1．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则AB的长为( D )
A. cm B．2 cm C．2 cm D．4 cm
解析：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AC＝4 cm.故选D.
2．如图，矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为( D )
A．14 B．16 C．20 D．28
解析：由AB2＝AC2－BC2，解得AB＝6，把小矩形的各条边转化到大矩形的边上，五个小矩形的周长之和为大矩形的周长，即2(AB＋BC)＝28.故选D.
3．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2，它们的大小关系是( B )
A．S1>S2 B．S1＝S2 C．S1解析：矩形ABCD的面积S1＝2S△ABC，且S2＝2S△ABC，
∴S1＝S2，故选B.
4．如图，在矩形ABCD中，E为BC中点，作∠AEC的平分线交AD于点F.若AB＝6，AD＝16，则FD的长度为( C )
A．4 B．5 C．6 D．8
解析：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝16.又∵E是BC的中点，∴BE＝8.由勾股定理，可得AE＝＝10.又∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠CEF.∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF，∴∠AEF＝∠AFE，∴AF＝AE＝10，∴FD＝6.故选C.
5．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝110°，则α＝20°.
解析：由矩形及旋转的性质，知∠B＝∠D＝∠D′＝90°.由对顶角相等及四边形内角和为360°，∠1＝110°，可得∠BAD′＝70°，旋转角α＝∠DAD′＝90°－70°＝20°.
6．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连结DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连结AM、CN、MN，若AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为3.
解析：在Rt△ADE中，M为DE中点，故S△AEM＝S△ADM，所以S△AEM＝S△AED，同理S△BNC＝S△BFC，S?DMNF＝S?BEDF，所以S阴影＝S矩形ABCD＝AB·BC＝×2×3＝3.
7．如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连结PA、PB、PC、PD，得到△PDA、△PAB、△PBC、△PCD，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1＋S2＝S3＋S4；
②S2＋S4＝S1＋S3；
③若S3＝2S1，则S4＝2S2；
④若S1＝S2，则P点在矩形的对角线上．
正确的是②④.
解析：过点P分别向AD、BC作垂线段，两个三角形的面积之和等于矩形面积的一半，同理，过点P分别向AB、CD作垂线段，两个三角形的面积之和等于矩形面积的一半．∴S1＋S3＝S2＋S4.又∵S1＝S2，∴S2＋S3＝S1＋S4＝S矩形，∴P在矩形ABCD的对角线上．所以成立的答案是②④.
8.
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝6 cm，求矩形的对角线长和面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，
OB＝OD＝BD，∴OA＝OB.
∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AO＝BO＝AB＝6 cm，
∴AC＝BD＝12 cm，
即矩形ABCD的对角线长为12 cm.
在Rt△ABD中，
∵AD＝＝＝6(cm)，
∴S矩形ABCD＝AB·AD＝6×6＝36(cm2)．
9.
如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为8和15，求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和．
解：如图，连结OP.过点P作PE⊥AC，
PF⊥BD.
∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∠ABC＝90°，S△AOD＝S矩形ABCD，
∴OA＝OD＝AC.
∵AB＝8，BC＝15，
∴AC＝17，S△AOD＝S矩形ABCD＝30.∴OA＝OD＝.
又∵S△AOD＝S△APO＋S△DPO
＝OA·PE＋OD·PF
＝OA(PE＋PF)
＝×(PE＋PF)＝30，
∴PE＋PF＝.
∴点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是.
课件24张PPT。第19章
矩形、菱形与正方形 课
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练19．1 矩形
19.1.1 矩形的性质课
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1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是( C )
A．①②③ B．②③④
C．②⑤⑥ D．④⑤⑥
解析：A.①AB∥DC；②AB＝DC可判定四边形是平行四边形，再加③AC＝BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定，故此选项不合题意．B.②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°，可根据题意判断出全等三角形，进而得出四边形是矩形进行判定，故此选项不合题意．C.⑤OA＝OC；⑥OB＝OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB＝DC也不能判定是矩形，故此选项符合题意．D.⑤OA＝OC；⑥OB＝OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC＝90°可根据有一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定，故此选项不符合题意．故选C.
2．在?ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( A )
A．AB＝AD B．OA＝OB
C．AC＝BD D．DC⊥BC
解析：有一组邻边相等的平行四边形不一定是矩形．故选A.
3．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE的周长是( C )
A．4 B．6 C．8 D．10
解析：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．由题意，得AC＝BD＝4，∴OC＝OD＝2，∴四边形CODE的周长为2(OC＋OD)＝2×4＝8.故选C.
4．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH.若EH＝12 cm，EF＝16 cm，则边AD的长是( C )
A．12 cm B．16 cm
C．20 cm D．28 cm
解析：由折叠可知∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴HF＝＝＝20(cm)，
由折叠可知AD＝HF＝20 cm.故选C.
5．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为2.4.
解析：如图，连结AP.∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2＋AC2＝BC2，
即∠BAC＝90°.
又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP.
∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴EF的最小值为2.4.
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连结AE、BF.当∠ACB为60度时，四边形ABFE为矩形．
解析：若四边形ABFE是矩形，则有AF＝BE.又由题意，得△ABC≌△FEC，∴AC＝CF，BC＝EC，∴AC＝BC.又∵AC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.
7．如图，将?ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连结DE、EC、BD，DE交BC于点O.
(1)求证：△ABD≌△BEC；
(2)若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
证明：(1)在?ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，
AB∥CD，则BE∥CD.
又∵AB＝BE，∴BE＝CD.
∴四边形BECD为平行四边形，∴BD＝EC.
在△ABD与△BEC中，
∵AB＝BE，BD＝EC，AD＝BC，
∴△ABD≌△BEC(S.S.S.)．
(2)由(1)知，四边形BECD为平行四边形，
则OD＝OE，OC＝OB.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD.
又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD＋∠ODC，
∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD，∴OB＝OE.
∴OC＋OB＝OD＋OE，即BC＝ED，∴?BECD为矩形．
8．如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过动点O作BC的平行线交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：EO＝FO.
(2)当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．
(1)证明：∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE.
∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠OCE.
∴∠OEC＝∠OCE，∴EO＝CO.
同理：FO＝CO.∴EO＝FO.
(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形．
理由：由(1)得EO＝FO，
又∵O是AC的中点，∴AO＝CO，
∴四边形CEAF是平行四边形．
∵EO＝FO＝CO，∴EO＝FO＝AO＝CO，
∴EF＝AC，∴平行四边形CEAF是矩形．
课件24张PPT。第19章
矩形、菱形与正方形 课
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练19．1 矩形
19.1.2 矩形的判定 课
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1．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，连结EF，则△AEF的面积是( B )
A．4 B．3
C．2 D.
解析：连结AC交EF于点M.在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC＝4，∴△ABC是等边三角形，∵AE⊥BC，∴EC＝BE＝EC＝2，∠EAC＝30°，在Rt△ABE中，AE＝＝＝2，同理，CF＝DF＝2，∠CAF＝30°，AF＝2.∴∠EAF＝60°，AE＝AF，∴△EAF是等边三角形，∴EF＝AE＝AF＝2，∵∠EAC＝∠FAC，∴AM⊥EF，EM＝EF＝，在Rt△EAM中，AM＝＝3.∴S△AEF＝EF·AM＝×2×3＝3.故选B.
2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是( D )
A．内角和等于360° B．对角相等
C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直
解析：∵菱形与矩形都是平行四边形，A、B、C是平行四边形的性质，∴二者都具有，故此三个选项都不正确．由于菱形的对角线互相垂直且平分每一组对角，而矩形的对角线则相等，故选D.
3.
如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是( B )
A．△ABD与△ABC的周长相等
B．△ABD与△ABC的面积相等
C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
解析：如图为一个特殊菱形，从该图形中可以判断A、C、D错误，B一定正确，故选B.
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为( B )
A．75° B．65°
C．55° D．50°
解析：∵AB∥CD，∠ADC＝130°，
∴∠DAB＝50°，∴∠OAB＝∠DAB＝25°.
又∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°－25°＝65°，故选B.
5．如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为(－3,2)，若反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点A，则k的值为( D )
A．－6 B．－3
C．3 D．6
解析：∵菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为(－3,2)，∴点A的坐标为(3,2)．∵反比例函数y＝(x>0)的图象经过点A，∴＝2，解得k＝6.故选D.
6．(2017·河北)求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O.
求证：AC⊥BD.
以下是排乱的证明过程：
①又BO＝DO，②∴AO⊥BD，即AC⊥BD.③∵四边形ABCD是菱形，④∴AB＝AD.
证明步骤正确的顺序是( B )
A．③→②→①→④ B．③→④→①→②
C．①→②→④→③ D．①→④→③→②
解析：∵四边形ABCD是菱形(已知)，∴AB＝AD(菱形的四条边都相等)．又∵BO＝DO(平行四边形的对角线互相平分)，∴AO⊥BD(三线合一)，即AC⊥BD.故证明步骤正确的顺序是③→④→①→②.故选B.
7．如图，菱形ABCD的周长为8 cm，∠BAD＝60°，则AC＝2 cm.
解析：由题意，得AB＝2 cm.
又∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形．
∵BD⊥AC，∴OB＝BD＝AB＝1 cm，
∴AO＝＝(cm)，∴AC＝2 cm.
8.
如图，在菱形ABCD中，∠BAC＝30°，BD＝6 cm.
(1)求∠BAD、∠ABO的度数；
(2)求AB的长．
解：(1)在菱形ABCD中，∵AC⊥BD，AC平分∠BAD，
∴∠AOD＝90°，∠BAO＝∠DAO＝30°，∠BAD＝60°.
在△AOB中，∠ABO＝180°－∠BAO－∠AOB＝60°.
(2)在菱形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形．∴AB＝BD＝6 cm.
9．如图所示，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC.
(1)求证：AE＝EC；
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．
(1)证明：如图，连结AC.
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴BD垂直平分AC，∴AE＝EC.
(2)解：点F是线段BC的中点．理由如下：
∵在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，
由(1)知AE＝EC，
∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝∠CEF＝30°，
∴∠EAB＝30°，∴AF是∠BAC的平分线．
∵AF交BC于F，∴AF是BC边上的中线，
∴点F是线段BC的中点．
课件28张PPT。第19章
矩形、菱形与正方形 课
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练19．2 菱形
19.2.1 菱形的性质课
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1．如图，将等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连结AD、BD，则下列结论：
①AD＝BC；
②BD、AC互相平分；
③四边形ACED是菱形．
其中正确的个数是( D )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：△ABC、△DCE是等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝CD，∴∠ACD＝180°－∠ACB－∠DCE＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝BC，故①正确；由①可得AD＝BC.∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD、AC互相平分，故②正确；由①可得AD＝AC＝CE＝DE，故四边形ACED是菱形，故③正确．综上可得①②③正确，共3个．故选D.
2．用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是( D )
A．等腰梯形 B．正方形
C．矩形 D．菱形
解析：四条边相等的四边形是菱形．故选D.
3．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：甲：连结AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD、AC、BC于点M、O、N，连结AN、CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A、∠B的平分线AE、BF，分别交BC、AD于点E、F，连结EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断( C )
A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
解析：甲的作法是根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，乙的作法是根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故甲、乙的作法都正确．故选C.
4．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC，使得四边形ABCD是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是AB＝CD(答案不唯一)．
5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF＝90°.
解析：如图，∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴OA＝OD，OE＝OF，∠2＝∠3.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE.
∴?AEDF为菱形．
∴AD⊥EF，即∠AOF＝90°.
6．如图，在矩形ABCD中，AD＝32 cm，AB＝24 cm，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于点Q.若点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动(不与D重合)．设点P运动时间为t s，则t＝7或25s时，以点P和Q与点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是菱形．
解析：如图①，四边形PBQD是菱形．
∵AP＝t，∴PD＝32－t，∴PB＝32－t.
在Rt△ABP中，AB2＋AP2＝PB2，
即242＋t2＝(32－t)2，解得t＝7.
如图②，四边形AQCP是菱形．
∵AP＝t，∴PC＝t，PD＝32－t.
在Rt△PCD中，∵CD2＋PD2＝PC2，
即242＋(32－t)2＝t2，解得t＝25.
7.如图，将矩形ABCD折叠使A、C重合，折痕交BC于点E，交AD于点F.
(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)若AB＝4，BC＝8，求菱形的边长；
(3)在(2)的条件下求折痕EF的长．
(1)证明：∵将矩形ABCD折叠使A、C重合，折痕为EF，
∴OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC.∵AD∥BC，∴∠FAC＝∠ECA.
在△AOF和△COE中，
∵∠FAO＝∠ECO，AO＝CO，∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE，∴OF＝OE.
∵OA＝OC，AC⊥EF，∴四边形AECF为菱形．
(2)解：设菱形的边长为x，则BE＝BC－CE＝8－x，AE＝x.
在Rt△ABE中，∵BE2＋AB2＝AE2，
∴(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，即菱形的边长为5.
(3)解：在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，
∴OA＝AC＝2.在Rt△AOE中，OE＝＝＝，∴EF＝2OE＝2.
8．(2017·盐城)如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F.
(1)求证：四边形BEDF为平行四边形；
(2)当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABD＝∠CDB.
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝∠CDB，
∴∠EBD＝∠FDB，∴DF∥EB.
又∵AD∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形．
(2)解：当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形．
理由如下：
∵BE平分∠ABD，∠ABE＝30°，
∴∠EBD＝∠ABE＝30°，∴∠ABD＝60°.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.
∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°，
∴∠EDB＝∠EBD＝30°，∴EB＝ED.
又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．
课件28张PPT。第19章
矩形、菱形与正方形 课
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练19．2 菱形
19.2.2 菱形的判定 课
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1．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为( D )
A.－1 B．3－ C.＋1 D.－1
解析：∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝DA＝2.∵M为边AD的中点，∴DM＝1，∴ME＝MC＝＝，∴DG＝DE＝－1.故选D.
2．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为( C )
A．45° B．55° C．60° D．75°
解析：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BAC＝∠BAD＝×90°＝45°.∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，∴∠ABE＝×(180°－150°)＝×30°＝15°.∵∠BFC是△ABF的一个外角，∴∠BFC＝∠ABE＋∠BAC＝15°＋45°＝60°.故选C.
3．如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线EM交对角线AC于点E，连结BE、EF，则∠EBF的度数是( A )
A．45° B．50° C．60° D．不确定
解析：如图，作EG⊥BC，
EH⊥CD，垂足分别为G、H，
∵EM垂直平分BF，
∴EB＝EF.又∵EG＝EH，
∴△BEG≌△FEH，∴∠BEG＝
∠FEH，∴∠BEF＝∠GEH＝90°.
又∵EB＝EF，∴∠EBF＝45°.
故选A.
4．如图所示，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( B )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：设CH＝x，则DH＝EH＝9－x，∵BE∶EC＝2∶1，∴CE＝BC＝3.在Rt△ECH中，EH2＝EC2＋CH2，即(9－x)2＝32＋x2，解得x＝4，即CH＝4.故选B.
5．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边长BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE＋PC的最小值是.
解析：如图，∵BD是正方形ABCD的对角线，作点C关于DB的对称点C′，则点C′和点A重合，连结AE交DB于点P，连结CP，则此时PE＋PC的值最小，∴PE＋PC＝PE＋PA＝AE.在Rt△ABE中，AB＝2，BE＝1，由勾股定理，得AE＝＝.
6.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连结EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为5.
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠BAD＝×90°＝45°.
∵EF⊥AC，∴∠AFE＝∠EFC＝90°，∴∠AEF＝45°，
∴∠BAC＝∠AEF，∴EF＝AF＝3.∵△EFC的周长为12，
∴EF＋EC＋FC＝12.设EC＝x，∴FC＝12－3－x＝9－x.
在Rt△EFC中，根据勾股定理，得EF2＋FC2＝EC2，
即32＋(9－x)2＝x2，解得x＝5.
7.如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连结BP、DP，延长BC到E，使PB＝PE.
求证：∠PDC＝∠PEC.
证明：在正方形ABCD中，BC＝CD，∠BCP＝∠DCP.
在△BCP和△DCP中，
∵BC＝DC，∠BCP＝∠DCP，PC＝PC，
∴△BCP≌△DCP(S.A.S.)，
∴∠PBC＝∠PDC.
∵PB＝PE，
∴∠PBC＝∠PEC，
∴∠PDC＝∠PEC.
8.如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F.求证：AM＝EF.
证明：连结MC.在正方形ABCD中，
∵AD＝CD，∠ADM＝∠CDM，
又∵DM＝DM，∴△ADM≌△CDM，
∴AM＝CM.
∵ME∥CD，MF∥BC，
∴∠MFC＋∠BCD＝180°，
∠MEC＋∠BCD＝180°.
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠MFC＝∠MEC＝90°，
∴四边形MECF是矩形，∴MC＝EF.
又∵AM＝CM，
∴AM＝EF.
9．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.
求证：(1)△ABF≌△DAE；
(2)DE＝EF＋FB.
证明：(1)∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED＝∠AFB＝90°，
∴∠ADE＋∠DAE＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAF＋∠DAE＝90°.
∴∠BAF＝∠ADE.
又∵在正方形ABCD中，
∴AB＝AD.
在△ABF与△DAE中，
∠AFB＝∠DEA，∠BAF＝∠ADE，AB＝DA，
∴△ABF≌△DAE.
(2)∵△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF，DE＝AF.
又∵AF＝AE＋EF，
∴AF＝EF＋FB，
∴DE＝EF＋FB.
课件26张PPT。第19章
矩形、菱形与正方形 课
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练19．3 正方形
第1课时 正方形的性质 课
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1．下列说法不正确的是( C )
A．平行四边形对角相等
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．一组对边相等另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．菱形的对角线互相垂直平分
解析：A.平行四边形对角相等，正确；B.对角线互直垂直的矩形是正方形，正确；C.一组对边相等，且这组对边平行的四边形是平行四边形，错误；D.菱形的对角线互相垂直平分，正确．故选C.
2．在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能够找到一点，使该点到各边距离相等的图形是( D )
A．平行四边形和菱形 B．菱形和矩形
C．矩形和正方形 D．菱形和正方形
解析：菱形和正方形的对角线平分每一组对角，两条对角线的交点到各边距离相等，故选D.
3．四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出以下题设条件：①AB＝BC＝CD＝DA；②AO＝BO＝CO＝DO；③AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD；④AB＝BC，CD＝DA.其中能判断它是正方形的题设条件是③(把正确的序号填在横线上)．
解析：①是菱形；②是矩形；③是正方形；④无法判断．
4.
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝BE.当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形．
解析：若四边形BECF是正方形，则∠ABC＝45°.
又∵∠ACB＝90°，∴∠A＝45°.
5.
如图，在?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO.
又∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC，即DB⊥AC.
∴四边形ABCD是菱形．
(2)∵△ACE是等边三角形，∴∠AEC＝60°.
∵EO⊥AC，∴∠AEO＝∠AEC＝30°.
∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，
∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°.
∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
6．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、O、F分别为AB、AC、AD的中点，连结CE、CF、OE、OF.则OE＝BC，OF＝CD.
(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D.
又∵点E、F分别是AB、AD的中点，
∴BE＝DF，
∴△BCE≌△DCF.
(2)解：当AB⊥BC时，四边形AEOF为正方形．
理由如下：
在菱形ABCD中，AD＝BC，
∵OE＝BC，AF＝AD，
∴OE＝AF.同理，AE＝OF.
∴四边形AEOF为平行四边形．
由(1)可得，AE＝AF，
∴平行四边形AEOF为菱形．
∵BC⊥AB.
∴∠B＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴菱形AEOF为正方形．
7．(2017·上海)已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3.求证：四边形ABCD是正方形．
证明：(1)在△ADE和△CDE中，
∵AD＝CD，DE＝DE，AE＝CE.
∴△ADE≌△CDE，
∴∠ADE＝∠CDE.
在△ABD和△CBD中，
∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴AB＝CB.
又∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝CD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)∵BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC.
设∠BCE＝∠BEC＝3x°，则∠CBE＝2x°.
根据三角形内角和定理，得2x°＋3x°＋3x°＝180°，
解得x＝22.5，
∴∠CBE＝45°.
又∵△ABD≌△CBD，
∴∠ABE＝∠CBE＝45°，
∴∠ABC＝90°.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形．
课件22张PPT。第19章
矩形、菱形与正方形 课
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练19．3 正方形
第2课时 正方形的判定 课
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Thanks! 第19章评估测试卷
(时间：120分钟 分值：120分)
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( B )
A．BA＝BC B．AC、BD互相平分 C．AC＝BD D．AB∥CD
解析：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选B.
2．(2017·长沙)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6 cm、8 cm，则这个菱形的周长为( D )
A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cm
解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝×6＝3(cm)，OB＝BD＝×8＝4(cm)，
根据勾股定理得，AB＝＝＝5(cm)，
所以，这个菱形的周长＝4×5＝20(cm)．故选D.
3．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是( B )
A．AB＝CD
B．AB＝BC
C．当AC⊥BD时，它是菱形
D．当∠ABC＝90°时，它是矩形
解析：平行四边形的对边相等，邻边不一定相等．故选B.
4．如图所示，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为( C )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
解析：由题意，可知四边形EFGH是平行四边形．又∵矩形的对角线相等，∴AC＝BD，∴GH＝GF，∴四边形EFGH是菱形．故选C.
5．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为( B )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：根据平行四边形的对称性可知，△AOB的面积与△COD的面积相等，所以这三块阴影部分的面积和为四边形ABFE的面积，而过对角线交点的任一直线将平行四边形分成面积相等的两部分，所以S四边形ABFE＝S矩形＝×2×3＝3.故选B.
6．已知一个菱形的周长是20 cm，两条对角线的长度之比是4∶3，则这个菱形的面积是( B )
A．12 cm2 B．24 cm2 C．48 cm2 D．96 cm2
解析：设菱形的对角线长度分别为8x和6x，已知菱形的周长为20 cm，故菱形的边长为5 cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知(4x)2＋(3x)2＝52，解得x＝1.所以菱形的面积为×8×6＝24(cm2)．故选B.
7．如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G、F，AC＝10，则EG＋EF为( C )
A．10 B．5 C．5 D．2.5
解析：因为四边形OGEF是矩形，所以OF＝GE，△EFC是等腰直角三角形，所以EF＝FC，所以EG＋EF＝OF＋FC＝OC＝AC＝×10＝5.故选C.
8．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1＋S2的值为( B )
A．16 B．17 C．18 D．19
解析：如图，设面积为S2的正方形的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC＝x，x＝CD，∴AC＝2CD，CD＝AD＝2，∴EC2＝22＋22，即EC＝2.∴S2＝EC2＝2×2＝8.
∵面积为S1的正方形的边长为3，∴S1＝3×3＝9，∴S1＋S2＝9＋8＝17.故选B.
二、填空题(每小题3分，共18分)
9．如图所示，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，AB＝6，AD＝8，则AO＝5.
解析：∵AB＝6，AD＝8，∠BAD＝90°，∴BD＝＝10.又∵AC＝BD＝10，∴OA＝AC＝5.
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E、F分别是AB、AC的中点，连结DE、DF，且AE＝ED，当△ABC满足条件AB＝AC(或AD是∠BAC的平分线或AD是BC的中线等，答案不唯一)时，四边形AEDF是菱形(填写一个你认为恰当的条件即可)．
11．已知矩形ABCD的周长为52 cm，对角线AC和BD相交于点O，且△OCD和△OAD的周长之差是10 cm，则矩形的面积为144_cm2.
解析：由△OCD和△OAD的周长之差为10 cm，得CD－AD＝10 cm.又因为该矩形的周长是52 cm，所以CD＋AD＝26 cm，所以CD＝18 cm，AD＝8 cm，所以S矩形＝8×18＝144(cm2)．
12．如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A、C作l的垂线，垂足分别为点E、F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为.
解析：因为△ABE≌△BCF，所以BE＝CF＝3，所以AB＝＝.
13．如图，已知O为矩形ABCD对角线的交点，DF平分∠ADC交AC于点E，交BC于点F，∠BDF＝15°，则∠COF＝75°.
解析：∵DF平分∠ADC，∴∠CDF＝45°，∴∠DFC＝45°，∴CD＝CF.∴∠CDO＝∠CDF＋∠BDF＝45°＋15°＝60°.在矩形ABCD中，OD＝OC，∴△OCD是等边三角形，∴OC＝CD，∠OCD＝60°，∴OC＝CF，∠OCF＝30°.∴∠COF＝(180°－30°)＝75°.
14．有一张矩形纸片ABCD，AB＝2.5，AD＝1.5，将纸片折叠使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠使AE与BC交于点F(如图所示)，则CF的长为1.
解析：对于折叠问题，我们要时刻注意找出相等的线段、角．由折叠的意义，知折叠后∠A＝∠BFA＝45°，AB＝AD－BD＝1.5－(2.5－1.5)＝0.5，所以BF＝AB，所以FC＝BC－BF＝1.5－0.5＝1.
三、解答题(本大题共10小题，共78分)
15．(6分)
如图，?ABCD中，对角线AC平分∠DAB，判断?ABCD是菱形吗？并说明理由．
解：?ABCD是菱形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB，
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∴∠DCA＝∠DAC，∴DA＝DC，
∴?ABCD是菱形．
16．(6分)
如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AC＝6.过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E.
(1)求△BDE的周长；
(2)点P为线段BC上的点，连结PO并延长交AD于点Q.求证：BP＝DQ.
(1)解：因为四边形ABCD为菱形，所以BE∥AD.又因为AC∥DE，所以四边形ACED为平行四边形，所以AB＝AD＝BC＝CE＝5，AC＝DE＝6，所以BE＝BC＋CE＝10.又因为OA＝AC＝×6＝3，AB＝5，OA⊥OB，所以在Rt△AOB中，AB2＝OA2＋OB2，解得OB＝4，所以BD＝8.所以△BDE的周长为BD＋DE＋BE＝8＋6＋10＝24.
(2)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以OB＝OD，BC∥AD，所以∠DBC＝∠BDA，∠BPO＝∠DQO，所以△BOP≌△DOQ，所以BP＝DQ.
17．(6分)
如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE＝OC.
(1)求证：∠1＝∠2；
(2)连结BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．
(1)证明：在△ADC和△ABC中，∴△ADC≌△ABC(S.S.S.)，∴∠1＝∠2.
(2)解：四边形BCDE是菱形．理由如下：
由(1)知∠1＝∠2，∵BC＝DC，∴AC垂直平分BD，∴OB＝OD.
∵OE＝OC，∴四边形BCDE是平行四边形．
∵AC⊥BD，∴四边形BCDE是菱形．
18．(7分)
如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，∠AEC＝90°，连结OE，OF平分∠DOE交DE于点F，OE＝AC.求证：OF垂直平分DE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，AC、BD交于点O，∴OA＝OD.
∵OE＝AC，AO＝AC，∴OE＝OA，∴OE＝OD.
∵OF平分∠DOE，∴OF垂直平分DE.
19．(7分)如图，已知菱形ABCD，AB＝AC，E、F分别是BC、AD的中点，连结AE、CF.
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)若AB＝8，求菱形的面积．
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.
又∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．
∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°.
∵E、F分别是BC、AD的中点，∴AF＝AD，EC＝BC.
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∴AF∥EC且AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形．
又∵∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形．
(2)解：在Rt△ABE中，AE＝＝4，∴S菱形＝8×4＝32.
20．(7分)
如图，已知△ABC的面积为3，且AB＝AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA.
(1)求四边形CEFB的面积；
(2)试判断AF与BE的位置关系，并说明理由．
解：(1)由平移的性质得AF∥BC且AF＝BC，△EFA≌△ABC，∴四边形AFBC为平行四边形，
∴AC＝BF，∴S△EFA＝S△BAF＝S△ABC＝3，
∴四边形CEFB的面积为9.
(2)BE⊥AF.理由如下：
由(1)知四边形AFBC为平行四边形，
∴BF∥AC且BF＝AC.又AE＝CA，
∴BF∥AE且BF＝AE，∴四边形EFBA为平行四边形．
∵AB＝AC，∴AB＝AE，∴平行四边形EFBA为菱形，
∴BE⊥AF.
21．(8分)如图所示，将?ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F.
(1)求证：△ABF≌△ECF；
(2)若∠AFC＝2∠D，连结AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC.∴∠ABF＝∠ECF.
∵EC＝DC，∴AB＝EC.
在△ABF和△ECF中，∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，
∴△ABF≌△ECF.
(2)∵AB＝EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴FA＝FE，FB＝FC.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D.
又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC.
∵∠AFC＝∠ABF＋∠BAF，∠AFC＝2∠ABF，
∴∠ABF＝∠BAF，∴FA＝FB，
∴FA＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC，
∴四边形ABEC是矩形．
22．(9分)
(2017·日照)如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.
(1)求证：△DCA≌△EAC；
(2)只需添加一个条件，即AD＝BC，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
(1)证明：在△DCA和△EAC中，∵DC＝EA，AD＝CE，AC＝CA，∴△DCA≌△EAC.
(2)解：证明：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，
由(1)得：△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝90°，∴四边形ABCD为矩形．(答案不唯一)
23．(10分)如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE.
(1)求证：AF＝BE；
(2)如图②，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ，判断MP与NQ是否相等？并说明理由．
(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，
∴∠DAF＋∠BAF＝90°.
∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＝∠DAF.
在△ABE和△DAF中，∵∠ABE＝∠DAF，AB＝AD，∠BAE＝∠D，
∴△ABE≌△DAF，∴AF＝BE.
(2)解：MP与NQ相等．
理由：如图，过点A作AF∥MP交CD于点F，过点B作BE∥NQ交AD于点E，
则与(1)的情况完全相同．
而MP＝AF，NQ＝BE，∴MP＝NQ.
24．(12分)如图所示，△ABC是一块等边三角形的草坪，在其中修建了一座凉亭，地点为点P，并且从点P出发，分别修出三条通道PE、PF、PD通往△ABC的三边，为了美观，要求小路PE∥BC，PD∥AB，PF∥AC，已知△ABC的周长为1 800 m.
(1)求三条小路的长度和；
(2)小路宽为1 m，用面积为0.04 m2的地砖铺满路面，大约需要多少块地砖？
解：(1)如图，分别过点D、E作DM∥PF，EN∥PD，
分别交AB、BC于点M、N.
又∵PD∥MF，PE∥DN，∴四边形FMDP与PDNE均是平行四边形，
∴PF＝MD，PE＝DN，PD＝NE.
∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠A＝60°.
由PF∥AC，MD∥PF，得MD∥AC，∴∠1＝∠A＝60°，∠2＝∠C＝60°，
∴△MBD是等边三角形，∴MD＝BD.同理EN＝NC.
∴PF＋PE＋PD＝MD＋DN＋NE＝BD＋DN＋NC＝BC.
由△ABC的周长为1 800 m，得BC＝600 m.
∴PF＋PE＋PD＝600 m.
(2)∵小路面积＝600×1＝600(m2)，∴600÷0.04＝15 000(块)，
即大约需要15 000块地砖．
