1.如图，在?ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝3，则?ABCD的周长为( C )
A．6 B．8
C．12 D．15
解析：根据平行四边形的性质有AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，所以∠DCA＝∠BAC.又因为AC平分∠DAB，所以∠DAC＝∠BAC＝∠DCA，所以AD＝CD，所以AB＝BC＝AD＝CD，所以该平行四边形的周长为12，故选C.
2．如图所示，在?ABCD中，∠ABE＝∠AEB，AE∥DF，DC是∠ADF的平分线．下列说法正确的是( C )
①BE＝CF；②AE是∠DAB的平分线；③∠DAE＋∠DCF＝120°.
A．① B．①②
C．①②③ D．都不正确
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.
又∵AE∥DF，∴四边形ADFE为平行四边形，∴AD＝EF，
∴BC－EC＝EF－EC，∴BE＝CF，故①正确．
∵四边形ADFE为平行四边形，∴AE＝DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD.
∵∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴DC＝DF.
又∵DC是∠ADF的平分线，∴∠ADC＝∠CDF.
又∵AD∥EF，∴∠ADC＝∠DCF，∴∠DCF＝∠CDF，
∴CF＝DF，∴CF＝DF＝DC，
∴△DCF为等边三角形，∴∠DAE＝∠F＝60°，
∴∠DAE＋∠DCF＝120°，故③正确．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝60°.
又∵∠ABE＝∠AEB，∴∠DAE＝∠ABE＝60°，
∴∠BAE＝60°，∴AE为∠DAB的平分线，故②正确．故选C.
3．如图，在平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，F是AB的中点，AB＝6，AD＝4，则AE∶EF∶BE为( A )
A．4∶1∶2 B．4∶1∶3
C．3∶1∶2 D．5∶1∶2
解析：易得AE＝AD＝4.∵AB＝6，∴BE＝2.又∵点F是AB的中点，∴AF＝AB＝3，∴EF＝1，
∴AE∶EF∶BE＝4∶1∶2，故选A.
4．(2017·黑龙江)在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD的周长是( C )
A．22 B．20
C．22或20 D．18
解析：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE＝∠AEB.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，BC＝BE＋EC，①当BE＝3，EC＝4时，平行四边形ABCD的周长为：2(AB＋AD)＝2(3＋3＋4)＝20.②当BE＝4，EC＝3时，平行四边形ABCD的周长为：2(AB＋AD)＝2(4＋4＋3)＝22.故选C.
5．如图所示，M是?ABCD的一边AD上的任意一点，若△CMB的面积为S，△CDM的面积为S1，△ABM的面积为S2，则下列大小关系正确的是( C )
A．S＞S1＋S2 B．S＜S1＋S2
C．S＝S1＋S2 D．无法确定
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.∵△CMB的面积S＝BC·高，△CDM的面积为S1＝MD·高，△ABM的面积为S2＝AM·高，而它们的高都是等于平行四边形的高，∴S1＋S2＝MD·高＋AM·高＝(MD＋AM)·高＝AD·高＝BC·高＝S，则S、S1、S2的大小关系是S＝S1＋S2.故选C.
6．如图，在?ABCD中，AB、BC、CD的长度分别是2x＋1，3x，x＋4，则?ABCD的周长是32.
解析：由题意，得AB＝CD，∴2x＋1＝x＋4，∴x＝3，∴AB＝7，
BC＝9，∴l?ABCD＝2(AB＋BC)＝2×(7＋9)＝32.
7．如图，?ABCD与?DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为25°.
解析：根据平行四边形的性质可得∠ADC＝180°－∠BAD＝120°，∠EDC＝∠F＝110°，所以∠ADE＝360°－∠ADC－∠EDC＝360°－120°－110°＝130°.又因为?ABCD与?DCFE的周长相等，且AB＝CD＝EF，所以AD＝DE，所以∠DAE＝(180°－∠ADE)＝×(180°－130°)＝25°.
8.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝70°，∠BCA＝45°.
(1)求∠BCD、∠D的度数；
(2)若?ABCD的周长是10 cm，△ABC的周长是8 cm，求AC的长．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠DCA＝∠BAC＝70°，
∴∠BCD＝∠BCA＋∠DCA＝115°.
∵AD∥BC，∴∠D＋∠BCD＝180°，∴∠D＝65°.
(2)∵AB＝CD，AD＝BC，AB＋CD＋AD＋BC＝10 cm，
∴AB＋BC＝5 cm.∵AB＋BC＋AC＝8 cm，∴AC＝3 cm.
9．如图所示，?ABCD的周长为52 cm，AB边的垂直平分线经过点D，垂足为E，?ABCD的周长比△ABD的周长多10 cm.∠BDE＝35°.
(1)求∠C的度数；
(2)求AB和AD的长．
解：(1)∵DE是AB边的垂直平分线，∴∠ADE＝∠BDE＝35°，
∴∠A＝90°－∠ADE＝55°，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠C＝∠A＝55°.
(2)∵DE是AB边的垂直平分线，∴DA＝DB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝DC.
∵?ABCD的周长为52 cm，∴AB＋AD＝26 cm，
∵?ABCD的周长比△ABD的周长多10 cm，
∴52－(AB＋AD＋BD)＝10，∴BD＝16 cm，
∴AD＝16 cm，∴AB＝26－16＝10(cm)．
10.
如图，在?ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE.
(1)求证：△ABC≌△EAD；
(2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠DAE＝∠AEB.
∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B，
∴∠B＝∠DAE，∴△ABC≌△EAD.
(2)解：∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE.
又∵∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB＝∠B，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝60°.
∵∠EAC＝25°，∴∠BAC＝85°.
∵△ABC≌△EAD，∴∠AED＝∠BAC＝85°.
课件24张PPT。第18章
平行四边形 课
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练18．1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的性质(1) 课
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1．如图，在周长为20 cm的?ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为( D )
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
解析：由题意得OE垂直平分BD，∴BE＝DE，∴△ABE的周长＝AB＋AD.又∵l?ABCD＝20 cm，∴l△ABE＝10 cm.故选D.
2．如图所示，在?ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为( C )
A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠2
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF.
选项A，当BE＝DF时，在△ABE和△CDF中，
∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF.
选项B，当BF＝DE时，BF－EF＝DE－EF，即BE＝DF.
在△ABE和△CDF中，
∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，
∴△ABF≌△CDF.
选项C，当AE＝CF时，不能使△ABE≌△CDF.
选项D，当∠1＝∠2时，在△ABE和△CDF中，
∵∠1＝∠2，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF.
综上可知，添加选项A、B、D均能使△ABE≌△CDF，添加选项C不能使△ABE≌△CDF.故选C.
3．如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB⊥AC，连结OE.下列结论：①∠CAD＝30°；②S?ABCD＝AB·AC；③OB＝AB.其中成立的有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝60°，
∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，
∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵AC⊥AB，∴S?ABCD＝AB·AC，故②正确；
∵∠BAC＝90°，∠BAE＝60°，∴∠EAC＝30°，∵∠BCA＝30°，∴AE＝EC，∴AB＝BC，OB＝BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误．故选B.
4．如图所示，平行四边形ABCD的周长是40 cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD与△AOB的周长差是4 cm，则边AB的长是8 cm.
解析：由题意可得解得
5．平行四边形两邻边分别为20和16，若两较长边的距离为6，则两较短边的距离为7.5.
解析：设较短边的距离为x，由平行四边形的面积，得20×6＝16x，解得x＝7.5.
6．如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点M、N，若△CON的面积为3，△DOM的面积为5，则△AOB的面积为8.
解析：由平行四边形的对称性可得，S△DOM＝S△BON＝5，∴S△BOC＝S△CON＋S△BON＝3＋5＝8.由平行四边形的对角线互相平分，可得OA＝OC，∴S△AOB＝S△BOC＝8.
7．在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AB＝8，BC＝10，BO＝x，那么x的取值范围是1＜x＜9.
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，BC＝10，∴AD＝10，则AD－AB＜BD＜AB＋AD，∴2＜BD＜18，∵BO＝DO＝BD，∴x的取值范围是18．(2017·连云港)如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.若∠EAF＝56°，则∠B＝56°.
解析：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
在四边形AECF中，∠C＝360°－∠EAF－∠AEC－∠AFC＝360°－56°－90°－90°＝124°，
在?ABCD中，∠B＝180°－∠C＝180°－124°＝56°.
9.
如图，在?ABCD中，M、N分别是OA、OC的中点．求证：
(1)BM＝DN；
(2)BM∥DN.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC.
∵M、N分别是OA、OC的中点，
∴OM＝ON.又∵∠BOM＝∠DON，
∴△BOM≌△DON，∴BM＝DN.
(2)由(1)知△BOM≌△DON，∴∠MBO＝∠NDO，
∴BM∥DN.
10.
如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别交于点E、F.
求证：△AOE≌△COF.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO.
在△AOE和△COF中，
∵∠EAO＝∠FCO，AO＝OC，∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF.
11.
如图所示，在?ABCD中，AC、BD交于点O，EF过点O，分别交CB、AD的延长线于点E、F，求证：AE＝CF.
证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，OB＝OD，
∴∠DFO＝∠BEO，又有∠BOE＝∠DOF，
在△BOE和△DOF中，
∵∠BEO＝∠DFO，∠BOE＝∠DOF，OB＝OD，
∴△BOE≌△DOF(A.A.S)，
∴BE＝DF.在?ABCD中，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∵BE＝DF，∠ABE＝∠CDF，AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF(S.A.S.)，∴AE＝CF.
课件29张PPT。第18章
平行四边形 课
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练18．1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形的性质(2) 课
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1．以不在同一条直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作( B )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
解析：如图，以A、B、C为顶点作平行四边形，最多可作3个．故选B.
2．如图所示，在四边形ABCD中，点E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF，添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是( D )
A．AD＝BC B．CD＝BF
C．∠A＝∠C D．∠F＝∠CDE
解析：若添加∠F＝∠CDF，则CD∥AB.又∵E是CB的中点，∴CE＝BE.
又∵∠CED＝∠BEF，∴△CED≌△BEF，∴BF＝CD.
又∵BF＝AB，∴CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．故选D.
3．如图，将?ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是( C )
A．AF＝EF B．AB＝EF
C．AE＝AF D．AF＝BE
解析：由折叠可知BE＝EF，∠AEB＝∠AEF.
又∵AD∥BC，∴∠FAE＝∠AEB，
∴∠AEF＝∠FAE，∴AF＝EF.
又∵BE＝EF，∴AF綊BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴A、B、D正确．故选C.
4．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连结AD、CD.若∠B＝65°，则∠ADC的大小为65度．
解析：∵AD＝BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠B＝65°.
5．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件：AF＝CE(答案不唯一)(只填一个即可)，使四边形AECF是平行四边形．
6．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6 cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，P以1 cm/s的速度由A向D运动，Q以2 cm/s的速度由C向B移动，2s后四边形ABQP成为平行四边形．
解析：设运动t s后四边形ABQP是平行四边形，∴AP＝BQ，∵AP＝t，BQ＝6－2t，∴t＝6－2t，解得t＝2.
7.如图，在?ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF.
求证：(1)AE＝CF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF(S.A.S.)．∴AE＝CF.
(2)∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF.
∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．
8.
如图，在?ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD＝CB.
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴DE∥BF，且DE＝AD，BF＝BC.
∴DE＝BF.∴四边形BEDF是平行四边形．∴BE＝DF.
9.
如图所示，将?ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连结BE.
(1)求证：四边形BCED′是平行四边形；
(2)若BE平分∠ABC，求证：AB2＝AE2＋BE2.
证明：(1)将?ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，
∴∠DAE＝∠D′AE，
∠DEA＝∠D′EA，DE＝D′E，DA＝D′A.
∵DE∥AD′，∴∠DEA＝∠EAD′，
∴∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，
∴DE＝DA＝AD′＝D′E，
∴四边形DAD′E是平行四边形，
∴DE＝AD′.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，
∴CE∥D′B，CE＝D′B，
∴四边形BCED′是平行四边形．
(2)∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠EBA.
∵AD∥BC，∴∠DAB＋∠CBA＝180°.
∵∠DAE＝∠BAE，∴∠EAB＋∠EBA＝90°，
∴∠AEB＝90°，∴AB2＝AE2＋BE2.
课件24张PPT。第18章
平行四边形 课
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练18．2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定(1)课
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1．关于四边形ABCD：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC和BD相等．以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：①符合平行四边形的定义，故①正确；②两组对边分别相等，符合平行四边形的判定条件，故②正确；③由一组对边平行且相等，符合平行四边形的判定条件，故③正确；④对角线互相平分的四边形是平行四边形，故④错误．所以正确的结论有三个：①②③，故选C.
2．若以A(－0.5,0)、B(2,0)、C(0,1)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在( C )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：画图即可．故选C.
3．下面给出的是四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数比，其中能判断出四边形是平行四边形的是( B )
A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2
C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1
解析：因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以B正确．
4．(2017·孝感)如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB＝60°，AB＝DE，则下列结论成立的个数是( D )
①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF＝CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴∠EFA＝∠FED＝∠FAB＝∠ABC＝120°，
∵∠DAB＝60°，
∴∠DAF＝60°，
∴∠EFA＋∠DAF＝180°，∠DAB＋∠ABC＝180°，
∴AD∥EF∥CB，故②正确，
∴∠FED＋∠EDA＝180°，
∴∠EDA＝∠ADC＝60°，
∴∠EDA＝∠DAB，
∴AB∥DE，故①正确，
∵∠FAD＝∠EDA，∠CDA＝∠BAD，EF∥AD∥BC，
∴四边形EFAD，四边形BCDA是等腰梯形，∴AF＝DE，AB＝CD，
∵AB＝DE，∴AF＝CD，故③正确，
连结CF与AD交于点O，连结DF、AC、AE、DB、BE.
∵∠CDA＝∠DAF，∴AF∥CD，AF＝CD，
∴四边形AFDC是平行四边形，故④正确，同法可证四边形AEDB是平行四边形，
∴AD与CF，AD与BE互相平分，
∴OF＝OC，OE＝OB，OA＝OD，
∴六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形，故⑤正确，故选D.
5．如图，在?ABCD中，E、F是对角线AC上的两点且AE＝CF，在①BE＝DF；②BE∥DF；③AB＝DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE＝S△ABE；⑥AF＝CE这些结论中正确的是①②④⑤⑥.
解析：如图，连结BD交AC于点O，过D作DM⊥AC于点M，过B作BN⊥AC于点N.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO＝BO，OA＝OC.
∵AE＝CF，∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF，BE∥DF，∴①正确；②正确；④正确．
根据已知不能推出AB＝DE，∴③错误．
∵BN⊥AC，DM⊥AC，∴∠BNO＝∠DMO＝90°.
在△BNO和△DMO中，
∵∠BNO＝∠DMO，∠BON＝∠DOM，OB＝OD，
∴△BNO≌△DMO，∴BN＝DM.
∵S△ADE＝·AE·DM，S△ABE＝·AE·BN，
∵S△ADE＝S△ABE，∴⑤正确．
∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，
∴AF＝CE，∴⑥正确．故答案为①②④⑤⑥.
6．若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14 cm，则当OA＝7cm时，四边形ABCD是平行四边形．
解析：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
7．如图，已知AC平分∠BAD，∠1＝∠2，AB＝DC＝5，则BC＝5.
解析：∵AC平分∠BAD，∴∠1＝∠BAC.又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BAC，∴AB∥CD.又∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD.∵∠1＝∠2，∴AD＝DC＝5，∴BC＝5.
8．如图，将△ABC绕AC边的中点O旋转180°后与原三角形拼成的四边形一定是平行四边形．
解析：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
9.如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1＝∠2.
(1)求证：BE＝DF.
(2)求证：AF∥CE.
证明：(1)
连结AC交BD于O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF，
∴OB－OE＝OD－OF，∴BE＝DF.
(2)∵OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE.
10．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF.请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．
猜想：
证明：
解：猜想：BE∥DF，BE＝DF.
证明：如图，连结BD，交AC于点O，
连结DE、BF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，AO＝CO.
又∵AF＝CE，∴AE＝CF，
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE∥DF，BE＝DF.
11．如图，四边形ABCD为平行四边形，M、N分别从D到A，从B到C运动，速度相同，E、F分别从A到B，从C到D运动，速度相同，它们之间用绳子连紧．
(1)没有出发时，这两条绳子有何关系？
(2)若同时出发，这两条绳子还有(1)中的结论吗？为什么？
解：(1)没有出发时，这两条绳子相互平分．理由如下：
如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，
即EF与MN相互平分．
(2)若同时出发，这两条绳子还有(1)中的结论．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C.
又∵M、N分别从D到A，从B到C运动，速度相同，E、F分别从A到B，从C到D运动，速度相同，如图，
∴AE＝CF，AM＝CN.
∴在△AEM与△CFN中，
∵AE＝CF，∠A＝∠C，AM＝CN，
∴△AEM≌△CFN(S.A.S.)，
∴EM＝FN.
同理EN＝MF，
∴四边形ENFM为平行四边形，∴EF与MN相互平分．
课件26张PPT。第18章
平行四边形 课
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练18．2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定(2) 课
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Thanks! 第18章评估测试卷
(时间：120分钟 分值：120分)
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．在?ABCD中，AD＝3 cm，AB＝2 cm，则?ABCD的周长等于( A )
A．10 cm B．6 cm
C．5 cm D．4 cm
解析：∵平行四边形的对边相等，∴周长为2(AD＋AB)＝10 cm，故选A.
2．?ABCD的周长为60，对角线相交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长小8，则AB、BC的长分别为( C )
A．18,10 B．20,12
C．19,11 D．34,26
解析：由平行四边形的对边相等，对角线互相平分得解得AB＝19，BC＝11，故选C.
3．如图，在?ABCD中，CE⊥AB，点E为垂足，如果∠D＝55°，则∠BCE＝( B )
A．55° B．35°
C．25° D．30°
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝55°.又∵CE⊥AB，∴∠BCE＝90°－∠B＝90°－55°＝35°.故选B.
4．平行四边形的两邻角的角平分线相交所成的角为( B )
A．锐角 B．直角
C．钝角 D．不能确定
解析：∵平行四边形的邻角互补，∴两邻角的平分线相交所成的角为直角．故选B.
5．平行四边形的一边长为10 cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是( B )
A．4 cm和6 cm B．10 cm和12 cm
C．8 cm和10 cm D．6 cm和8 cm
解析：平行四边形的对角线各自的一半与已知边组成三角形，利用三角形的三边关系可以得出结论．故选B.
6．如图所示，在?ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE、EC的长度分别为( B )
A．2和3 B．3和2
C．4和1 D．1和4
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝5，BC∥AD，∴∠BEA＝∠EAD.又∵∠EAD＝∠BAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴BE＝AB＝3，∴EC＝BC－BE＝5－3＝2.故选B.
7．如图，在?ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E、F是AC上两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形( B )
A．OE＝OF B．OE＝BF
C．∠ADE＝∠CBF D．∠ABE＝∠CDF
解析：利用平行四边形的判定定理判断．故选B.
8．在给定的条件下，能画出平行四边形的是( B )
A．以60 cm为一条对角线，20 cm,34 cm为两邻边
B．以20 cm,36 cm为对角线，12 cm为一边
C．以6 cm为一条对角线，3 cm,10 cm为两邻边
D．以6 cm,10 cm为对角线，8 cm为一边
解析：利用平行四边形的对角线互相平分和三角形三边之间的关系可得10＋12＞18，∴B正确．
二、填空题(每小题3分，共18分)
9．在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC＝16，BD＝10，AB＝10，则△OAB的周长为23.
解析：∵平行四边形的对角线互相平分，∴周长l△OAB＝10＋8＋5＝23.
10．平行四边形相邻两边长之比为3∶5，它的周长为32 cm，则这个平行四边形较长的边长为10 cm.
解析：设相邻两边长分别为3x cm,5x cm，∴2(3x＋5x)＝32，∴x＝2，∴5x＝10.
11．若一个平行四边形一个内角的平分线把一条边分成2 cm和3 cm的两条线段，则该平行四边形的周长是14 cm或16 cm.
解析：该平行四边形的周长为(2＋3＋2)×2＝14或(2＋3＋3)×2＝16.
12.如图，在?ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于点M、N.给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM＝AC；③ME＝NF；④S△AMB＝S△ABC.其中正确的结论是①③(只填序号)．
13．(2017·牡丹江)如图，点E、F分别放在?ABCD的边BC、AD上，AC、EF交于点O，请你添加一个条件(只添一个即可)，使四边形AECF是平行四边形，你所添加的条件是AF＝CE(答案不唯一)．
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥CE，
∵AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形．(答案不唯一)
14.
如图，已知直线a∥b，点A、C分别在直线a、b上，且AB⊥b，CD⊥a，垂足分别为点B、D，有以下五种说法：①点A到直线b的距离为线段AB的长；②点D到直线b的距离为线段CD的长；③a、b两直线之间的距离为线段AB的长；④a、b两直线之间的距离为线段CD的长；⑤AB＝CD.其中正确的有①②③④⑤(只填相应的序号)．
解析：两条平行线之间垂线段的长度为两条平行线之间的距离．
三、解答题(本大题共10小题，共78分)
15．(6分)
如图，在?ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF.
求证：∠BAE＝∠CDF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC.∴∠B＝∠DCF.
∵在△ABE和△DCF中，
AB＝DC，∠B＝∠DCF，BE＝CF，
∴△ABE≌△DCF(S.A.S.)．∴∠BAE＝∠CDF.
16．(6分)
如图，?ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且BE＝DF.
(1)图中共有3对全等三角形；
(2)请写出其中一对全等三角形：________≌________，并加以证明．
解：①△ABE △CDF
证明：在?ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF.
又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(S.A.S.)．
②△ADE △CBF
证明：在?ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵BE＝DF，∴BD－BE＝BD－DF，
即DE＝BF，
∴△ADE≌△CBF(S.A.S.)．
③△ABD △CDB
证明：在?ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，
又∵BD＝DB，∴△ABD≌△CDB(S.S.S.)．(答案不唯一，①～③写出一个即可)
17．(6分)
(2017·新疆)如图，点C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE.
(1)求证：△ACD≌△CBE；
(2)连结DE，求证：四边形CBED是平行四边形．
证明：(1)∵点C是AB的中点，
∴AC＝BC；在△ACD与△CBE中，
∵AD＝CE，CD＝BE，AC＝CB，
∴△ACD≌△CBE.
(2)连结DE，如图：
∵△ADC≌△CEB，
∴∠ACD＝∠CBE，
∴CD∥BE，
又∵CD＝BE，
∴四边形CBED是平行四边形．
18．(7分)
如图，在?ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠ABC、∠BCD的平分线分别交AD于点F、E，求EF的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝DC，AD＝BC，∴∠2＝∠3.
∵BF平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB＝AF.同理，ED＝DC.
∵AB＝DC＝2，∴AF＝ED＝2.
∵AD＝BC＝3，∴EF＝AF＋ED－AD＝2＋2－3＝1.
19．(7分)
如图，在?ABCD中，E、F分别为边AD、BC上的点，AE＝CF，且AF与BE相交于点M，EC与DF相交于点N.
求证：MFNE是平行四边形．
证明：在?ABCD中，AD∥BC，AD＝BC.
∵AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥CE.
∴MF∥EN.同理，BE∥DF.
∴ME∥FN，
∴四边形MFNE是平行四边形．
20．(7分)
如图，在?ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连结GE、EH、HF、FG.求证：四边形GEHF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB綊CD.
∴∠GBE＝∠HDF.
∵AG＝CH，∴AB＋AG＝CD＋CH，
即BG＝DH.
又∵BE＝DF，∴△GBE≌△HDF，
∴GE＝HF，∠GEB＝∠HFD，
∴∠GEF＝∠HFE，∴GE∥HF，
∴四边形GEHF是平行四边形．
21．(8分)
(2017·咸宁)如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC.
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)连结AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
证明：(1)∵BE＝FC，∴BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，
∵AB＝DF，AC＝DE，BC＝FE，
∴△ABC≌△DFE.
(2)由(1)知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC＝∠DFE，∴AB∥DF，
∵AB＝DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
22．(9分)
如图所示，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF.
(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；
(2)若BF＝EF，求证：AE＝AD.
证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°.
∵∠EFB＝60°，∴∠B＝∠EFB，∴EF∥DC.
∵DC＝EF，∴四边形EFCD是平行四边形．
(2)如图，连结BE.
∵BF＝EF，∠EFB＝60°，
∴△EFB是等边三角形，
∴EB＝EF，∠EBF＝60°.
∵DC＝EF，∴EB＝DC.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠EBF＝∠ACB，∴△AEB≌△ADC，
∴AE＝AD.
23．(10分)如图，在?ABCD中，点E、F分别在AD、CB的延长线上，且∠1＝∠2，DF交AB于点G，BE交CD于点H.求证：EH＝FG.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD.
又∵∠2＝∠1，∴△ADG≌△CBH，
∴AG＝CH.
又∵AB＝CD，∴AB－AG＝CD－CH，即BG＝DH.
∵AD∥BC，∴∠E＝∠1，∠F＝∠2，∴∠E＝∠F.
∵∠ADC＝∠CBA，
∴∠HDE＝∠GBF.
在△DEH和△BFG中，
∵∠E＝∠F，∠HDE＝∠GBF，DH＝BG，
∴△DEH≌△BFG，∴EH＝FG.
24．(12分)
如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN；
(2)若AC⊥DN，AN＝2MN，MN＝1，求四边形ADCN的面积．
(1)证明：如图，∵CN∥AB，∴∠1＝∠2.
在△AMD和△CMN中，
∵∠1＝∠2，MA＝MC，∠AMD＝∠CMN(对顶角相等)，
∴△AMD≌△CMN(A.S.A.)，
∴AD＝CN.
又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，
∴CD＝AN.
(2)解：∵AC⊥DN，AN＝2MN，MN＝1，
∴AN＝2MN＝2，
∴AM＝＝，
∴S△AMN＝AM·MN＝××1＝.
∵四边形ADCN是平行四边形，
∴S四边形ADCN＝4S△AMN＝2.
