第八章 二元一次方程组
8.1 二元一次方程组
1．能说出二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念，会检验所给的一组未知数的值是否是二元一次方程、二元一次方程组的解．
2．通过实例认识二元一次方程和二元一次方程组都是反映数量关系的重要数学模型，能通过设两个未知数并列出方程组来表示实际问题中两种相关的等量关系．
3．通过对本课知识的探究与应用，提高学生的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力．
重点：二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解的意义，以及检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解．
难点：求二元一次方程的特殊解．
一、导入新课
古老的“鸡兔同笼”问题：
“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？”
解：设鸡有x只，则兔有(35－x)只，则可列方程：
2x＋4(35－x)＝94.
解得x＝23，
则鸡有23只，兔有12只．
今天我们学习另一种解决这个问题的方法．
二、探究新知
探究1：二元一次方程、二元一次方程组的概念
教师提问：
上面的问题可以用一元一次方程来解，那么还有其他方法吗？
设有x只鸡，y只兔，依题意得：
x＋y＝35， ①
2x＋4y＝94. ②
针对学生列出的这两个方程，教师提出如下问题：
(1)你能给这两个方程起个名字吗？
(2)为什么叫二元一次方程呢？
(3)什么样的方程叫二元一次方程呢？
教师结合学生的回答，板书定义1：
含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程．
同时教师引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移和类比，让学生用原有的认知结构去同化新知识，符合建构主义理念．
教师追问：
在上面的问题中，鸡、兔的只数必须同时满足①②两个方程．把①②两个二元一次方程结合在一起，用大括号来连接．我们也给它起个名字，叫什么好呢？
学生思考，教师板书定义2：
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
探究2：二元一次方程、二元一次方程组的解的概念
探究活动：满足x＋y＝35，且符合问题的实际意义的值有哪些？请填入表中.
x
…
y
…
教师启发：
(1)若不考虑此方程与上面实际问题的联系，还可以取哪些值？
(2)你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗？
(3)它与一元一次方程的解有什么区别？
教师板书定义3：
使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，记为
二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解．
注意：
二元一次方程组的解是成对出现的，用大括号来连接，表示“且”．
三、新知归纳
1．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
2．方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
3．一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
4．一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
四、典例剖析
例1 已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，则m＋n＝__0__.
思路分析：根据二元一次方程满足的条件，即只含2个未知数，未知数的项的次数均为1的整式方程，即可求得m，n的值．根据题意得|m|＝1且|m－1|≠0,2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.故填0.
例2 有下列方程组：①
②③
④⑤其中二元一次方程组有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路分析：①方程组中第一个方程含未知数的项xy的次数不是1；②方程组中第二个方程不是整式方程；③方程组中共有3个未知数．只有④⑤满足，其中⑤方程组中的π是常数．故选B.
例3 甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试计算a2 018＋2 019的值．
思路分析：由方程组解的定义知：甲看错了方程①中的a得到方程组的解为说明是方程②的解；同样是方程①的解．
解：把代入②，得－12＋b＝－2，所以b＝10.把代入①，得5a＋20＝15，所以a＝－1.所以a2 018＋2 019＝(－1)2 018＋2 019＝1－1＝0.
例4 小刘同学用10元钱购买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元．设他购买了1元的贺卡x张，2元的贺卡y张，那么可列方程组( D )
A. B.
C. D.
思路分析：根据题意可得到两个相等关系：(1)1元贺卡张数＋2元贺卡张数＝8(张)；(2)1元贺卡钱数＋2元贺卡钱数＝10(元)．设他购买了1元的贺卡x张，2元的贺卡y张，可列方程组为故选D.
五、反馈训练
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》随堂演练部分．
六、课堂小测
1．若方程6kx－2y＝8有一解则k的值等于( D )
A．－ B. C. D．－
2．下列属于二元一次方程组的是( A )
A. B.
C. D.
3．方程组的解是( B )
A. B.
C. D.
4．(1)填表，使上下每对x，y的值是方程x＋y＝7的解；
x
_－2_
0
2
__4__
5
y
9
__7__
5
3
__2__
(2)填表，使上下每对x，y的值是方程3x＋2y＝18的解；
x
－2
__0__
2
__4__
5
y
__12__
9
6
3
(3)早晨妈妈让小明买早餐，若小明买一个大饼和一根油条共7元，若买3个大饼和2根油条共18元，求买一个大饼和一根油条各多少元？列出方程组，并根据(1)(2)表格找出方程组的解．
解：设一个大饼x元，一根油条y元，由题意，得根据表格(1)(2)可得，方程组的解为
七、课堂小结
八、布置作业
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》的课后作业或《红对勾·练吧》的相关练习．
课件28张PPT。第八章
二元一次方程组8.1
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Thanks! 8.2 消元——解二元一次方程组
第1课时 用代入法解二元一次方程组
1．会用代入法解二元一次方程组．
2．体会解二元一次方程组的“消元思想”和“化未知数为已知”的化归思想．
3．通过对方程中未知数特点的观察和分析，明确解二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已知的转化，培养观察能力和计算能力．
重点：熟练地用代入法解二元一次方程组．
难点：探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程．
一、导入新课
问题1：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队为了争取较好的名次，想在全部20场比赛中得到38分，那么这个队胜、负场数分别是多少？
解：设这个队胜x场，根据题意得
2x＋(20－x)＝38，
解得x＝18，
则20－x＝2.
答：这个队胜18场，负2场．
问题2：在上述问题中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组．
若设胜的场数是x，负的场数是y，则
那么怎样求解二元一次方程组呢？上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系呢？
二、探究新知
探究1：代入消元法
通过观察可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y＝20说明y＝20－x，将第2个方程2x＋y＝38的y换为20－x，这个方程就化为一元一次方程2x＋(20－x)＝38.
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想．
探究2：用代入消元法解二元一次方程的步骤
根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500 g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量比(按瓶计算)为2∶5.某厂每天生产这种消毒液22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
探索分析问题：
学生独立分析．列出方程组，全班交流，这一过程中教师要注意引导学生如何从题意入手列出方程．
解：设这些消毒液应分装x大瓶和y小瓶，则
引导学生思考：
问题1：此方程与我们前面遇到的二元一次方程组有什么区别？
(两个方程里的两个未知数系数的绝对值均不为1)
问题2：能用代入法来解吗？
问题3：选择哪个方程进行变形？消去哪个未知数？
在师生对话交流中，完成本题的板书示范．
解后反思：
(1)如何用代入法处理两个未知数系数的绝对值均不为1的二元一次方程组？
(2)列二元一次方程组解应用题的关键是：找出两个等量关系．
(3)列二元一次方程组解应用题的一般步骤分为：审、设、列、解、检、答．
三、新知归纳
1．由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
2．用代入消元法解二元一次方程组的步骤
(1)从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来；
(2)把(1)中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数；
(3)解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值；
(4)把所求得的一个未知数的值代入(1)中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解．
四、典例剖析
例1 用代入法解下列方程组：
(1)
(2)
思路分析：对于方程组(1)，比较两个方程系数的特点可知应将方程②变形为x＝1－5y，然后代入①求解；对于方程组(2)，应将方程组变形为观察③和④中未知数的系数，绝对值最小的是2，一般应选取方程③变形，得x＝，然后代入④求解．
解：(1)由②，得x＝1－5y.③
把③代入①，得2(1－5y)＋3y＝－19,2－10y＋3y＝－19，－7y＝－21，y＝3.把y＝3代入③，得x＝－14.所以原方程组的解是
(2)将原方程组整理，得
由③，得x＝.⑤
把⑤代入④，得2(3y＋1)－3y＝－5,3y＝－7，y＝－.把y＝－代入⑤，得x＝－3.所以原方程组的解是
例2 解方程组：
思路分析：把(x＋1)看作一个整体代入求解．
解：由①，得x＋1＝6y.把x＋1＝6y代入②，得2×6y－y＝11.解得y＝1.把y＝1代入①，得＝2×1，解得x＝5，所以原方程组的解为
例3 已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为( B )
A．1 B．－1
C．2 D．3
思路分析：把解代入原方程组得用代入法可解得所以a－b＝－1.故选B.
五、反馈训练
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》随堂演练部分．
六、课堂小测
1．在等式y＝kx＋b中，当x＝－1时，y＝－2，当x＝2时，y＝7，则这个等式是( B )
A．y＝－3x＋1 B．y＝3x＋1
C．y＝2x＋3 D．y＝－3x－1
2．方程组的解是( C )
A. B.
C. D.
3．若都是方程ax－by＝4的解，则a＝__2__，b＝__1__.
4．用代入法解下列方程．
(1)
(2)
解：(1)由①得y＝x，③
把③代入②得x－2x＝5，
解得x＝2，
把x＝2代入③得
y＝3，
所以原方程组的解是
(2)把①代入②得
3×9＋2x＝33，解得x＝3，
把x＝3代入①得y＝6，
所以原方程组的解是
七、课堂小结
1．本节主要学习用代入消元法解二元一次方程组．
2．主要用到的思想方法是消元思想．
3．需注意的问题
(1)用代入法解二元一次方程组时，常选用系数比较简单的方程变形，这有利于正确、简捷地消元；
(2)由一个方程变形得到的只含有一个未知数的代数式必须代入到另一个方程中去，否则会出现一个恒等式；
(3)方程组解的表示方法，应该用大括号把一对未知数的值连在一起，表示同时成立，不要写成x＝？，y＝？.
八、布置作业
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》的课后作业或《红对勾·练吧》的相关练习．
课件31张PPT。第八章
二元一次方程组8.2 消元——解二元一次方程组
第1课时 用代入法解二元一次方程组撷取百家精妙·荟萃时代品牌 谢谢观赏！
Thanks! 第2课时 用加减法解二元一次方程组
1．学会用加减法解二元一次方程组．
2．使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想．
3．让学生体验学习数学的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心．
重点：用加减法解二元一次方程组．
难点：学会用加减法解同一个未知数的系数的绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组．
一、导入新课
王老师昨天在水果批发市场买了2 kg苹果和4 kg梨共花了14元，李老师以同样的价格买了2 kg苹果和3 kg梨共花了12元，梨每千克的售价是多少？比一比看谁求得快．
最简便的方法：抵消掉相同部分，王老师比李老师多买了1 kg的梨，多花了2元，故梨每千克的售价为2元．
二、探究新知
1．解二元一次方程组
(让学生自主探究，随后展示学生不同的解法)
解法一：由①得x＝，代入方程②，消去x.
解法二：把2x看作一个整体，由①得2x＝－1－3y，代入方程②，消去2x.
肯定两解法都是正确的，并由学生比较两种方法的优劣．解法二整体代入更简便，准确率更高．
有没有更简捷的解法呢？教师可做以下启发：
问题1：观察上述方程组，未知数x的系数有什么特点？(相等)
问题2：除了代入消元，你还有别的办法消去x吗？
(两个方程的两边分别对应相减，就可消去x，得到一个一元一次方程)
解法三：①－②得：8y＝－8，所以y＝－1，
把y＝－1代入①或②，得到x＝1.
所以原方程组的解为
2．变式一：解二元一次方程组
引导启发：
问题1：观察上述方程组，未知数x的系数有什么特点？(互为相反数)
问题2：除了代入消元，你还有别的办法消去x吗？
(两个方程的两边分别对应相加，就可消去x，得到一个一元一次方程)
解后反思：从上面的解答过程来看，对某些二元一次方程组可通过两个方程两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解．这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．
想一想：能用加减消元法解二元一次方程组的前提是什么？
(两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等)
3．变式二：解二元一次方程组
观察：本题可以用加减消元法来做吗？
必要时作启发引导：
问题1：这两个方程直接相加减能消去未知数吗？为什么？
问题2：那么怎样使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？
启发学生仔细观察方程组的结构特点，发现x的系数成整数倍数关系．
因此，②×2，得4x－10y＝14，③
由①－③即可消去x，从而使问题得解．
(追问：③－①可以吗？怎样更好？)
4．变式三：解二元一次方程组
想一想：本题可以用加减消元法来做吗？
让学生独立思考，怎样变形才能使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？
分析得出解题方法：
解法一：通过①×3，②×2，使关于x的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．
解法二：通过①×5，②×3，使关于y的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．
怎样更好呢？
通过对比，使学生自己总结出应选择方程组中同一未知数系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元．
解后反思：用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组时，把一个(或两个)方程的两边同时乘以适当的数，使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，从而使用加减法消元求解．
三、新知归纳
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
四、典例剖析
例1 用加减法解方程组
思路分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同．
解：①×3，得9x＋12y＝48, ③
②×2，得10x－12y＝66, ④
③＋④，得19x＝114，
x＝6.
把x＝6代入①，得3×6＋4y＝16，
4y＝－2，y＝－.
所以这个方程组的解是
议一议：如果用加减法消去x应如何解？解得结果与上面一样吗？
解：①×5，得15x＋20y＝80， ③
②×3，得15x－18y＝99， ④
③－④，得38y＝－19，
解得y＝－.
把y＝－代入①，得3x＋4×＝16，
解得x＝6.
所以这个方程组的解为
例2 2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2,3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h共收割小麦8 hm2.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
思路分析：如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2和y hm2，那么2台大收割机和5台小收割机同时工作1 h共收割小麦(2x＋5y)hm2,3台大收割机和2台小收割机同时工作1 h共收割小麦(3x＋2y)hm2.由此考虑两种情况下的工作量．
解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2和y hm2.
根据两种工作方式中的相等关系，得方程组
去括号，得
②－①，得
11x＝4.4.
解这个方程，得
x＝0.4.
把x＝0.4代入①，得
y＝0.2.
因此，这个方程组的解是
答：1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4 hm2和0.2 hm2.
五、反馈训练
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》随堂演练部分．
六、课堂小测
1．用加减法解方程组
应用( B )
A．①－②消去y B．①－②消去x
C．②－①消去常数 D．以上都不对
2．方程组消去y后所得的方程是( B )
A．6x＝8 B．6x＝18
C．6x＝5 D．x＝18
3．用加减法解下列方程组时，你认为先消去哪个未知数较简单，填写消元的方法．
(1)消元方法：①×2－②消去y.
(2)消元方法：①×2＋②×3消去n.
4．已知x，y满足方程组求代数式x－y的值．
解：
②－①，得2x－2y＝－1－5，∴x－y＝－3.
5．已知xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项，求m和n的值．
解：因为xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项，所以整理，得
④－③，得2m＝8，所以m＝4.把m＝4代入③，得2n＝6，所以n＝3.所以当时，xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项．
七、课堂小结
用加减法解二元一次方程组的步骤
1．变形，使某个未知数的系数绝对值相等；
2．加减消元；
3．解一元一次方程；
4．求另一个未知数的值，得方程组的解．
八、布置作业
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》的课后作业或《红对勾·练吧》的相关练习．
课件31张PPT。第八章
二元一次方程组8.2 消元——解二元一次方程组
第2课时 用加减法解二元一次方程组撷取百家精妙·荟萃时代品牌 谢谢观赏！
Thanks! 8．3 实际问题与二元一次方程组
第1课时 利用二元一次方程组
解决实际问题(1)
1．使学生学会列二元一次方程组解决简单的实际问题，并进一步提高解方程组的能力，逐步体会列方程组解应用题的优越性．
2．学会通过计算进行比较判断，体会估算与精确计算之间的关系及方程组应用的多样性．在解决问题的过程中，提高学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力．
重点：探究用二元一次方程组解决实际问题的过程．
难点：发现问题中隐含的未知数，寻找等量关系并列出方程组，由方程组的解来解释实际问题．
一、导入新课
古算题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问有几客几房中？”题目大意：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房住7人，就会有7人没地方住；若每间房住9人，就会空一间房．问有多少间房？多少客人？你能解答这个问题吗？
二、探究新知
欣赏奶牛场图片，引入探究．
探究：养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18～20 kg，每头小牛1天约需饲料7～8 kg.你能通过计算检验他的估计吗？
问题1：怎样理解“通过计算检验他的估计”这句话？
师生活动：学生自由发言，体会对于估算的结果要通过精确求值来检验，理解要想检验估计是否准确，需要求出大牛、小牛1天所需要的饲料．
问题2：题目中哪些是已知量，哪些是未知量？有几个等量关系？
师生活动：学生充分读题，可以适当讨论．教师引导学生关注两个未知数，两个等量关系．
问题3：如何解决这一问题？
师生活动：学生依据发现的等量关系，建立方程组：设每头大牛和每头小牛1天分别约用饲料x kg和y kg，根据题意，
得
追问：列一元一次方程能解决这个问题吗？
师生活动：学生体会列方程组比列一元一次方程容易．
问题4：请你解这个方程组，并交流一下你是如何解这个方程组的．
师生活动：学生独立解方程组，并发言交流．可能有的学生直接用消元法解方程组，有的学生先化简整理为再解方程组．教师引导学生对比，发现先化简再解更简捷．
问题5：饲养员李大叔的估计正确吗？
师生活动：学生对比计算结果和李大叔的估计，得到结论．请同学们先思考，后动手，相互交流讨论．老师板书讲解．
解：设每头大牛每天约用饲料x kg，每头小牛每天约用饲料y kg，
根据题意得解得
(提示学生要检验)
这就是说，每头大牛每天约用20 kg饲料，每头小牛每天约用5 kg饲料．因此，李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高．
三、新知归纳
用方程组解决实际问题的步骤
1．设未知数；2.找等量关系；3.列方程组，解方程组；4.检验并答．
四、典例剖析
例1某生产车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使生产的产品正好配套？
思路分析：找出等量关系：(1)生产镜片的人数＋生产镜架的人数＝总人数；(2)镜片数量＝2×镜架数量，把相关数值代入解方程组即可．
解：设x人生产镜片，y人生产镜架．由题意，得解得
答：20人生产镜片，40人生产镜架，才能使每天生产的产品正好配套．
例2 为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，去年秋季有5 000名民工子女进入主城区中小学学习，预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样今年秋季将新增1 160名民工子女在主城区中小学学习．
(1)如果按小学每年收“借读费”500元、中学每年收“借读费”1 000元计算，求今年秋季新增的1 160名中小学生共免收多少“借读费”；
(2)如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，按今年秋季入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？
思路分析：解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中，小学和初中各有民工子女多少人．欲求解这个问题，先要求出去年秋季入学的学生中，小学和初中各有民工子女多少人．
解：(1)设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有x人，在主城区中学学习的民工子女有y人，则
解得
20%x＝680,30%y＝480,500×680＋1 000×480＝820 000(元)＝82(万元)．
答：今年秋季新增的1 160名中小学生共免收82万元“借读费”．
(2)今年秋季入学后，在小学就读的民工子女有3 400×(1＋20%)＝4 080(人)，在中学就读的民工子女有1 600×(1＋30%)＝2 080(人)，需要配备的中小学教师(4 080÷40)×2＋(2 080÷40)×3＝360(名)．
答：一共需配备360名中小学教师．
五、反馈训练
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》随堂演练部分．
六、课堂小测
1．某所中学现在有学生4 200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校生将增加10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少？
解：设现在的初中在校生有x人，高中在校生有y人．
根据题意列方程，得
解这个方程组，得
答：现在的初中在校生有1 400人，高中在校生有2 800人．
2．有大、小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5 t,5辆大车与6辆小车一次可以运货35 t，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
解：设每辆大车和每辆小车一次运货量分别为x t和y t.
根据题意列方程，得
解这个方程组，得
则3x＋5y＝24.5.
答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5 t.
七、课堂小结
八、布置作业
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》的课后作业或《红对勾·练吧》的相关练习．
课件26张PPT。第八章
二元一次方程组8．3 实际问题与二元一次方程组
第1课时 利用二元一次方程组解决实际问题(1)撷取百家精妙·荟萃时代品牌 谢谢观赏！
Thanks! 第2课时 利用二元一次方程组
解决实际问题(2)
1．经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．
2．能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组．
3．学会开放性地寻求设计方案，培养分析能力．
重点：经历和体验用方程组解决实际问题的过程．
难点：用方程组刻画和解决实际问题．
一、导入新课
前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决．
教师出示问题：
据以往的统计资料，甲、乙两种作物单位面积的产量比是1∶1.5.现要在一块长200 m，宽100 m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量比是3∶4.(结果取整数)
问题：
1．“甲、乙两种作物单位面积的产量比是1∶1.5”是什么意思？
2．“甲、乙两种作物的总产量比为3∶4”是什么意思？
3．本题中有哪些等量关系？
提示：若甲种作物单位产量是a，那么乙种作物的单位产量是多少？
二、探究新知
教师提问：
以上问题有哪些解法？
学生自主探索、合作交流、整理思路：
1．先确定有两种方法分割长方形，再分别求出两个小长方形的面积，最后计算分割线的位置．
2．先求两个小长方形的面积比，再计算分割线的位置．
3．设未知数，列方程组求解．
如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.设AE＝x m，BE＝y m，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组：
解这个方程组，得
过长方形土地的长边上离一端约106 m处，把这块地分为两个长方形，较大的一块地种甲作物，较小的一块地种乙作物．
教师提问：
你还能设计别的种植方案吗？
三、新知归纳
你认为列二元一次方程组解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题有哪些相同点和不同点？
师生活动：学生回答．对于上述问题，教师可总结：能列二元一次方程组解决的实际问题，一般都可以通过列一元一次方程加以解决．但是，随着实际问题中未知量的增多和数量关系的复杂化，列方程组将更加简单直接．因为问题有几个等量关系就可以列出几个方程．两者的相同点是都需要先分析题意，把实际问题转化为数学问题(设未知数，列方程或方程组)，再检验解的合理性，进而得到实际问题的解．这一过程就是建模的过程．
四、典例剖析
例1 小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图①所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图②所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为2 cm的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各是多少吗？
图① 图②
思路分析：在图①中大长方形的长有两种表现形式，一种是5个小长方形的宽的和，另一种是3个小长方形的长的和；在图②中，大正方形的边长也有两种表现形式，一种是1个小长方形的长和2个小长方形的宽的和，另一种从中间看为2个小长方形的长与小正方形的边长的和，由此可设未知数列出方程组求解．
解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm.由题意，
得解得
答：每个小长方形的长为10 cm，宽为6 cm.
例2 某农场300名职工耕种51 hm2土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种
每公顷需
劳动力
每公顷需
投入资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？
思路分析：观察题目，理解“应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用”的含义，把它转化为数学问题．
找出等量关系，列出方程组．
解方程组．
解：设安排x hm2种水稻、y hm2种棉花，则(51－x－y)hm2种蔬菜．
根据题意列方程组，得
解这个方程组，得
那么种蔬菜的面积为51－15－20＝16(hm2)．
答：安排15 hm2种水稻、20 hm2种棉花、16 hm2种蔬菜，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用．
五、反馈训练
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》随堂演练部分．
六、课堂小测
1．餐馆里把塑料凳整齐地叠放在一起(如图)，根据图中的信息计算有20张同样塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是__80__cm.
2．用正方形和长方形的两种硬纸片制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒(如图)．如果长方形的宽与正方形的边长相等，150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片可以制作甲、乙两种纸盒各多少个？
解：设可制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．
由题意，得
解这个方程组，得
答：可制作甲种纸盒30个，乙种纸盒60个．
3．有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为5∶4，第二个长方形的长与宽之比为3∶2，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112 cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6 cm，求这两个长方形的面积．
解：设第一个长方形的长为5x，宽为4x，第二个长方形的长为3y，宽为2y.由等量关系，列方程组
解得从而第一个长方形的面积为：
5x×4x＝20x2＝1 620(cm2)；
第二个长方形的面积为：
3y×2y＝6y2＝150(cm2)．
答：这两个长方形的面积分别是1 620 cm2和150 cm2.
七、课堂小结
八、布置作业
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》的课后作业或《红对勾·练吧》的相关练习．
课件25张PPT。第八章
二元一次方程组8．3 实际问题与二元一次方程组
第2课时 利用二元一次方程组解决实际问题(2)撷取百家精妙·荟萃时代品牌 谢谢观赏！
Thanks! 第3课时 利用二元一次方程组
解决实际问题(3)
1．进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．
2．会用列表的方式分析问题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组．
重点：用列表、画图的方法分析题意，建立模型．
难点：如何应用列表法、画图法分析问题，建立模型．
一、导入新课
问题1：某化工厂购买了每吨1 000元的原料共100 t运回工厂，需经过公路与铁路运输，已知所经过的公路长是10 km，公路运价为1.5元/(t·km)，所经过的铁路长是120 km，铁路运价为1.2元/(t·km)，那么该化工厂此次共花运费多少元．
二、探究新知
互动探究：总运费由公路与铁路两个运费组成，运费与重量、路程都有关系．
教师总结：
解：1.5×100×10＋1.2×100×120＝15 900(元)．
接下来我们要一起来探索有关生产成本的实际问题．
问题2：如图(见教材第100页图8.3—2)，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
互动探究：本题可以直接假设吗？若间接假设，那么我们应假设什么？
这批产品的销售款、原料费和运输费分别是多少？运输费＝________；
销售款、原料费与题目中的什么数量有关系？
销售款＝产品单价×________；
原料费＝原料单价×________；
因此，要求这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元，需知道________和________．
铁路运费、公路运费除了单价都与什么量有直接关系？它们能作为等量关系列出方程吗？
设产品重x t，原料重y t．根据题中数量关系填写下表.
产品x t
原料y t
合计
公路运费(元)
铁路运费(元)
价值(元)
教师总结：
产品x t
原料y t
合计
公路运费(元)
1.5×20x
1.5×10y
1.5(20x＋10y)
铁路运费(元)
1.2×110x
1.2×120y
1.2(110x＋120y)
价值(元)
8 000x
1 000y
解：设产品重x t，原料重y t.
根据运费的组成，列方程组
解得
因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多8 000×300－1 000×400－15 000－97 200＝1 887 800(元)．
三、新知归纳
用二元一次方程组解决路程问题的方法步骤
1．认真审题，了解问题的结论有哪些数量，这些数量题目条件中是否已知，若是未知的，那么找出它们与条件中哪些数量有关系；
2．列表表示出相关量；
3．写出等量关系，列出方程组，求解．
四、典例剖析
例1 北京和上海都有某种仪器可供外地使用．其中北京可提供10台，上海可提供4台．已知重庆需要8台，武汉需要6台，从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示．有关部门计划用8 000元运送这些仪器，请你设计一种方案，使武汉、重庆能得到所需仪器，而且运费正好够用．
思路分析：设北京运往重庆x台，上海运往重庆y台，画出关系图表：
解：设北京运往重庆x台，上海运往重庆y台．
则
解这个方程组，得
答：北京运往重庆6台，运往武汉4台；上海运往重庆2台，运往武汉2台．
例2 打折前，买60件A商品和30件B商品用了1 080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9 600元，比不打折少花多少钱？
思路分析：要知道比不打折少花多少，得先知道买500件A商品和500件B商品不打折时花多少钱，这样需计算出每件A商品与B商品打折前各要多少钱．
从条件中我们可以得到有关每件A商品与B商品的等量关系：60件A商品花的钱＋30件B商品花的钱＝1 080,50件A商品花的钱＋10件B商品花的钱＝840.
解：设打折前A和B商品的价格分别是每件x元和y元．
由题意，得
A
B
合计
打折前
60x
30y
1 080
50x
10y
840
即
解得
所以500x＋500y－9 600＝400(元)．
答：买500件A商品和500件B商品用了9 600元，比不打折少花400元钱．
五、反馈训练
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》随堂演练部分．
六、课堂小测
1．小林在某商店购买商品A，B共三次，只有一次购买时，商品同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如下表：
购买商品A
的数量(个)
购买商品B
的数量(个)
购买总费用
(元)
第一次
购物
6
5
1 140
第二次
购物
3
7
1 110
第三次
购物
9
8
1 062
若小明以折扣价购买商品是第三次购物．
(1)求商品A，B的标价；
(2)若商品A，B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
解：(1)设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元．根据题意，得
解得
答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元．
(2)设商店是打m折出售这两种商品，由题意，得(9×90＋8×120)×＝1 062，解得m＝6.
答：商店是打6折出售这两种商品的．
2．某球迷协会组织36名球迷拟租乘汽车赴比赛场地观看足球比赛，可租用的汽车有两种：一种是每辆可乘8人，另一种是每辆可乘4人，要求租用的车子不留空位，也不超载．
(1)请你给出不同的租车方案(至少三种)；
(2)若8个座位的车子的租金是300元/天，4个座位的车子的租金是200元/天，请你设计出费用最少的租车方案．
解：(1)设租8人/辆的汽车x辆，租4人/辆的汽车y辆，则8x＋4y＝36.
根据题意可得下表：
方案
一
二
三
四
五
x
0
1
2
3
4
y
9
7
5
3
1
总费用
1 800元
1 700元
1 600元
1 500元
1 400元
(2)由以上分析知，租4辆8人的汽车和1辆4人的汽车所花费用最少．
七、课堂小结
用二元一次方程组解决较复杂的实际问题的步骤
1．设适当的未知数；
2．用已知数与未知数表示题目中相关的量；
3．列表或画图表示题目中相关量；
4．列方程组；
5．解方程组；
6．写答案．
八、布置作业
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》的课后作业或《红对勾·练吧》的相关练习．
课件27张PPT。第八章
二元一次方程组8．3 实际问题与二元一次方程组
第3课时 利用二元一次方程组解决实际问题(3)撷取百家精妙·荟萃时代品牌 谢谢观赏！
Thanks! *8.4 三元一次方程组的解法
1．了解三元一次方程组的定义．
2．掌握简单的三元一次方程组的解法．
3．培养学生分析问题、解决问题的能力与合作意识、探索精神．
重点：三元一次方程组的解法．
难点：根据方程组特点选择最佳的消元方法．
一、导入新课
有人问甲、乙、丙三人的年龄，甲说：“我们三个人的年龄之和是26.”乙说：“甲的年龄的两倍再加上我的年龄就要比丙大18.”丙说：“我比甲小1岁．”聪明的你能算出甲、乙、丙的年龄各是多少吗？
学生在老师的引导下独立思考后合作交流，思考以下问题：
1．选用什么数学工具来解呢？
2．设哪些量为未知数呢？
在小组内说一说自己的解法，与组内的同学达成共识．
二、探究新知
探究1：三元一次方程组的定义
学生能由教师的引导，认真地分析题意，找出能概括问题全部含义的三个等量关系并能设出未知数：设甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，丙的年龄为z岁，由题意得出方程组
学生在教师的引导下，认真地观察这三个方程的特点，为此方程组下一个定义．
探究2：三元一次方程组的解法
问题1：如何解这个方程组？
教师提出问题，学生进行讨论，探究，交流．然后得出结论．
可以类比二元一次方程组的解法进行．
―→―→
教师让学生继续讨论，观察这个方程，怎样才能达到这样的目的？
让学生通过讨论，交流，尝试．去解决这个问题．然后师生共同完成解这个方程组．
把③分别代入①②得
(以下略)
问题2：如何解下面这个方程组．
教师引导学生观察，并提出问题：先消去哪一个未知数比较简便？
学生观察讨论，然后得出结论，先消去c比较简便．
之后让学生完成解答，教师安排一名同学上台板演．
过程中学生如果有其他的解法思路，也可以直接上台板演．
三、新知归纳
1．三元一次方程组的概念：方程组含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
2．解三元一次方程组的步骤
(1)消去一个未知数化三元一次方程组为二元一次方程组；
(2)解二元一次方程组；
(3)求第三个未知数；
(4)写解．
四、典例剖析
例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是( D )
A. B.
C. D.
思路分析：A选项中，方程x2－y＝1与xz＝2中含未知数的项的次数为2，不符合三元一次方程组的定义，故A选项不是；B选项中，，不是整式，故B选项不是；C选项中方程组含有四个未知数，故C选项不是；D选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.
例2 解方程组．
思路分析：方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．
解：②×3＋③，得11x＋10z＝35，④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，
所以y＝.
因此，三元一次方程组的解为
例3 在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60，求a，b，c的值．
思路分析：把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组．
解：由题意，得三元一次方程组
②－①，得a＋b＝1. ④
③－①，得4a＋b＝10.⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解得
把a＝3，b＝－2代入①，得c＝－5.
因此
即a，b，c的值分别为3，－2，－5.
五、反馈训练
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》随堂演练部分．
六、课堂小测
1．下列方程组中是三元一次方程组的有(2)(4)．
(1) (2)
(3) (4)
(5)
2．解下列方程组．
(1) (2)
解：(1)
得x＋y＋z＝5，④
④－①得z＝4，
④－②得x＝－1，
④－③得y＝2，
∴原方程组的解为
(2)
设＝＝＝k，
∴x＝7k，y＝10k，z＝5k，
把x＝7k，y＝10k，z＝5k代入②
得7k＋10k－15k＝2，
∴k＝1，
∴x＝7，y＝10，z＝5，
∴原方程组的解为
七、课堂小结
1．本节主要学习三元一次方程组的解法．
2．主要用到的思想方法是消元思想：通过消元将三元一次方程组转化成二元一次方程组．
3．注意的问题
(1)先消哪个未知数，怎样消元，取决于方程组的系数特点，要仔细观察，选择较简单的方法；
(2)消元时，两次消去的必须是同一个“元”；
(3)解方程组时要细心，在准确的基础上提高运算速度．
八、布置作业
完成《红对勾·45分钟作业与单元评估》的课后作业或《红对勾·练吧》的相关练习．
课件26张PPT。第八章
二元一次方程组*8.4
三元一次方程组的解法撷取百家精妙·荟萃时代品牌 谢谢观赏！
Thanks!
