北师大版九年级数学下册课件：2.5 第1课时 二次函数与一元二次方程（27张）

课件27张PPT。2.5 二次函数与一元二次方程第二章 二次函数第1课时 二次函数与一元二次方程学习目标1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.(难点）
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.（重点）导入新课问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，
你能否解决以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）球从飞出到落地要用多少时间？现在不能解决也不要紧，学完本课，你就会清楚了！情境引入思考
观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.讲授新课二次函数与一元二次方程的关系观察图象，完成下表：0个1个2个x2-x+1=0无解3x2-6x+9=0，x1=x2=3-2, 1 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1有两个交点有两个不相等的实数根，为交点的横坐标b2-4ac > 0有一个交点有两个相等的实数根，为交点的横坐标b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac < 0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系知识要点例1 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．(1)证明：∵m≠0，
∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0，
∴Δ≥0，
∴此抛物线与x轴总有交点；典例精析(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，
所以 x－1＝0或mx－2＝0，
解得 x1＝1，x2＝ .
当m为正整数1时，x2为整数且x1≠x2，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．
所以正整数m的值为1.例1 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，
求正整数m的值．变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.
(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴
都有两个不同的交点；
(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，
且x1、x2的平方和为3，求a的值．(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，
∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，
∴a＝1.例2 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，
你能否解决以下问题：运动中的抛物线问题典例精析（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？1513∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.解：解方程 15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
t1=1,t2=3.你能结合上图，指出为什么在两个时间球的高度为15m吗？h=20t-5t2（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m吗？204解方程：
20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.当球飞行2s时，它的高度为20m.h=20t-5t2（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?20.5解方程：
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4 ×4.1<0,
所以方程无解.
即球的飞行高度达不到20.5m.h=20t-5t2（4）球从飞出到落地要用多少时间？0=20t-5t2,
t2-4t=0,
t1=0,t2=4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m.即0s时球从地面飞出，4s时球落回地面.h=20t-5t2 从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．1.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．
（1）足球的飞行时间是多少？针对训练解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0， 0.5）（0.8，3.5），
∴
∴抛物线的解析式为 ，故足球的飞行时间为（2）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？解：∵抛物线的解析式为∴当t= 时，y最大=4.5；（3）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？解：把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，
∴他能将球直接射入球门．1．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= ；-12.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2= ，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标是 .当堂练习3.若一元二次方程 无实根，
则抛物线 的图象位于（ ）
A.x轴上方 B.第一、二、三象限
C.x轴下方 D.第二、三、四象限A4.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．
∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，
∴k＝3；
当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．
∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，
∴Δ＝b2－4ac≥0.
∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，
∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.
综上所述，k的取值范围是k≤4.5.如图，某学生推铅球，铅球出手（点A处）的高度是0.6m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高3m时，水平距离x=4m．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)该同学把铅球推出去多远？解：(1)设二次函数的解析式为y=a（x-4）2+3，把（0，0.6）代入得
0.6=a（0-4）2+3，
(2)当y=0时，
答：该男同学把铅球推出去(4+2 )m远．能力提升 6.已知二次函数 的图象，利用图象回答问题：
（1）方程 的解是什么？
（2）x取什么值时，y>0 ？
（3）x取什么值时，y<0 ？解：（1）x1=2,x2=4;（2）x<2或x>4;（3）2