【备战2020】中考数学二轮专题 图形运动中的不变关系问题复习学案（上海地区专用）

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备战2020中考数学二轮专题复习学案
图形运动中的不变关系问题

【备注】本部分为知识点和基本方法梳理，引导学生回顾总结，大概5分钟左右
一．图形运动中的不变关系常见题型：

二．题型特征和解题思路：

【备注】：
以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；
在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；
可以根据各题的“参考教法”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；
例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；
引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；
部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；
每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题6-9分钟。

三、典型例题

例1.如图，已知AB⊥MN，垂足为点B，P是射线BN上的一个动点，AC⊥AP，∠ACP=∠BAP，AB=4，BP=x，CP=y，点C到MN的距离为线段CD的长。（★★★★★）
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．
（2）在点P的运动过程中，点C到MN的距离是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示这段距离；如果不发生变化，请求出这段距离。







【参考教法】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一．寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示：AB=4、AB⊥MN、AC⊥AP；
2.角的关系。直角和等角产生了很多角度相等，让学生找找看，为后面的相似做好前提。
求解函数关系式：用相似产生的比例关系即可证明。
证明线段的长度是否会发生变化：
方案一.直接求解改线段的长度；方案二.证明该线段的长度随着点的运动在不断的变化
本题寻找方案一，直接计算求解的长度。延长交于点，证明是的中位线即可。
【满分解答】（1）∵AB⊥MN，AC⊥AP，∴．
又∵∠ACP=∠BAP，∴△ABP∽△CAP．
∴，即．
∴所求的函数解析式为 ．
（2）CD的长不会发生变化．
延长CA交直线MN于点E．
∵AC⊥AP，∴．
∵∠ACP=∠BAP，∴．∴．
∴． ∴．
∵，，
∴．
∴．
∵AB=4，∴．
对应练习：
1.









（1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图8）；
（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB =2，BC =3（如图9），试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论。（★★★★）

【解法点拨】可以参考以下方法分析问题、解决问题：
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.特殊图形：正方形或者矩形
2.边的关系：
二.求解边的大小关系：
方案一.转化为证明全等三角形；
方案二.直接计算求解每一条线段的长度，在寻找关系。
【满分解答】
证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作 AN∥EG交CD的延长线于点N
∴AM=HF AN=EG
∵正方形ABCD
∴AB=AD ∠BAD=∠ADN=90°
∵EG⊥FH ∴∠NAM=90°
∴∠BAM=∠DAN
在△ABM和△ADN中

∴△ABM≌△ADN
∴ AM=AN
即EG=FH
(2) 结论：EG:FH=3:2
证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作 AN∥EG交CD的延长线于点N
∴AM=HF AN=EG
∵长方形ABCD
∴AB=AD ∠BAD=∠ADN=90°
∵EG⊥FH
∴∠NAM=90°
∴∠BAM=∠DAN
∴△ABM∽△ADN
∴
∵AB=2 BC=AD=3
∴





例2.如图，已知，点是内一点，，垂足为点，，，是延长线上一点，联结并延长与射线交于点。设，是否存在适当的，使得，若存在，试求出的值；若不存在，试说明理由。（★★★★★）
?N
B
O
C
P
A
M
?

【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题
寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示：，，
2.角的关系？ 提示：
二．求解面积比与边长比的关系：
1.两个图形的面积分别是什么图形？ 提示：和四边形。
2.怎么求解？ 提示：画高直接求。
3.设边的长度计算求解。

【满分解答】
设，OE=,则
由
设CA=x，则
∴
∵

若由，得，
则
∴ （舍去）
∴


【备注】：本部分对前面例题中讲到的解题方法进行归类总结，以引导式总结出，建议时间4分钟左右。

四、规律总结




五、实战演练：

【备注】该部分需要学生在10分钟内独立完成，满分10分，之后再评分并讲评
如图，在△中，是上一点，是上一点， .求证：（1）∥； （2）。（10分）（★★★★）

【解法点拨】可以参考一下方法引导学生分析问题、解决问题
寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.边：
2.角：
3.特殊图形：形成相似基本型。
二．证明平行线，用相似证明角度相等即可。
证明，转化为之比，求解。
【满分解答】
（1）证明：∵，
∴．
∵∠为公共角．
∴△∽． （2分）
∴． （1分）
∵，
∴． （1分）
∴∥． （1分）
（2）证明：∵∥，
∴△∽△．
∴． （2分)
∵∥，
∴△与△同高．
∴． （2分）
∴． （1分）

在中，点为边边上的一动点，点在线段上，过点作、，与边、分别交于点、。求证：。（8分）
（★★★★★）

【解法点拨】可参考以下方向引导学生分析问题、解决问题：
寻找题目中的已知量和特殊关系：
边：、；
基本图形：、，形成平行四边形和相似基本图形。
证明边的比值关系：
添加辅助线构造基本图形，延长交边于点；
和，在结合线段的和差关系即可证明。

【满分解答】：延长交边于点，则
因为、，则四边形为平行四边形.............................1分
∵
∴
∴...................................3分
又∵
∴.............................................................................2分
∴.............................................................................1分
∴........................................................................1分







A

B

P

D

C

N

M

小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：
“已知正方形ABCD ，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG = FH”
经过思考，大家给出了以下两个方案：
（甲）过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N ；
（乙）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N ；
小杰和他的同学顺利地解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索。
……


图形运动中的不变关系问题的解题方法和策略：

1.寻找题目中的已知量和不变量；
2.观察所求不变量与动点的关系；
3.通过点、线的运动进行证明或计算；
4.利用好相似基本型和勾股定理；
5.抓住变换特征，并研究内在联系。








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