江苏省苏州市吴江区汾湖中学2020届高三下学期期初考试数学试卷（Word版含答案）

数 学









参考公式：
样本数据的方差，其中．
柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高．
锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1．已知集合，集合，则 ▲ ．
2．复数，(其中i为虚数单位)的实部为 ▲ ．
3．函数的定义域为 ▲ ．
4．已知某地连续5天的最低气温(单位：摄氏度)依次是18， 21，22，24，25，那么这组数据的方差为 ▲ ．
5．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面征调108人(用分层抽样的方法)，则北面共有 ▲ 人．”
6．已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为
4，则 ▲ ．
7．如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则
其输出的结果是 ▲ ．
8．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，
终边经过点P(－1，2)，则＝ ▲ ．
9．已知函数，若，
则实数a的值是 ▲ ．
10．如图，正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB的中点，则三棱锥B1 — BFE的体积为 ▲ ．





11．已知x，y为正数，且，则x＋y的最小值为 ▲ ．
12．如图所示，平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60o，E是DC中点，那么向量 与所成角的余弦值等于 ▲ ．



13．设△ABC的三边a，b，c，所对的角分别为A，B，C．若，则的最大值是
▲ ．
14．任意实数a，b，定义，设函数，正项数列是公比大
于0的等比数列，且，则=
▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求边c的值；
(2)求的值．




16．(本小题满分14分)
在直三棱柱ABC — A1B1C1中，AB＝AC，BB1＝BC，点P，Q，R分别是棱BC，CC1，B1C1的中点．
(1)求证：A1R//平面APQ；
(2)求证：直线B1C⊥平面APQ．





17．(本小题满分14分)
如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线AB，AC为两边夹角为120o的公路(长度均超过千米)，在两条公路AB，AC上分别设立游客上下点M，N，从观景台到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM＝千米，AN＝千米．
(1)求线段MN的长度；
(2)若，求两条观光线路PM与PN
之和的最大值．



18．(本小题满分16分)
已知椭圆的离心率为，点N (2,0)为椭圆的右顶点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点H (0,2)的直线l与椭圆交于A，B两点，直线NA与直线NB的斜率和为，求直线
l的方程．




19．(本小题满分16分)
已知函数，，．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若曲线在点(1,0)处的切线为l : x＋y－1＝0，求a，b的值；
(3)若恒成立，求的最大值．




20．(本小题满分16分)
记无穷数列的前n项，，…，的最大项为，第n项之后的各项，，…的最小项为，．
(1)若数列的通项公式为，写出，，；
(2)若数列的通项公式为，判断是否为等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；
(3)若数列为公差大于零的等差数列，求证：是等差数列．



数学(I)参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1． 2． 3． 4．6 5．8100 6．8 7． 2
8． 9．7 10． 11．7 12． 13． 14．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
解：（1）因为，所以即，
因此①， ……………2分
又因为由余弦定理，②，
由①②及，可得， ……………4分
所以或（舍），因此． ……………6分
（2）由（1）知，代入②，
即又，因此， ……………8分
又由余弦定理得．
因为，所以，
则． ……………10分
又，所以
……………14分
16．(本小题满分14分)
证明：(1)在直三棱柱中，且，
因点分别是棱的中点，所以且，
所以四边形是平行四边形，即且， ……………2分
又且，所以且，
即四边形是平行四边形，所以， ……………4分
又平面，平面，
所以平面. ……………6分
(2)因为直三棱柱，所以四边形是平行四边形，
又因，所以四边形是菱形，所以，
又点分别是棱的中点，
即，所以. ……………9分
因为，点是棱的中点，所以，
由直三棱柱，知底面，即，
又平面，平面，且，
所以平面，又平面，则，……………12分
又平面，平面，且，
所以平面 ……………14分
17．(本小题满分14分)
(1)在中，由余弦定理得，
，
所以线段的长度为3千米． ……………4分
(2)设，因为，所以，
在中，由正弦定理得，
． ……………6分
所以，，
因此 ……………9分
，
因为，所以．
所以当，即时，取到最大值6． ……………13分
答：两条观光线路距离之和的最大值为6千米． ……………14分
18．(本小题满分16分)
(1)因为点是椭圆的右项点，所以.
又，所以，又，所以
所以椭圆的方程为. ……………4分
(2)若直线与轴垂直，则，则，
所以直线的斜率存在.
设直线的方程为，
联立，消去，得
则有
……………8分
直线的斜率为，直线的斜率为，
所以.
又
，
化简得. ……………12分
又，
所以，
化简得，解得或，又时，过点，故舍去，
所以直线的方程为. ……………16分
19．(本小题满分16分)
(1)由题意知，则. ……………1分
令得，所以在上单调递增.
令得，所以在上单调递减.
所以函数在上单调递增，在上单调递减. ……………3分
(2)因为，得， ……………4分
由曲线在处的切线为，可知，且，
所以 ……………6分
(3)设,则恒成立.
易得
(i)当时，因为，所以此时在上单调递增.
①若，则当时满足条件，此时； ……………7分
②若，取即且，
此时，所以不恒成立．
不满足条件； ……………10分
(ii)当时，令，得由，得；
由，得
所以在上单调递减，在上单调递增.
要使得“恒成立”，必须有
“当时， ”成立.
所以.则 ……13分
令则
令，得由，得；
由，得所以在上单调递增，在上单调递减,
所以，当时，
从而，当时， 的最大值为. ……………16分
20．(本小题满分16分)
(1)由题知数列的通项公式为，
可知，，，且当时是单调递增数列，
所以，，,
所以，，分别为1，－2，－7. ……………3分
(2)由题知数列的通项公式为，
所以数列是单调递减的数列，且，
由题知，，
因为，
故数列是单调递增数列，
所以当时，，， ……………6分
故，
所以数列的通项公式是，
即数列是等差数列，公差. ……………8分
(3)由题知数列为公差大于零的等差数列，
故设且公差，
当时，有，
整理得，
若，则有，
故， ……………10分
因为，所以当时，
当时，
类似的可以证明， ……………12分
因为，
故有，
故数列是单调递增数列， ……………14分
所以当时，，，
故，
所以数列的通项公式是，
即数列是等差数列，公差为. ……………16分




注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，包含填空题(第1题第14题)、解答题(第15题第20题)．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．
4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．

(第7题)

A

A1

B

C

D

F

E

B1

C1

D1