八年级数学（下）学期 第16章 二次根式 单元测试卷
一、选择题（共10小题）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是
A． B． C． D．
2．下列各式的运算或变形中，用到分配律的是
A． B．
C．由得 D．
3．计算的结果是
A． B． C． D．16
4．将化简的结果为
A． B． C． D．
5．在代数式和中，均可以取的值为
A．9 B．3 C．0 D．
6．计算的结果是
A．0 B． C． D．
7．若，，则代数式的值为
A． B． C．2 D．
8．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是
A．14 B．16 C． D．
9．如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为、宽为，下列是四位同学对该大长方形的判断，其中不正确的是
A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为
C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为90
10．已知表示取三个数中最大的那个数，例如：当时，．当时，则的值为
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．计算： ．
12．当 时，的值最小．
13．要使式子有意义，则的取值范围是 ．
14．化简：的结果为 ．
15．已知，，化简 ．
16．实数、在数轴上的位置如图所示，化简 ．
17．已知最简二次根式与可以合并，则的值为 ．
18．观察与思考：形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫复合二次根式的化简，请化简 ．
三．解答题（共7小题）
19．计算
（1）
（2）
20．若、都是实数，且，求的值．
21．实数，在数轴上的位置如图所示，化简．
22．已知，，，，
（1）化简这五个数；
（2）从这五个数中取出四个，通过适当运算后使得结果为2．请列式并写出运算过程．
23．星期天， 小奥和小运做了一个小游戏 ． 小奥说： “你现在学习了‘二次根式’， 若代表的整数部分，代表它的小数部分， 我这个纸包里的钱数是元， 你猜一下这个纸包里的钱数是多少？若猜对了， 包里的钱全给你 ． ”请你帮小运猜一下纸包里到底有多少钱？
24．阅读下列解题过程：
，，
请回答下列回题：
（1）观察上面的解答过程，请写出 ； ；
（2）利用上面的解法，请化简：．
25．阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦九韶公式”完成下列问题：
如图，在中，，，．
（1）求的面积；
（2）设边上的高为，边上的高为，求的值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是
A． B． C． D．
解：、是最简二次根式，故本选项符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
2．下列各式的运算或变形中，用到分配律的是
A． B．
C．由得 D．
解：，利用的乘法的结合律，故选项不符合题意；
，用的是积的乘方，故选项不符合题意；
由得，用到的是除法，故选项不符合题意；
，用到的是乘法分配律，故选项符合题意；
故选：．
3．计算的结果是
A． B． C． D．16
解：，
故选：．
4．将化简的结果为
A． B． C． D．
解：，
故选：．
5．在代数式和中，均可以取的值为
A．9 B．3 C．0 D．
解：由题意知，且，
解得：，
故选：．
6．计算的结果是
A．0 B． C． D．
解：原式．
故选：．
7．若，，则代数式的值为
A． B． C．2 D．
解：，，
，
原式
．
故选：．
按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是
A．14 B．16 C． D．
【解析】根据给出的运算程序计算即可．
解：当时，，
当时，，
故选：．
9．如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为、宽为，下列是四位同学对该大长方形的判断，其中不正确的是
A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为
C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为90
解：小长方形的长为、宽为，
大长方形的长为：，大长方形的宽为：，
大长方形的周长是：，大长方形的面积为：，
故选项错误，选项、、正确；
故选：．
10．已知表示取三个数中最大的那个数，例如：当时，．当时，则的值为
A． B． C． D．
解：当时，
①，解得：，此时，符合题意；
②，解得：；此时，不合题意；
③，，不合题意；
故只有时，．
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．计算： ．
【解析】直接利用二次根式除法运算法则计算得出答案．
解：原式．
故答案为：．
12．当 2 时，的值最小．
【解析】根据二次根式的“双重非负性”即“根式内的数或式大于等于零”和“根式的计算结果大于等于零”解答．
解：由题意可知，当时，取得最小值0
故答案是：2．
13．要使式子有意义，则的取值范围是 且 ．
【解析】根据分子的被开方数不能为负数，分母不能为零，可得答案．
解：由题意，得
，，
解得且，
故答案为：且．
14．化简：的结果为 ．
【解析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
解：由题意可得：，则，
故，
原式
．
故答案为：．
15．已知，，化简 ．
【解析】根据已知得到，根据二次根式的性质化简即可．
解：，，
，
，
故答案为：．
16．实数、在数轴上的位置如图所示，化简 ．
【解析】由数轴可得：，化简即可．
解：由数轴可得：，
，
故答案为．
17．已知最简二次根式与可以合并，则的值为 2 ．
【解析】根据同类二次根式的概念列出方程组，解方程组求出、，计算即可．
解：由题意得，，
解得，，
则，
故答案为：2．
18．观察与思考：形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫复合二次根式的化简，请化简 ．
【解析】直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
解：
．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
19．计算
（1）
（2）
【解析】（1）首先对每一项二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可，
（2）首先对每一项二次根式进行化简，然后去掉括号，进行合并同类二次根式即可．
解：（1）原式
，
（2）原式
．
20．若、都是实数，且，求的值．
【解析】根据被开方数大于等于0列式求出，再求出，然后相加即可得解．
解：由题意得，且，
解得且，
所以，，
，
．
21．实数，在数轴上的位置如图所示，化简．
【解析】先根据数轴得出，，再根据和绝对值的性质化简可得．
解：由数轴知，
，，
则原式
．
22．已知，，，，
（1）化简这五个数；
（2）从这五个数中取出四个，通过适当运算后使得结果为2．请列式并写出运算过程．
【解析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂、化简和算术平方根进行化简即可；
（2）可以列式为，然后代值计算．
解：（1），，，，；
（2）
．
23．星期天， 小奥和小运做了一个小游戏 ． 小奥说： “你现在学习了‘二次根式’， 若代表的整数部分，代表它的小数部分， 我这个纸包里的钱数是元， 你猜一下这个纸包里的钱数是多少？若猜对了， 包里的钱全给你 ． ”请你帮小运猜一下纸包里到底有多少钱？
【解析】对的值的范围初步估算， 由，即，可知的整数部分为 3 ，小数部分为，代值运算即可 ．
解： 结论： 1 元 ．
因为，所以的整数部分是 3 ，即，
从而小数部分为，
所以．
答： 纸包里只有一元钱 ．
24．阅读下列解题过程：，，请回答下列回题：
（1）观察上面的解答过程，请写出 ； ；
（2）利用上面的解法，请化简：．
【解析】（1）直接利用已知将各式化简进而得出即可；
（2）利用已知首先将原式化简，进而得出即可．
解：（1）；
；
故答案为：；；
（2）由已知可得：原式
．
25．阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦九韶公式”完成下列问题：
如图，在中，，，．
（1）求的面积；
（2）设边上的高为，边上的高为，求的值．
【解析】（1）根据题意先求，再将，，，的值代入题中所列面积公式计算即可；
（2）按照三角形的面积等于底高分别计算出和的值，再求和即可．
【解答】解．（1）根据题意知
所以
的面积为；
（2）
，
．
八年级数学（下）学期 第 16章 二次根式 单元测试卷
一、选择题（共 10小题）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是 ( )
A． 5 B． 12 C． 4 D． 0.01
2．下列各式的运算或变形中，用到分配律的是 ( )
A． 2 3 3 2 6 6? ? B． 2 2 2(3 2) 3 ( 2)? ?
C．由 3 6x ? 得 2x ? D． 3 2 2 2 5 2? ?
3．计算 2( 4)? 的结果是 ( )
A． 4? B． 4? C． 4? D．16
4．将 3
5
化简的结果为 ( )
A． 15
5
B． 3
15
C． 3 15
5
D． 15
15
5．在代数式 1
3x ?
和 3x ? 中， x均可以取的值为 ( )
A．9 B．3 C．0 D． 2?
6．计算 2 4( )a a?? 的结果是 ( )
A．0 B． 22a C． 4a D． 4a?
7．若 1 2a ? ? ， 1 2b ? ? ，则代数式 2 2 2a b ab? ? 的值为 ( )
A． 2 2 B． 2 2? C．2 D． 2?
8．按如图所示的程序计算，若开始输入的 n值为 2 ，则最后输出的结果是 ( )
A．14 B．16 C．8 5 2? D．14 2?
9．如图，在数学课上，老师用 5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长
方形，已知小长方形的长为 27、宽为 12，下列是四位同学对该大长方形的判断，其
中不正确的是 ( )
A．大长方形的长为 6 3 B．大长方形的宽为5 3
C．大长方形的周长为11 3 D．大长方形的面积为 90
10 ． 已 知 2{ , , }max x x x 表 示 取 三 个 数 中 最 大 的 那 个 数 ， 例 如 ： 当 9x ? 时 ，
2 2{ , , } { 9,9 ,9} 81max x x x max? ? ．当 2 1{ , , }
2
max x x x ? 时，则 x的值为 ( )
A． 1
4
? B． 1
16
C． 1
4
D． 1
2
二．填空题（共 8小题）
11．计算： 45 20? ? ．
12．当 x ? 时， 2 4x ? 的值最小．
13．要使式子 1
1
a
a
?
?
有意义，则 a的取值范围是 ．
14．化简： 2 2( 3 ) ( 4)x x? ? ? 的结果为 ．
15．已知 0a ? ， 0b ? ，化简 2( )a b? ? ．
16．实数 a、 b在数轴上的位置如图所示，化简 2 2( )b a b? ? ? ．
17．已知最简二次根式 4 3a b? 与 1 2 6b a b? ? ? 可以合并，则 a b? 的值为 ．
18．观察与思考：形如 7 2 6? 的根式叫做复合二次根式，把 7 2 6? 变成
2 2( 6) 2 6 1 ( 6 1) 6 1? ? ? ? ? ? 叫复合二次根式的化简，请化简 12 2 35? ? ．
三．解答题（共 7小题）
19．计算
（1） 13 48 9 3 12
3
? ?
（2） ( 48 20) ( 12 5)? ? ?
20．若 x、 y都是实数，且 3 3 8y x x? ? ? ? ? ，求 x y? 的值．
21．实数 a， b在数轴上的位置如图所示，化简 2 2 2( 1) ( )a b a b? ? ? ? ．
22．已知 11( )
3
a ?? ， 1
2 1
b ?
?
， 0(2014 )c ?? ? ， |1 2 |d ? ? ， 4e ?
（1）化简这五个数；
（2）从这五个数中取出四个，通过适当运算后使得结果为 2．请列式并写出运算过程．
23．星期天， 小奥和小运做了一个小游戏 ． 小奥说： “你现在学习了‘二次根式’， 若
x代表 10的整数部分，y 代表它的小数部分，我这个纸包里的钱数是 ( 10 )x y? 元，你
猜一下这个纸包里的钱数是多少？若猜对了， 包里的钱全给你 ． ”请你帮小运猜一下纸
包里到底有多少钱？
24．阅读下列解题过程：
1 1 ( 5 4) 5 4
5 4 ( 5 4)( 5 4)
?
? ? ?
? ? ?
，
1 1 ( 6 5) 6 5
6 5 ( 6 5)( 6 5)
?
? ? ?
? ? ?
，
请回答下列回题：
（1）观察上面的解答过程，请写出 1
2 1
?
?
；
1
1n n
?
? ?
；
（2）利用上面的解法，请化简： 1 1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 98 99 99 100
? ? ??? ?
? ? ? ? ?
．
25．阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为 a， b ， c ，记
2
a b cp ? ?? ，那么这个三角形的面积
( )( )( )S p p a p b p c? ? ? ? ．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接
求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又
被称为“海伦秦 ? ? ?九韶公式”完成下列问题：
如图，在 ABC? 中， 7a ? ， 5b ? ， 6c ? ．
（1）求 ABC? 的面积；
（2）设 AB边上的高为 1h ， AC 边上的高为 2h ，求 1 2h h? 的值．
参考答案
一．选择题（共 10小题）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是 ( )
A． 5 B． 12 C． 4 D． 0.01
解： A、 5 是最简二次根式，故本选项符合题意；
B、 12 2 3? ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、 4 2? ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、 0.01 0.1? ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选： A．
2．下列各式的运算或变形中，用到分配律的是 ( )
A． 2 3 3 2 6 6? ? B． 2 2 2(3 2) 3 ( 2)? ?
C．由 3 6x ? 得 2x ? D． 3 2 2 2 5 2? ?
解： 2 3 3 2 6 6? ? ，利用的乘法的结合律，故选项 A不符合题意；
2 2 2(3 2) 3 ( 2)? ? ，用的是积的乘方，故选项 B不符合题意；
由 3 6x ? 得 2x ? ，用到的是除法，故选项C不符合题意；
3 2 2 2 5 2? ? ，用到的是乘法分配律，故选项D符合题意；
故选：D．
3．计算 2( 4)? 的结果是 ( )
A． 4? B． 4? C． 4? D．16
解： 2( 4) | 4 | 4? ? ? ? ，
故选：C．
4．将 3
5
化简的结果为 ( )
A． 15
5
B． 3
15
C． 3 15
5
D． 15
15
解：
2
3 3 5 15
55 ( 5)
?
? ? ，
故选： A．
5．在代数式 1
3x ?
和 3x ? 中， x均可以取的值为 ( )
A．9 B．3 C．0 D． 2?
解：由题意知， 3 0x ? ? 且 3 0x ? ? ，
解得： 3x ? ，
故选： A．
6．计算 2 4( )a a?? 的结果是 ( )
A．0 B． 22a C． 4a D． 4a?
解：原式 2 2 4a a a? ?? ．
故选：C．
7．若 1 2a ? ? ， 1 2b ? ? ，则代数式 2 2 2a b ab? ? 的值为 ( )
A． 2 2 B． 2 2? C．2 D． 2?
解： 1 2a ? ?? ， 1 2b ? ? ，
2 2a b? ? ? ? ，
?原式 2( )a b? ?
| |a b? ?
| 2 2 |? ?
2 2? ．
故选： A．
8．按如图所示的程序计算，若开始输入的 n值为 2 ，则最后输出的结果是 ( )
A．14 B．16 C．8 5 2? D．14 2?
【解析】根据给出的运算程序计算即可．
解：当 2n ? 时， ( 1) 2 2 15n n ? ? ? ? ，
当 2 2n ? ? 时， ( 1) 8 5 2 15n n ? ? ? ? ，
故选：C．
9．如图，在数学课上，老师用 5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长
方形，已知小长方形的长为 27、宽为 12，下列是四位同学对该大长方形的判断，其
中不正确的是 ( )
A．大长方形的长为 6 3 B．大长方形的宽为5 3
C．大长方形的周长为11 3 D．大长方形的面积为 90
解：?小长方形的长为 27 3 3? 、宽为 12 2 3? ，
?大长方形的长为： 3 3 3 3 6 3? ? ，大长方形的宽为： 3 3 2 3 5 3? ? ，
大长方形的周长是： (6 3 5 3) 2 22 3? ? ? ，大长方形的面积为： 6 3 5 3 90? ? ，
故选项C错误，选项 A、 B、 D正确；
故选：C．
10 ． 已 知 2{ , , }max x x x 表 示 取 三 个 数 中 最 大 的 那 个 数 ， 例 如 ： 当 9x ? 时 ，
2 2{ , , } { 9,9 ,9} 81max x x x max? ? ．当 2 1{ , , }
2
max x x x ? 时，则 x的值为 ( )
A． 1
4
? B． 1
16
C． 1
4
D． 1
2
解：当 2
1{ , , }
2
max x x x ? 时，
①
1
2
x ? ，解得： 1
4
x ? ，此时 2x x x? ? ，符合题意；
② 2
1
2
x ? ，解得： 2
2
x ? ；此时 2x x x? ? ，不合题意；
③
1
2
x ? ， 2x x x? ? ，不合题意；
故只有
1
4
x ? 时， 2 1{ , , }
2
max x x x ? ．
故选：C．
二．填空题（共 8小题）
11．计算： 45 20? ? 3
2
．
【解析】直接利用二次根式除法运算法则计算得出答案．
解：原式
45 9 3
20 4 2
? ? ? ．
故答案为：
3
2
．
12．当 x ? 2 时， 2 4x ? 的值最小．
【解析】根据二次根式的“双重非负性”即“根式内的数或式大于等于零”和“根式的计
算结果大于等于零”解答．
解：由题意可知 2 4 0x ? ? ，当 2x ? 时， 2 4x ? 取得最小值 0
故答案是：2．
13．要使式子 1
1
a
a
?
?
有意义，则 a的取值范围是 1a ?? 且 1a ? ．
【解析】根据分子的被开方数不能为负数，分母不能为零，可得答案．
解：由题意，得
1 0a ? ? ， 1 0a ? ? ，
解得 1a ?? 且 1a ? ，
故答案为： 1a ?? 且 1a ? ．
14．化简： 2 2( 3 ) ( 4)x x? ? ? 的结果为 1? ．
【解析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
解：由题意可得： 3 0x? ? ，则 3x? ，
故 4 0x ? ? ，
原式 3 (4 )x x? ? ? ?
1? ? ．
故答案为： 1? ．
15．已知 0a ? ， 0b ? ，化简 2( )a b? ? b a? ．
【解析】根据已知得到 0b a? ? ，根据二次根式的性质化简即可．
解： 0a ?? ， 0b ? ，
0b a? ? ? ，
? 2( ) | |a b a b b a? ? ? ? ? ，
故答案为： b a? ．
16．实数 a、 b在数轴上的位置如图所示，化简 2 2( )b a b? ? ? a ．
【解析】由数轴可得： 1 1a b? ? ? ? ，化简即可．
解：由数轴可得： 1 1a b? ? ? ? ，
? 2 2( ) ( )b a b b b a a? ? ? ? ? ? ，
故答案为 a．
17．已知最简二次根式 4 3a b? 与 1 2 6b a b? ? ? 可以合并，则 a b? 的值为 2 ．
【解析】根据同类二次根式的概念列出方程组，解方程组求出 a、b，计算即可．
解：由题意得，
1 2
4 3 2 6
b
a b a b
? ??
? ? ? ? ??
，
解得，
1
1
a
b
??
? ??
，
则 1 1 2a b? ? ? ? ，
故答案为：2．
18．观察与思考：形如 7 2 6? 的根式叫做复合二次根式，把 7 2 6? 变成
2 2( 6) 2 6 1 ( 6 1) 6 1? ? ? ? ? ? 叫复合二次根式的化简，请化简 12 2 35? ?
7 5? ．
【解析】直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
解： 212 2 35 ( 7 5)? ? ?
7 5? ? ．
故答案为： 7 5? ．
三．解答题（共 7小题）
19．计算
（1） 13 48 9 3 12
3
? ?
（2） ( 48 20) ( 12 5)? ? ?
【解析】（1）首先对每一项二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可，
（2）首先对每一项二次根式进行化简，然后去掉括号，进行合并同类二次根式即可．
解：（1）原式 12 3 3 3 6 3? ? ?
15 3? ，
（2）原式 4 3 2 5 2 3 5? ? ? ?
6 3 5? ? ．
20．若 x、 y都是实数，且 3 3 8y x x? ? ? ? ? ，求 x y? 的值．
【解析】根据被开方数大于等于 0列式求出 x，再求出 y，然后相加即可得解．
解：由题意得， 3 0x ? ? 且 3 0x? ? ，
解得 3x? 且 3x? ，
所以， 3x ? ，
8y ? ，
3 8 11x y? ? ? ? ．
21．实数 a， b在数轴上的位置如图所示，化简 2 2 2( 1) ( )a b a b? ? ? ? ．
【解析】先根据数轴得出 1 0b ? ? ， 0a b? ? ，再根据 2 | |a a? 和绝对值的性质化简可得．
解：由数轴知 1a b? ? ，
1 0b? ? ? ， 0a b? ? ，
则原式 | | | 1 | | |a b a b? ? ? ? ?
( 1) ( )a b b a? ? ? ? ? ?
1a b b a? ? ? ? ? ?
1 2b? ? ．
22．已知 11( )
3
a ?? ， 1
2 1
b ?
?
， 0(2014 )c ?? ? ， |1 2 |d ? ? ， 4e ?
（1）化简这五个数；
（2）从这五个数中取出四个，通过适当运算后使得结果为 2．请列式并写出运算过程．
【解析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂、化简和算术平方根进行化简即可；
（2）可以列式为 1 ( )
2
a b d c? ? ? ，然后代值计算．
解：（1） 11( ) 3
3
a ?? ? ， 1 2 1
2 1
b ? ? ?
?
， 0(2014 ) 1c ?? ? ? ， |1 2 | 2 1d ? ? ? ? ， 2e ? ；
（2） 1 ( )
2
a b d c? ? ?
1 (3 2 1 2 1 1)
2
? ? ? ? ? ? ?
2? ．
23．星期天， 小奥和小运做了一个小游戏 ． 小奥说： “你现在学习了‘二次根式’， 若
x代表 10的整数部分，y 代表它的小数部分， 我这个纸包里的钱数是 ( 10 )x y? 元，
你猜一下这个纸包里的钱数是多少？若猜对了， 包里的钱全给你 ． ”请你帮小运猜一
下纸包里到底有多少钱？
【解析】对 10的值的范围初步估算， 由 9 10 16? ? ，即3 10 4? ? ，可知 10的
整数部分为 3 ，小数部分为 10 3? ，代值运算即可 ．
解： 结论： 1 元 ．
因为3 10 4? ? ，所以 10的整数部分是 3 ，即 3x ? ，
从而小数部分为 10 3y ? ? ，
所以 2( 10 ) ( 10 3)( 10 3) ( 10) 9 1x y? ? ? ? ? ? ? ．
答： 纸包里只有一元钱 ．
24 ． 阅 读 下 列 解 题 过 程 ： 1 1 ( 5 4) 5 4
5 4 ( 5 4)( 5 4)
?
? ? ?
? ? ?
，
1 1 ( 6 5) 6 5
6 5 ( 6 5)( 6 5)
?
? ? ?
? ? ?
，请回答下列回题：
（1）观察上面的解答过程，请写出 1
2 1
?
?
2 1? ； 1
1n n
?
? ?
；
（2）利用上面的解法，请化简： 1 1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 98 99 99 100
? ? ??? ?
? ? ? ? ?
．
【解析】（1）直接利用已知将各式化简进而得出即可；
（2）利用已知首先将原式化简，进而得出即可．
解：（1） 1 2 1 2 1
2 1 ( 2 1)( 2 1)
?
? ? ?
? ? ?
；
1 1 1
1 ( 1 )( 1 )
n n n n
n n n n n n
? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
；
故答案为： 2 1? ； 1n n? ? ；
（2）由已知可得：原式 2 1 3 2 4 3 99 98 100 99? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?
100 1? ?
9? ．
25．阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为 a， b ， c ，记
2
a b cp ? ?? ，那么这个三角形的面积
( )( )( )S p p a p b p c? ? ? ? ．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接
求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又
被称为“海伦秦 ? ? ?九韶公式”完成下列问题：
如图，在 ABC? 中， 7a ? ， 5b ? ， 6c ? ．
（1）求 ABC? 的面积；
（2）设 AB边上的高为 1h ， AC 边上的高为 2h ，求 1 2h h? 的值．
【解析】（1）根据题意先求 p，再将 p， a， b， c的值代入题中所列面积公式计算即可；
（2）按照三角形的面积等于 1
2
?底?高分别计算出 1h 和 2h 的值，再求和即可．
【解答】解．（1）根据题意知 9
2
a b cp ? ?? ?
所以 ( )( )( ) 9(9 7)(9 5)(9 6) 6 6S p p a p b p c? ? ? ? ? ? ? ? ?
ABC?? 的面积为 6 6；
（2） 1 2
1 1 6 6
2 2
S ch bh? ? ??
? 1 2
1 16 5 6 6
2 2
h h? ? ? ?
1 2 6h? ? ， 2
12 6
5
h ?
1 2
22 6
5
h h? ? ? ．
