八年级数学（下）学期 第16章 二次根式 单元测试卷
一、选择题（共10小题）
1．下列根式中，是最简二次根式的是
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是
A． B． C． D．
3．化简的结果是
A． B． C． D．
4．若，，则、两数的关系是
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数
5．式子中的取值范围是
A ．且 B ．且 C ． D ．
6．已知，则
A． B． C． D．
7．古希腊科学家海伦发现：“如果三边长分别为、、，记，那么的面积为”．若已知的三边长、、，则该三角形的面积为
A． B．10 C． D．
8．已知当时，有意义，则化简得
A． B． C． D．
9．若，为实数，且，在数轴上的位置如图所示，则的值是
A． B． C． D．
10．定义两种新运算“△”和“”， △，，则△△的值为
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．计算： ．
12．若有意义，则的取值范围 ．
13．有理化分母： ．
14．已知，化简： ．
15．如果最简二次根式与可以合并成一个二次根式，则 ．
16．若是正整数，则使得是整数的的最小值是 ．
17．已知：，在数轴上的位置如图所示，化简代数式： ．
18．已知，是实数，且，问，之间有怎样的关系： ．
三．解答题（共7小题）
19．计算：
20．已知、、这三个数在数轴上的对应位置如图，试计算：
．
21．若，是实数，且，求的值．
22．已知三角形的三条边长分别是、、，求三角形的周长（要求结果化简）；并选取自己喜欢的一个数值代入使得周长的结果为整数．
23．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
（1）长方形的周长是多少？
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
24．观察下列等式：
①；
②；
③
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：
（2）计算：．
25．斐波那契（约，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第为正整数）个数可表示为．
（1）计算第一个数；
（2）计算第二个数；
（3）证明连续三个数之间，，存在以下关系：；
（4）写出斐波那契数列中的前8个数．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列根式中，是最简二次根式的是
A． B． C． D．
解：、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、不能化简，是最简二次根式，故本选项符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
2．下列运算正确的是
A． B． C． D．
解：不能合并为一项，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项正确；
故选：．
3．化简的结果是
A． B． C． D．
解：，
，
．
故选：．
4．若，，则、两数的关系是
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数
解：化简得：，，
则与互为相反数，
故选：．
5．式子中的取值范围是
A ．且 B ．且 C ． D ．
解： 由题意得：且，
解得：且．
故选：．
6．已知，则
A． B． C． D．
解：，
，
，
，
故选：．
7．古希腊科学家海伦发现：“如果三边长分别为、、，记，那么的面积为”．若已知的三边长、、，则该三角形的面积为
A． B．10 C． D．
解：由题意知，，
所以．
故选：．
8．已知当时，有意义，则化简得
A． B． C． D．
解：由题意可得，，
，
，
．
故选：．
9．若，为实数，且，在数轴上的位置如图所示，则的值是
A． B． C． D．
解：由题意，得
，，．
，
故选：．
10．定义两种新运算“△”和“”， △，，则△△的值为
A． B． C． D．
解：△，，
△△
△
．
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．计算： 6 ．
解：原式
．
故答案为：6．
12．若有意义，则的取值范围 且 ．
解：根据题意得：，，
解得且．
故答案为：且．
13．有理化分母： ．
解：原式，
故答案为：
14．已知，化简： 3 ．
解：
故答案为：3．
15．如果最简二次根式与可以合并成一个二次根式，则 5 ．
解：最简二次根式与可以合并成一个二次根式，
，
．
故答案为5．
16．若是正整数，则使得是整数的的最小值是 5 ．
解：，
则整数的的最小值是5，
故答案为：5．
17．已知：，在数轴上的位置如图所示，化简代数式： 2 ．
解：原式，
，
，
，
故答案为：2．
18．已知，是实数，且，问，之间有怎样的关系： ．
解：，
等式的两边都乘以，得①，
等式的两边都乘以得②，
①②，得，
整理，得
所以
故答案为：
三．解答题（共7小题）
19．计算：
解：原式
．
20．已知、、这三个数在数轴上的对应位置如图，试计算：
．
解：由数轴可得：，
21．若，是实数，且，求的值．
解：由题意得：，
解得：，
则，
．
22．已知三角形的三条边长分别是、、，求三角形的周长（要求结果化简）；并选取自己喜欢的一个数值代入使得周长的结果为整数．
解：周长
当时，周长．
23．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
（1）长方形的周长是多少？
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
解：（1）长方形的周长，
答：长方形的周长是，
（2）购买地砖需要花费
；
答：购买地砖需要花费元；
24．观察下列等式：
①；
②；
③
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：
（2）计算：．
解：（1）原式；
（2）原式
．
25．斐波那契（约，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第为正整数）个数可表示为．
（1）计算第一个数；
（2）计算第二个数；
（3）证明连续三个数之间，，存在以下关系：；
（4）写出斐波那契数列中的前8个数．
解：（1）；
（2）；
（3）证明：
；
（4）斐波那契数列中的前8个数是1，1，2，3，5，8，13，21．
八年级数学（下）学期 第 16章 二次根式 单元测试卷
一、选择题（共 10小题）
1．下列根式中，是最简二次根式的是 ( )
A． 12 B． 2x C． 2a b? D． 1
a
2．下列运算正确的是 ( )
A． 2 3 5? ? B． 12 4 3? C． 2 3 3 3 6 3? ? D． 12 2
2
? ?
3．化简 2(1 2)? 的结果是 ( )
A．1 2? B． 2 1? C． ( 2 1)? ? D． (1 2)? ?
4．若 1
1 2
a ?
?
， 1 2b ? ? ，则 a、 b两数的关系是 ( )
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数
5．式子
1
2
x
x
?
?
中 x的取值范围是 ( )
A ． 1x? 且 2x ? B ． 1x ? 且 2x ? C ． 2x ? D ． 1x ?
6．已知 3( 1) 2( 1)x x? ? ? ，则 (x ? )
A． 5 6? B．5 2 6? C． 5 2 6? D． 5 6?
7．古希腊科学家海伦发现：“如果 ABC? 三边长分别为 a、b、c，记
2
a b cp ? ?? ，那么 ABC?
的面积为 ( )( )( )S p p a p b p c? ? ? ? ”．若已知 ABC? 的三边长 5a ? 、 7b ? 、 8c ? ，则
该三角形的面积为 ( )
A． 35
2
B．10 C．8 2 D．10 3
8．已知当 0b ? 时， 3a b? 有意义，则化简 3a b? 得 ( )
A． a ab? B． a ab? ? C． a ab D． a ab?
9．若 a， b为实数，且 a， b在数轴上的位置如图所示，则 2| |a b a? ? 的值是 ( )
A． b? B．b C． 2b a? ? D． 2a b?
10．定义两种新运算“△”和“*”， a△ 2b a ab? ? ， 2* 3a b a b? ? ，则 ( 2 △1)△ 2( * 2)
3
的值为 ( )
A．8 12 2? B．8 12 2? C．12 8 2? D．12 8 2?
二．填空题（共 8小题）
11．计算： 2 3 3? ? ．
12．若 1
2
x
x
?
?
有意义，则 x的取值范围 ．
13．有理化分母： 1
3 2
?
?
．
14．已知1 4x? ? ，化简： 2(1 ) | 4 |x x? ? ? ? ．
15．如果最简二次根式 3 8a ? 与 7 可以合并成一个二次根式，则 a ? ．
16．若 n是正整数，则使得 45n 是整数的 n的最小值是 ．
17．已知：a，b在数轴上的位置如图所示，化简代数式： 2 2( 1) ( ) |1 |a a b b? ? ? ? ? ? ．
18．已知 a，b是实数，且 2 2( 1 )( 1 ) 1a a b b? ? ? ? ? ，问 a，b之间有怎样的关系： ．
三．解答题（共 7小题）
19．计算： 12 12 6 48 3 6 2
3
? ? ? ?
20．已知 a、 b、 c这三个数在数轴上的对应位置如图，试计算：
2 2 2( ) ( ) ( )a b c a b c? ? ? ? ? ．
21．若 x， y是实数，且 11 1
2
y x x? ? ? ? ? ，求 4
1
y
x ?
的值．
22．已知三角形的三条边长分别是3
3
x
、
3x
x
、
3 1
4 3
x
x
，求三角形的周长（要求结果化简）；
并选取自己喜欢的一个数值代入使得周长的结果为整数．
23．某居民小区有块形状为长方形 ABCD的绿地，长方形绿地的长 BC为 243m，宽 AB为
128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为
( 14 1)m? ，宽为 ( 14 1)m? ．
（1）长方形 ABCD的周长是多少？
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为 5元 2/m 的地砖，
要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
24．观察下列等式：
①
1 3 1 3 1
23 1 ( 3 1)( 3 1)
? ?
? ?
? ? ?
；
②
1 5 3 5 3
25 3 ( 5 3)( 5 3)
? ?
? ?
? ? ?
；
③
1 7 5 7 5
27 5 ( 7 5)( 7 5)
? ?
? ?
? ? ?
?回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简： 1
5 23?
（2）计算： 1 1 1 1
1 3 3 5 5 7 3 11 101
? ? ???
? ? ? ?
．
25．斐波那契（约1170 1250? ，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现
该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第 (n n为正整数）个数 na 可表示
为
1 1 5 1 5[( ) ( ) ]
2 25
n n? ?? ．
（1）计算第一个数 1a ；
（2）计算第二个数 2a ；
（3）证明连续三个数之间 1na ? ， na ， 1na ? 存在以下关系： 1 1( 2)n n na a a n? ?? ? ? ；
（4）写出斐波那契数列中的前 8个数．
参考答案
一．选择题（共 10小题）
1．下列根式中，是最简二次根式的是 ( )
A． 12 B． 2x C． 2a b? D． 1
a
解： A、 12 2 3? 不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 2 | |x x? ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、 2a b? 不能化简，是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、 1 a
a a
? ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．下列运算正确的是 ( )
A． 2 3 5? ? B． 12 4 3? C． 2 3 3 3 6 3? ? D． 12 2
2
? ?
解：? 2 3? 不能合并为一项，故选项 A错误；
? 12 2 3? ，故选项 B错误；
? 2 3 3 3 18? ? ，故选项C 错误；
? 12 2 2 2
2
? ? ? ? ，故选项 D正确；
故选：D．
3．化简 2(1 2)? 的结果是 ( )
A．1 2? B． 2 1? C． ( 2 1)? ? D． (1 2)? ?
解：? 2 1? ，
? 2 1 0? ? ，
? 2 2(1 2) ( 2 1) 2 1? ? ? ? ? ．
故选： B．
4．若 1
1 2
a ?
?
， 1 2b ? ? ，则 a、 b两数的关系是 ( )
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数
解：化简得：
1 2 1 2 1
1 2 (1 2)( 2 1)
a ?? ? ? ?
? ? ?
， 1 2b ? ? ，
则 a与 b互为相反数，
故选： A．
5．式子
1
2
x
x
?
?
中 x的取值范围是 ( )
A ． 1x? 且 2x ? B ． 1x ? 且 2x ? C ． 2x ? D ． 1x ?
解： 由题意得： 1 0x ? ? 且 2 0x ? ? ，
解得： 1x? 且 2x ? ．
故选： A．
6．已知 3( 1) 2( 1)x x? ? ? ，则 (x ? )
A． 5 6? B．5 2 6? C． 5 2 6? D． 5 6?
解：? 3( 1) 2( 1)x x? ? ? ，
? 3 3 2 2x x? ? ? ，
? 3 2 3 2x x? ? ? ，
3 2 5 2 6
3 2
x ?? ? ? ?
?
，
故选：C．
7．古希腊科学家海伦发现：“如果 ABC? 三边长分别为 a、b、c，记
2
a b cp ? ?? ，那么 ABC?
的面积为 ( )( )( )S p p a p b p c? ? ? ? ”．若已知 ABC? 的三边长 5a ? 、 7b ? 、 8c ? ，则
该三角形的面积为 ( )
A． 35
2
B．10 C．8 2 D．10 3
解：由题意知，
5 7 8 10
2 2
a b cp ? ? ? ?? ? ? ，
所以 ( )( )( ) 10 (10 5)(10 7)(10 8) 10 3S p p a p b p c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ．
故选：D．
8．已知当 0b ? 时， 3a b? 有意义，则化简 3a b? 得 ( )
A． a ab? B． a ab? ? C． a ab D． a ab?
解：由题意可得， 3 0a b? ? ，
0b ?? ，
0a? ? ，
? 3 2 | |a b a ab a ab a ab? ? ? ? ? ? ? ?? ? ．
故选： B．
9．若 a， b为实数，且 a， b在数轴上的位置如图所示，则 2| |a b a? ? 的值是 ( )
A． b? B．b C． 2b a? ? D． 2a b?
解：由题意，得
0a ? ， 0b ? ， 0a b? ? ．
2| | ( ) 2a b a a b a a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
故选：C．
10．定义两种新运算“△”和“*”， a△ 2b a ab? ? ， 2* 3a b a b? ? ，则 ( 2 △1)△ 2( * 2)
3
的值为 ( )
A．8 12 2? B．8 12 2? C．12 8 2? D．12 8 2?
解： a? △ 2b a ab? ? ， 2* 3a b a b? ? ，
( 2? △1)△ 2( * 2)
3
(2 2)? ? △ ( 2 2)?
2(2 2) (2 2)( 2 2)? ? ? ? ?
6 4 2 ( 6 4 2)? ? ? ? ?
12 8 2? ? ．
故选：D．
二．填空题（共 8小题）
11．计算： 2 3 3? ? 6 ．
解：原式 2 3? ?
6? ．
故答案为：6．
12．若 1
2
x
x
?
?
有意义，则 x的取值范围 1x? 且 2x ? ．
解：根据题意得： 1 0x ? ? ， 2 0x? ? ，
解得 1x? 且 2x ? ．
故答案为： 1x? 且 2x ? ．
13．有理化分母： 1
3 2
?
?
3 2? ．
解：原式
3 2 3 2
( 3 2)( 3 2)
?
? ? ?
? ?
，
故答案为： 3 2?
14．已知1 4x? ? ，化简： 2(1 ) | 4 |x x? ? ? ? 3 ．
解： 1 4x? ??
? 2(1 ) | 4 | 1 4 3x x x x? ? ? ? ? ? ? ?
故答案为：3．
15．如果最简二次根式 3 8a ? 与 7 可以合并成一个二次根式，则 a ? 5 ．
解：?最简二次根式 3 8a ? 与 7 可以合并成一个二次根式，
3 8 7a? ? ? ，
5a? ? ．
故答案为 5．
16．若 n是正整数，则使得 45n 是整数的 n的最小值是 5 ．
解： 45 3 5n n? ，
则整数的 n的最小值是 5，
故答案为：5．
17．已知：a，b在数轴上的位置如图所示，化简代数式： 2 2( 1) ( ) |1 |a a b b? ? ? ? ? ? 2 ．
解：原式 | 1 | | | |1 |a a b b? ? ? ? ? ? ，
1 ( ) (1 )a a b b? ? ? ? ? ? ? ，
1 1a a b b? ? ? ? ? ? ，
2? ，
故答案为：2．
18．已知 a ， b 是实数，且 2 2( 1 )( 1 ) 1a a b b? ? ? ? ? ，问 a， b 之间有怎样的关系：
0a b? ? ．
解： 2 2( 1 )( 1 ) 1a a b b? ? ? ? ?? ，
等式的两边都乘以 2( 1 )a a? ? ，得 2 21 1b b a a? ? ? ? ? ①，
等式的两边都乘以 2( 1 )b b? ? 得 2 21 1a a b b? ? ? ? ? ②，
① ?②，得 2 2 2 21 1 1 1b b a a b b a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
整理，得 2 2 0a b? ?
所以 0a b? ?
故答案为： 0a b? ?
三．解答题（共 7小题）
19．计算： 12 12 6 48 3 6 2
3
? ? ? ?
解：原式
34 3 6 4 3 3 6 2
3
? ? ? ? ? ?
4 3 2 3 4 3 3 6 2? ? ? ? ?
6 3 3 6 2? ? ? ．
20．已知 a、 b、 c这三个数在数轴上的对应位置如图，试计算：
2 2 2( ) ( ) ( )a b c a b c? ? ? ? ? ．
解：?由数轴可得： 0b a c? ? ? ， | | | |b a?
? 2 2 2( ) ( ) ( )a b c a b c? ? ? ? ?
( )a b c a c b? ? ? ? ? ? ?
2a b c c b? ? ? ? ? ?
2a? ?
21．若 x， y是实数，且 11 1
2
y x x? ? ? ? ? ，求 4
1
y
x ?
的值．
解：由题意得：
1 0
1 0
x
x
??
? ??
?
? ，
解得： 1x ? ，
则
1
2
y ? ，
144 2 1
1 1 1
y
x
?
? ?
? ?
．
22．已知三角形的三条边长分别是3
3
x
、
3x
x
、
3 1
4 3
x
x
，求三角形的周长（要求结果化简）；
并选取自己喜欢的一个数值代入使得周长的结果为整数．
解：周长
3 3 13
3 4 3
x xx
x x
? ? ?
33 3
4
xx x? ? ?
9 3
4
x?
当 48x ? 时，周长 9 12 27
4
? ? ? ．
23．某居民小区有块形状为长方形 ABCD的绿地，长方形绿地的长 BC为 243m，宽 AB为
128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为
( 14 1)m? ，宽为 ( 14 1)m? ．
（1）长方形 ABCD的周长是多少？
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为 5元 2/m 的地砖，
要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
解：（1）长方形 ABCD的周长 2( 243 128) 2(9 3 8 2) 18 3 16 2( )cm? ? ? ? ? ? ，
答：长方形 ABCD的周长是18 3 16 2( )cm? ，
（2）购买地砖需要花费 5[ 243 128 ( 14 1)( 14 1)]? ? ? ? ?
5[72 6 (14 1)]? ? ?
5(72 6 13)? ?
360 6 65? ? ；
答：购买地砖需要花费 (360 6 65)? 元；
24．观察下列等式：
①
1 3 1 3 1
23 1 ( 3 1)( 3 1)
? ?
? ?
? ? ?
；
②
1 5 3 5 3
25 3 ( 5 3)( 5 3)
? ?
? ?
? ? ?
；
③
1 7 5 7 5
27 5 ( 7 5)( 7 5)
? ?
? ?
? ? ?
?回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简： 1
5 23?
（2）计算： 1 1 1 1
1 3 3 5 5 7 3 11 101
? ? ???
? ? ? ?
．
解：（1）原式 5 23 5 23
2(5 23)(5 23)
? ?
? ?
? ?
；
（ 2 ） 原 式
3 1 5 3 7 5 101 3 11
(1 3)( 3 1) ( 5 3)( 5 3) ( 7 5)( 7 5) ( 101 3 11)( 101 3 11)
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ? ? ? ? ?
1 ( 101 1)
2
? ? ．
25．斐波那契（约1170 1250? ，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现
该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第 (n n为正整数）个数 na 可表示
为
1 1 5 1 5[( ) ( ) ]
2 25
n n? ?? ．
（1）计算第一个数 1a ；
（2）计算第二个数 2a ；
（3）证明连续三个数之间 1na ? ， na ， 1na ? 存在以下关系： 1 1( 2)n n na a a n? ?? ? ? ；
（4）写出斐波那契数列中的前 8个数．
解：（1） 1
1 1 5 1 5 1[( ) ( )] 5 1
2 25 5
a ? ?? ? ? ? ? ；
（2） 2 22
1 1 5 1 5 1[( ) ( ) ] 5 1
2 25 5
a ? ?? ? ? ? ? ；
（3）证明： 1 11
1 1 5 1 5 1 1 5 1 5[( ) ( ) ] [( ) ( ) ]
2 2 2 25 5
n n n n
n na a
? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
1 11 1 5 1 5 1 1 5 1 5[( ) ( ) ] [( ) ( ) ]
2 2 2 25 5
n n n n? ?? ? ? ?? ? ? ?
1 1 5 1 5 1 1 5 1 5[( ) ( 1)] [( ) ( 1)]
2 2 2 25 5
n n? ? ? ?? ? ? ?
1 1 5 5 1 1 1 5 1 5[( ) ( )] [( ) ( )]
2 2 2 25 5
n n? ? ? ?? ? ?
1 11 1 5 1 5[( ) ( ) ]
2 25
n n? ?? ?? ? ；
（4）斐波那契数列中的前 8个数是 1，1，2，3，5，8，13，21．
