝2，BC＝4，则CE的长为( A )
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.5
3．如图所示，矩形ABCD中，E是BC的中点，矩形ABCD的周长是20，AE＝5，则AB的长为4.
4．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝15度．
5．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠BEF＋∠BFE＝90°，∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°.∴∠BFE＝∠CED，∴∠BEF＝∠EDC.在△EBF与△DCE中，∠BFE＝∠CED，EF＝DE，∠BEF＝∠CDE，∴△EBF≌△DCE(ASA)．∴BE＝CD.∴BE＝AB，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴∠EAD＝45°，∴∠BAE＝∠EAD，∴AE平分∠BAD.
七、课堂小结
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2．矩形的性质：
边：矩形的对边平行且相等．
角：矩形的四个角都是直角．
对角线：矩形的对角线相等且互相平分．
3．直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
4．方法总结：在矩形中进行有关计算或证明，常根据矩形的性质将问题转化到直角三角形或等腰三角形中，利用直角三角形或等腰三角形的有关性质进行解题．
八、布置作业
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》课后作业或《红对勾·练吧》的相关练习．
课件31张PPT。第1课时
矩形的性质 撷取百家精妙·荟萃时代品牌 谢谢观赏！
Thanks! 第2课时 矩形的判定
1．经历探索矩形的判定方法的过程，掌握判定条件，并能运用其解决简单的问题．
2．在探索矩形的判定方法的直观操作和简单的说理活动过程中，培养学生的推理能力．
重点：矩形判定方法的探索与运用．
难点：矩形判定方法的探究．
一、导入新课
复习平行四边形的性质、判定，矩形的性质
问题1：想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中哪些是平行四边形所没有的？列表进行比较.
平行四边形
矩形
边
角
对角线
对称性
问题2：由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，除此之外，你还有其他的判定方法吗？
二、探究新知
探究1 定义判断法
问题一：如何判定一个四边形是矩形？依据定义能判定吗？(定义是判定的基本方法)
方法1：
文字语言：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
符号语言：∵在?ABCD中，∠A＝90°，
∴?ABCD是矩形．
教师特别强调指出：按这种方法判定需证明两点：(1)是平行四边形；(2)有一个角是直角．
除了定义外还有其他的判定方法吗？
(下面逆向探索矩形的判定方法．)
探究2 三个角是直角的四边形是矩形
问题二：我们知道矩形的四个角都是直角，将“矩形的四个角都是直角”反过来，得到它的逆命题“四个角都是直角的四边形是矩形”成立吗？
(大家讨论：由一个学生说明其中道理．利用定义进行判定，看能否有条理地进行说理．)
有人说：“有三个角是直角的四边形就是矩形．”你认为这种说法对不对？为什么？
让大家各抒己见，教师再归纳．
已知：四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠A＋∠B＝180°.
∴AD∥BC.
同理：AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
方法2：
文字语言：有三个角是直角的四边形是矩形．
符号语言：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
指出：按这种判定方法证明时，只要证明这个四边形有三个角是直角就可以了．
记得我们在小学画长方形(矩形)时，老师要求我们画三个角是直角的四边形就是这个道理吧！
探究3 对角线相等的平行四边形是矩形
问题三：从上节课的学习我们知道：矩形的两条对角线相等而且互相平分．
那么，“矩形是对角线相等的平行四边形”．这个命题的逆命题是什么？它的逆命题是真命题吗？
由同学们独立思考，得出逆命题：“对角线相等的平行四边形是矩形”．
教师引导：同学们是否可以采用方法一或方法二来加以证明呢？
师生共同探索证明的途径，抓住证明的要点，然后由一位同学演示，师巡视，帮助困难学生．指出证明方法的多样性．
已知：如图，在?ABCD中，AC＝BD，
求证：?ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD.
又∵AC＝BD，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB.
∴∠ABC＝∠DCB.
∵AB∥CD，
∴∠ABC＋DCB＝180°.
∴∠ABC＝90°.
∴?ABCD是矩形．
方法3：
文字语言：对角线相等的平行四边形是矩形．
符号语言：∵在?ABCD中，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
三、新知归纳
矩形的几种判定方法：
方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．
方法3：对角线相等的平行四边形是矩形．
四、典例剖析
例1：如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB，∠OBA＝50°，求∠OBC的度数．
思路分析：由平行四边形的对角线互相平分及OA＝OB，可得AC＝BD，再由对角线相等的平行四边形是矩形，进而可得∠ABC＝90°，再由已知∠OBA求出∠OBC.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
又∵OA＝OB，
∴AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形．
∴∠ABC＝90°.
又∵∠OBA＝50°，
∴∠OBC＝40°.
例2：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E.求证：四边形ADCE是矩形．
思路分析：首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，进而得到AE∥BC，即可得出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，再根据AD是高即可得出四边形ADCE是矩形．
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE是△BAC的外角平分线，∴∠FAE＝∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，∴AE∥BC.∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE綉BD.又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴AE綉DC，故四边形ADCE是平行四边形．又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．
例3：如图，?ABCD各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形．
思路分析：利用“有三个内角是直角的四边形是矩形”证明四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，∴∠HAB＝∠DAB，∠HBA＝∠ABC，∴∠HAB＋∠HBA＝(∠DAB＋∠ABC)＝×180°＝90°，∴∠H＝90°.同理∠HEF＝∠F＝90°，∴四边形EFGH是矩形．
五、反馈训练
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》随堂演练．
六、课堂小测
1．如图，四边形ABCD中，AC＝8，BD＝6，且AC⊥BD，连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，下列说法不正确的是( B )
A．四边形EFGH是矩形
B．四边形EFGH的周长是7
C．四边形EFGH的面积是12
D．四边形ABCD的面积是24
2．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是( A )
A．AB⊥DC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AB＝DC
3．如图所示，△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得△CDA，添加一个条件∠B＝90°，使四边形ABCD为矩形．
4．如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快4s后，四边形ABPQ成为矩形．
5．如图，在?ABCD中，AB＝AD，∠B＝60°，AB＝1，延长AD到点E，使DE＝AD，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AC，CE，EF，AF.
(1)求证：四边形ACEF是矩形；
(2)求四边形ACEF的周长．
解：(1)证明：∵DE＝AD，DF＝CD，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∵在?ABCD中，AB＝AD，
∴AD＝CD，∴AE＝CF，
∴四边形ACEF是矩形；
(2)由题意知，△ABC，△ADC为等边三角形，
∴AC＝AD＝CD＝AB＝1，
∵四边形ACEF为矩形，
∴EF＝AC＝1，AE＝CF＝2，
∴AF＝CE＝＝，∴四边形ACEF的周长为AC＋CE＋EF＋AF＝1＋＋1＋＝2＋2.
七、课堂小结
1．矩形的判定：
有一角是直角的平行四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形．
2．矩形的性质和判定的综合运用．
八、布置作业
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》课后作业或《红对勾·练吧》的相关练习．
课件33张PPT。第2课时
矩形的判定 撷取百家精妙·荟萃时代品牌 谢谢观赏！
Thanks! 18．2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．
2．理解并掌握菱形的定义及性质1,2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．
3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．
重点：掌握菱形定义、性质及面积的求法．
难点：灵活运用菱形的性质解决问题．
一、导入新课
我们前面学习了平行四边形及矩形，我们来回顾一下它们的性质：
1．平行四边形的定义？
2．平行四边形有哪些性质？
3．矩形的定义？
4．矩形有哪些性质？
教师接下来问同学们，我们在日常生活中还见到哪些特殊的四边形？
同学们可能会回答：正方形、四条边相等的四边形、梯形．
接着教师导入今天研究的内容——菱形(四条边相等的四边形)．
二、探究新知
探究1 菱形定义
我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看幻灯片演示：
改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．
菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
强调：菱形：(1)是平行四边形；(2)一组邻边相等．
几何语言：
∵在?ABCD中，AC＝CD，
∴?ABCD是菱形．
探究2 菱形性质
教师提出疑问：
思考：作为特殊的平行四边形，菱形具有平行四边形所有的性质．由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
同学们先独立思考，然后小组讨论．
1．师生互动：将一个矩形的纸对折两次，沿图中虚线剪下，再打开，就得到一个菱形．
观察得到的菱形，它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？你能看出图中哪些线段或角相等？
学情预设：学生容易发现菱形是轴对称图形而且有两条对称轴互相垂直，根据图形的轴对称性让学生口头表述出探究的结果．在此过程中要深入学生，了解、观察学生的探究方法，接受学生的质疑，并及时的指导学生正确地进行探究．
在这个过程中教师应重点关注以下几点：
(1)学生动手操作时，是否能恰当的质疑，探究的方向正确、合理，能否有意识地利用自己的知识储备进行合理的研究，并合情地做出猜想．
(2)学生口头表述性质时，所用的语言是否恰当、准确，若有出现语言表述不恰当时应当及时给予纠正．
2．探究菱形的性质：
(1)菱形的四条边都相等．
(2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
3．这还只是我们直观折纸得出来的，那么如何证明它们呢？
求证：菱形的四条边都相等．
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
如图，四边形ABCD是菱形，
求证：(1)AB＝BC＝CD＝DA，
(2)AC⊥BD，
AC平分∠DAB和∠DCB，
BD平分∠ADC和∠ABC.
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD(菱形定义)，
AB＝CD，AD＝BC(平行四边形的性质)，
∴AB＝BC＝CD＝DA.
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，OB＝OD.
∴AC⊥BD，AC平分∠DAB.
(等腰三角形三线合一)
同理可证，AC平分∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC.
4．概括菱形的性质：
(1)菱形具有平行四边形的一切性质；
(2)菱形的四条边相等；
(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
(4)菱形是轴对称图形，对称轴是对角线所在直线．
菱形特性的几何语言：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ADC和∠ABC.
探究3 菱形面积
想一想：由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？
提示：菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，如图．
S菱形ABCD＝4S△ABO＝4×AO·BO
＝×2AO·2BO
＝AC·BD.
归纳：菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半．
三、新知归纳
1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2．性质：
(1)菱形的四条边都相等．
(2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
3．面积公式：S菱形＝底×高＝×对角线乘积．
四、典例剖析
例1：如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于点E，CF⊥AD交AD延长线于点F.求证：CE＝CF.
思路分析：连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAB，再根据角平分线的性质可得CE＝FC.
证明：如图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF.
例2：如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5 cm，OD＝3 cm.过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长；
(2)求四边形OBEC的面积．
思路分析：(1)在直角三角形OCD中，利用勾股定理即可求解；(2)利用矩形的定义即可证明四边形OBEC为矩形，再利用矩形的面积公式即可直接求解．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在直角三角形OCD中，OC＝＝＝4(cm)；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形．又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴平行四边形OBEC为矩形．∵OB＝OD，∴S矩形OBEC＝OB·OC＝3×4＝12(cm2)．
例3：如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位)．
思路分析：先根据菱形ABCD的性质求得∠ABO的度数，在Rt△OAB中求出AO，再由勾股定理求出BO，然后求出AC和BD，再利用公式求菱形面积即可．
解：∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝×60°＝30°，
在Rt△OAB中，
AO＝AB＝×20＝10 (m)，
BO＝＝＝10 (m)，
∴花坛的两条小路长AC＝2AO＝20(m)，
BD＝2BO＝20≈34.64(m)．
花坛的面积
S菱形ABCD＝4S△OAB＝AC·BD＝200≈346.4(m2)．
五、反馈训练
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》随堂演练．
六、课堂小测
1．菱形的两条对角线长分别为6 cm和8 cm，则菱形的高( C )
A．10 cm B．7 cm
C．4.8 cm D．4 cm
2．如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为24.
3．如图：菱形ABCD中(1)∠BAD＝60°，则∠ABD＝60°；(2)∠ADC＝120°，则∠BAD＝60°；(3)若较短对角线与边长相等，则∠BAD＝60°.
4．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°.∵DH⊥AB，∴OH＝BD＝OB，∴∠OHB＝∠OBH.又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，∴∠OHB＝∠ODC.在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°.在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO.
七、课堂小结
1．菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2．菱形的性质：
(1)菱形具有平行四边形的一切性质；
(2)菱形的四条边相等；
(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
(4)菱形是轴对称图形，对称轴是对角线所在直线．
菱形特性的几何语言：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
AC⊥BD，
AC平分∠DAB和∠DCB，
BD平分∠ADC和∠ABC.
(5)菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半．
八、布置作业
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》课后作业或《红对勾·练吧》的相关练习．
课件34张PPT。第1课时
菱形的性质 撷取百家精妙·荟萃时代品牌 谢谢观赏！
Thanks! 第2课时 菱形的判定
1．经历探究菱形判定条件的过程，通过操作、观察、猜想、证明的过程，培养学生的科学探索精神．
2．探索并掌握菱形的判定方法．
3．利用菱形的判定方法进行合理的论证和计算．
重点：掌握菱形的判定方法．
难点：探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．
一、导入新课
我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？
菱形是一个轴对称图形，具有如下的性质：
1．两条对角线互相垂直平分；
2．四条边都相等；
3．每条对角线平分一组对角．
这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？
二、探究新知
思考：除了运用菱形的定义，类比研究平行四边形和矩形的性质和判定，你能找出判定菱形的其他方法吗？
探究1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
猜想1：如果一个平行四边形的两条对角线相互垂直，那么这个平行四边形是菱形．
教师：这个命题是真命题吗？写出已知、求证，证明它的正确性．
学生：先独立思考，再组内交流，一名学生展示证明过程．
已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD互相垂直．
求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC(平行四边形对角线相互平分)．
又∵AC⊥BD，
∴BD所在直线是线段AC的垂直平分线，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)．
探究2 四条边相等的四边形是菱形
如图，先画两条等长的线段AB，AD，然后分别以B，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交点为C，连接BC，CD.得到的四边形ABCD是菱形吗？请说明理由
想一想：
1．你是怎么做的，你认为作法对吗？
2．怎么验证四边形ABCD是菱形？
猜想2：如果一个四边形的四条边相等，那么这个平行四边形是菱形．
已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，
求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵AB＝BC＝CD＝AD.
∴AB＝CD，BC＝AD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
三、新知归纳
判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
判定定理2：四条边相等的四边形是菱形．
几何语言：∵四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
四、典例剖析
例1：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，BO＝3.求证：平行四边形ABCD是菱形．
思路分析：由AB，AO，BO的长度及勾股定理的逆定理可得△OAB是直角三角形，可得对角线互相垂直，进而可证平行四边形ABCD是菱形．
证明：∵AB＝5，AO＝4，BO＝3，
∴AB2＝AO2＋BO2.
∴△OAB是直角三角形，AC⊥BD.
∴?ABCD是菱形．
例2：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
求证：四边形BCFE是菱形．
思路分析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．
证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝2DE.∵D，E分别是AB，AC的中点，∴BC＝2DE且DE∥BC，∴EF＝BC.又∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．
例3：已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AC，EF＝ED.求证：四边形CDEF是菱形．
思路分析：由已知条件可证△ACD与△AED全等，得到CD＝ED.同理可得CF＝EF，再由EF＝ED可得四条边相等，进而证得四边形是菱形．
证明：∵AD是角平分线，
∴∠1＝∠2，
又∵AE＝AC，
∴△ACD≌△AED(SAS)．
同理△ACF≌△AEF(SAS)．
∴CD＝ED，CF＝EF.
又∵EF＝ED，
∴CF＝EF＝DE＝CD.
∴四边形ABCD是菱形(四条边相等的四边形是菱形)．
五、反馈训练
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》随堂演练．
六、课堂小测
1．数学课上，老师让同学们判断一个四边形是否为菱形，下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( D )
A．测量对角线是否相等
B．测量对角线是否垂直
C．测量一组对角是否相等
D．测量四边是否相等
2．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( D )
A．AB＝BC B．∠ACB＝60°
C．∠B＝60° D．AC＝BC
3．已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，则下列命题是假命题的是( B )
A．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形
B．若BO＝2AO，则平行四边形ABCD是菱形
C．若AB＝AD，则平行四边形ABCD是菱形
D．若∠ABD＝∠CBD，则平行四边形ABCD是菱形
4．如图：?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
(1)若AB＝AD，则?ABCD是菱形；
(2)若AC＝BD，则?ABCD是矩形；
(3)若∠ABC是直角，则?ABCD是矩形；
(4)若∠BAO＝∠DAO，则?ABCD是菱形．
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．
求证：MN与PQ互相垂直平分．
证明：如图，连接MP，PN，NQ，QM，
∵AM＝MD，BP＝PD.
∴PM是△ABD的中位线，
∴PM＝AB，
PM∥AB，
同理NQ＝AB，
NQ∥AB，
MQ＝DC.
∵PM＝NQ，
且PM∥NQ.
∴四边形MPNQ是平行四边形．
又∵AB＝DC，∴PM＝MQ，
∴平行四边形MPNQ是菱形．
∴MN与PQ互相垂直平分．
七、课堂小结
1．菱形的判定：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
四条边相等的四边形是菱形．
2．菱形的性质和判定的综合运用．
八、布置作业
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》课后作业或《红对勾·练吧》的相关练习．
课件27张PPT。第2课时
菱形的判定 撷取百家精妙·荟萃时代品牌 谢谢观赏！
Thanks! 18．2.3 正方形
第1课时 正方形的性质
1．掌握正方形的概念和性质，并会运用它们进行有关的论证和计算．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系与区别．
重点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形的性质的灵活应用．
难点：正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系．
一、导入新课
前面我们学习了几种四边形？它们是如何定义的，分别有哪些性质．
二、探究新知
活动：
做一做：拿出你们手中的矩形纸片，如何折叠能得到一个正方形？
师：什么样的矩形是正方形？
生：一组邻边相等的矩形是正方形．
做一做：拿出你们手中可活动的菱形框架，如何得到一个正方形？
师：什么样的菱形是正方形？
生：有一个角是直角的菱形是正方形．
(板书)正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
师：正方形有什么性质？
由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．
所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
三、新知归纳
正方形的性质归纳：
(1)边：对边平行，四条边相等；
(2)角：四个角都是直角；
(3)对角线：对角线互相垂直、平分且相等，每一条对角线平分每一组对角；
(4)对称性：轴对称图形．
四、典例剖析
例1：求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD交于点O.
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形．
思路分析：利用正方形的性质可以证明．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AC⊥BD，
AO＝BO＝CO＝DO，
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
例2：如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F.
(1)求证：BE＝CF；
(2)求BE的长．
思路分析：(1)由角平分线的性质可得到BE＝EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，即可证BE＝CF；(2)设BE＝x，在△CEF中可表示出CE.由BC＝1，可列出方程，即可求得BE.
解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝90°.∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF.又∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，∴EF＝FC，∴BE＝CF；
(2)设BE＝x，则EF＝CF＝x，CE＝1－x.在Rt△CEF中，由勾股定理可得CE＝x.∴x＝1－x，解得x＝－1，即BE的长为－1.
例3：在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF的中点．连接BE，CE，AE.
(1)求证：△AEB≌△DEC；
(2)当EB＝BC时，求∠AFD的度数．
思路分析：(1)根据“正方形的四条边都相等”可得AB＝CD，根据“正方形每一个角都是直角”可得∠BAD＝∠ADC＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AE＝EF＝DE＝DF，根据“等边对等角”可得∠EAD＝∠EDA，再得出∠BAE＝∠CDE，然后利用“SAS”证明即可；(2)根据“全等三角形对应边相等”可得EB＝EC，再得出△BCE是等边三角形．根据等边三角形的性质可得∠EBC＝60°，然后求出∠ABE＝30°.再根据“等腰三角形两底角相等”求出∠BAE，然后根据“等边对等角”可得∠AFD＝∠BAE.
解：(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°.∵点E为DF中点，∴AE＝EF＝DE＝DF，∴∠EAD＝∠EDA.∵∠BAE＝∠BAD－∠EAD，∠CDE＝∠ADC－∠EDA，∴∠BAE＝∠CDE.
在△AEB和△DEC中
∴△AEB≌△DEC(SAS)；
(2)∵△AEB≌△DEC，∴EB＝EC.∵EB＝BC，∴EB＝BC＝EC，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝90°－60°＝30°.∵EB＝BC＝AB，∴∠BAE＝×(180°－30°)＝75°.又∵AE＝EF，∴∠AFD＝∠BAE＝75°.
五、反馈训练
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》随堂演练．
六、课堂小测
1．如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE＝AC，则∠E＝( D )
A．90° B．45° C．30° D．22.5°
2．如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA＋PE的最小值是( A )
A. B. C.＋ D.
3．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.若AE＝1，则FM的长为 .
4．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE＝CF，∠FDC＝30°，则∠BEF的度数为105°.
5．如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F分别为垂足，若CF＝3，CE＝4，求AP的长．
解：如图，连接PC，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，
∠ADP＝∠CDP，
∵PD＝PD，
∴△APD≌△CPD，
∴AP＝CP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝90°，
∵PE⊥DC，PF⊥BC，
∴四边形PFCE是矩形，
∴PC＝EF，
∵∠DCB＝90°，
∴在Rt△CEF中，EF2＝CE2＋CF2＝42＋32＝25，
∴EF＝5，
∴AP＝CP＝EF＝5.
七、课堂小结
特殊四边形的性质
八、布置作业
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》课后作业或《红对勾·练吧》的相关练习．
课件26张PPT。第1课时
正方形的性质 撷取百家精妙·荟萃时代品牌 谢谢观赏！
Thanks! 第2课时 正方形的判定
1．掌握正方形的判定方法，并会用它们进行有关的论证和计算．
2．经历探索判定的过程，发展合情推理能力，提高逻辑思维能力．
重点：掌握正方形的判定方法，并会用它进行有关的论证和计算．
难点：灵活选用正方形的判定方法进行证明．
一、导入新课
1．复习提问：矩形、菱形的判定方法．
2．怎样判定一个四边形是正方形呢？这是本节课要学习的内容．
二、探究新知
正方形的判定：
操作1：你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？并请你把刚才所做的试验用图形表示出来．然后与邻位同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？
正方形的判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形．
操作2：你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形？如何变？请演示并画出图形．
正方形的判定2：有一个角是直角的菱形是正方形．
三、新知归纳
正方形的判定方法示意图：
四、典例剖析
例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.
求证：四边形CEDF是正方形．
思路分析：要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可．
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形．
∵DE＝DF，∴矩形CEDF是正方形．
例2：如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE.
求证：(1)EF＝FP＝PQ＝QE；
(2)四边形EFPQ是正方形．
思路分析：(1)证明△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP，即可证得EF＝FP＝PQ＝QE；(2)由EF＝FP＝PQ＝QE，可判定四边形EFPQ是菱形，又由△APF≌△BQP，易得∠FPQ＝90°，即可证得四边形EFPQ是正方形．
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝CE＝BQ＝AP.
在△APF，△DFE，△CEQ和△BQP中，
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(SAS)，
∴EF＝FP＝PQ＝QE；
(2)∵EF＝FP＝PQ＝QE，∴四边形EFPQ是菱形．∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ.∵∠AFP＋∠APF＝90°，∴∠APF＋∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴四边形EFPQ是正方形．
例3：如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE.
(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；
(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．
题图 答图
思路分析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC.又∵CF＝AE，∴可证BE＝EC＝BF＝FC.根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形BECF是菱形；
(2)菱形对角线平分一组对角，即当∠ABC＝45°时，∠EBF＝90°，有菱形为正方形．根据“直角三角形中两个锐角互余”得∠A＝45°.
解：(1)四边形BECF是菱形．理由如下：
∵EF垂直平分BC，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠3＝∠1.∵∠ACB＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠4，∴EC＝AE，∴BE＝AE.∵CF＝AE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；
(2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠3＝45°，∴∠EBF＝2∠3＝90°，∴菱形BECF是正方形．
五、反馈训练
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》随堂演练．
六、课堂小测
1．下列说法不正确的是( D )
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是正方形
2．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( D )
A．∠D＝90° B．AB＝CD
C．AD＝BC D．BC＝CD
3．下列命题，正确的有( C )
①对角线相等的菱形是正方形；②四条边都相等的四边形是正方形；③四个角相等的四边形是正方形；④对角线互相垂直的矩形是正方形；⑤对角线垂直且相等的四边形是正方形．
A．①② B．②③
C．①④ D．③⑤
4．如图所示，已知?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO.又∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC，即DB⊥AC，
∴?ABCD是菱形．
(2)∵△ACE是等边三角形，
∴∠AEC＝60°.
∵EO⊥AC，∴∠AEO＝∠AEC＝30°.
∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，
∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC＝2∠ADO＝90°.
∴四边形ABCD是正方形．
七、课堂小结
八、布置作业
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》课后作业或《红对勾·练吧》的相关练习．
课件24张PPT。第2课时
正方形的判定 撷取百家精妙·荟萃时代品牌 谢谢观赏！
Thanks!
