人教版八年级数学下册 18.2.3正方形习题课件（共31张PPT）

课件31张PPT。第十八章　平行四边形18.2.3　正方形新知 1 正方形的定义
定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. (1)正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；(2)既是矩形又是菱形的四边形是正方形；(3)正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形. 正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图18－2－31. 拓展：正方形定义的巧记方法：四条边都相等，四个角都是直角. 例题精讲
【例1】如图18－2－32所示是4×4个小正方形，则该图形中共有多少个大大小小的正方形？
解　设最小的正方形边长为1，则边长为1的正方形共有16个，边长为2的正方形共有9个，边长为3的正方形共有4个，边长为4的正方形共有1个，总共有16＋9＋4＋1＝30(个).
点拨　最小的正方形边长为1，则正方形共有四种情况：1×1,2×2,3×3,4×4.举一反三
1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是( )
A.对角线相等且互相平分
B. 对角线相等且互相垂直平分
C. 对角线互相平分
D. 四条边相等，四个角相等
2.下列说法正确的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是正方形
CDC. 平行四边形的对角线平分一组对角
D. 矩形的对角线相等且互相平分
3.正方形具备而菱形不具备的性质是( )
A.四条边都相等
B. 四个角都是直角
C. 对角线互相垂直平分
D. 每条对角线平分一组对角B新知 2 正方形的性质
(1)拓展：一组邻边相等的矩形叫做正方形；
(2)性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；
(3)对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴.正方形也是中心对称图形.例题精讲
【例2】如图18－2－33，正方形ABCD的对角线BD长为 ，若直线l满足：①点D到直线l的距离为 ；②A，C两点到直线l的距离相等.则符合题意的直线l的条数为(　　)
A.1条　　 B.2条 C.3条　　D.4条解析　如图18－2－34，连接AC与BD相交于O，
∵正方形ABCD的对角线BD长为2 ，
∴OD＝ .
∴直线l∥AC并且到D的距离为.
同理，在点D的另一侧还有一条直线满足条件，
故共有2条直线l.
答案　B举一反三
1.如图18－2－35，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF等于( )
A. 35°　　　B. 45°　　　C. 55°　　　D. 60°B2.如图18－2－36，点E在正方形ABCD的边AB上，AE＝3，BE＝1，点M是DE的中点，若点P在正方形ABCD的边上，且PM＝2.5，则符合条件的点P的个数是( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个D新知 3 正方形的判定
判定一个四边形为正方形的主要依据是定义. 主要方法有两条：(1)先证它是矩形，再证有一组邻边相等；(2)先证它是菱形，再证有一个角是直角.
拓展：判定一个四边形为正方形的一般顺序：(1)先证明它是平行四边形；(2)再证有一组邻边相等(或有一个角是直角)；(3)最后证有一个角是直角(或有一组邻边相等).例题精讲　
【例3】如图18－2－37，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG，FH，交点为O，连接EF，FG，GH，HE，求证：四边形EFGH是正方形. 解析　先证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，可得出四边形GHEF是菱形，再根据全等三角形角之间的关系，又可得出菱形的一个角是直角，那么就可得出四边形GHEF是正方形.
证明　∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.
∵HA＝EB＝FC＝GD，
∴AE＝BF＝CG＝DH.
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，
∴EF＝FG＝GH＝HE.∴四边形EFGH是菱形.
∵△DHG≌△AEH，∴∠DHG＝∠AEH.
∵∠AEH＋∠AHE＝90°，
∴∠DHG＋∠AHE＝90°.
∴∠GHE＝90°.
∴四边形EFGH是正方形.
点评　本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，利用正方形的性质，掌握正方形的判定方法是解决问题的关键.举一反三
1. 如图18－2－38，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E，F分别是AD，BC的中点，连接AF与BE，CE与DF分别交于点M，N两点，则四边形EMFN是( )
A. 正方形　　　　　　 B. 菱形
C. 矩形 D. 无法确定A2. 已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是( )
A. AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
B. AD∥BC，∠A＝∠C
C. AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
D. AO＝CO，BO＝DO，AB＝BCC3.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形(如图18－2－39)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是( )
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ②④B新知4　正方形的面积
正方形的面积的计算方法：
(1)正方形的面积等于其边长的平方；
(2)正方形的面积等于其两条对角线乘积的一半(因为正方形是特殊的菱形，故可以用菱形面积的计算方法来计算).
拓展：周长相等的四边形中，正方形的面积最大【例4】如图18－2－40所示，正方形ABCD的周长为16 cm，顺次连接正方形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于　　　cm，面积等于　　　cm2. 解析　由题意可知，四边形EFGH也是正方形，
∵ 正方形ABCD的周长为16 cm，
∴ AB＝BC＝CD＝DA＝4 cm.
∴ AH＝AE＝2 cm.
在Rt△AEH中，EH2＝AE2＋AH2，
∴ EH2＝22＋22＝8.
∴ EH＝ cm.
∴ 四边形EFGH的周长为 ×4＝ (cm)，
面积为( )2＝8 cm2.
答案　 　 8 1. 如图18－2－41，由四个直角边分别为5和4的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部分面积为　 　.12.如图18－2－42，正方形的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为　　 　cm2.( )
A. 8　　　B. 16　　　C. 4　　　D. 无法确定A1. 如图18－2－43，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( )
A. 76 B. 70 C. 48 D. 24A7. (6分)如图KT18－2－17，正方形ABCD的边长为6，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE与BC的延长线相交于点F，连接EF与边CD相交于点G，与对角线BD相交于点H.若BD＝BF，求BE的长.8. (6分)如图KT18－2－18，已知正方形ABCD中，边长为10 cm，点E在AB边上，BE＝6 cm.
(1)如果点P在线段BC上以4 cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1 s后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？解：(1)①∵t＝1 s，∴BP＝CQ＝4×1＝4 cm，
∵正方形ABCD中，边长为10 cm，∴PC＝BE＝6 cm.
又∵正方形ABCD，∴∠B＝∠C. △BPE≌△CQP；
②∵vP≠vQ，∴BP≠CQ.
又∵△BPE≌△CQP，∠B＝∠C，则BP＝PC， 而BP＝4t，CP＝10－4t，∴4t＝10－4t.∴点P，Q运动的时间 ，
∴ (2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？
(2)设经过x s后点P与点Q第一次相遇，由题意，得
4.8x－4x＝30，
解得 ∴点P共运动了
∴点P，Q在A点相遇.∴经过 点P与点Q第一次在A点相遇.