1．如图，在?ABCD中，∠B＝110°，延长AD至点F，延长CD至点E，连接EF，则∠E＋∠F＝( D )
A．110° B．30°
C．50° D．70°
解析：∵在?ABCD中，∠B＝110°，∴∠ADC＝∠B＝110°，
∴∠EDF＝∠ADC＝110°，∴∠E＋∠F＝70°.故选D.
2．已知在?ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是( C )
A．100° B．160°
C．80° D．60°
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＋∠B＝180°，∠A＝∠C.
又∵∠A＋∠C＝200°，∴∠A＝100°，
∴∠B＝80°.故选C.
3.如图，?ABCD的周长是28 cm，△ABC的周长是22 cm，则AC的长为( D )
A．6 cm B．12 cm
C．4 cm D．8 cm
解析：因为AB＋BC＋CD＋AD＝2AB＋2BC＝28 cm，所以AB＋BC＝14 cm，所以AC＝22－14＝8 (cm)．故选D.
4．如图，在?ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC长为( B )
A．8 B．10
C．12 D．14
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC＝AB＝6，AD＝BC，∴∠AFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC，则∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝6，同理可证：DE＝DC＝6，
∵EF＝AF＋DE－AD＝2，即6＋6－AD＝2，解得：AD＝10.
∴BC＝AD＝10.故选B.
5.如图，E，F是?ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF，连接DE，BF，则图中共有全等三角形( C )
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF.又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF.类似地还可证：△CDE≌△ABF，且易证△ABC≌△CDA.故选C.
6．(2017·丽水)如图，在?ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是( C )
A. B．2
C．2 D．4
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝2，BC＝AD，∠D＝∠ABC＝∠CAD＝45°，∴AC＝CD＝2，∠ACD＝90°，即△ACD是等腰直角三角形．∴BC＝AD＝＝2，故选C.
7．已知平行四边形的周长等于36 cm，两邻边的长度之比为3∶2，那么这个平行四边形较长边的长为10.8 cm.
解析：∵两边之和为18 cm，比为3∶2，
∴较长的边为18×＝＝10.8(cm)．
8.如图，若平行四边形ABCD与平行四边形EBCF关于BC所在直线对称，∠ABE＝90°，则∠F＝45°.
解析：由两平行四边形关于BC所在的直线对称知，∠ABC＝∠EBC，又∵∠ABC＋∠EBC＝∠ABE＝90°，∴∠EBC＝45°，
又∵四边形EBCF是平行四边形，∴∠F＝∠EBC＝45°.
9．如图，AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，图中有几个平行四边形？将它们表示出来，并说明理由．
解：题图中有3个平行四边形：?ABCE，?ABGC，?AFBC.理由如下：
因为AB∥EG，EF∥BC，
所以四边形ABCE是平行四边形．
同理，四边形ABGC，四边形AFBC也是平行四边形．
10．如图所示，在?ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证：AB＝CF；
(2)连接DE，若AD＝2AB，求证：DE⊥AF.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，∴∠ABE＝∠FCE.
∵E为BC的中点，∴BE＝CE.
在△ABE与△FCE中，
∵
∴△ABE≌△FCE(ASA)，
∴AB＝CF.
(2)∵AD＝2AB，由(1)知AB＝CF＝CD，
∴AD＝DF，由(1)知△ABE≌△FCE，
∴AE＝EF，∴DE⊥AF.
11．如图，?ABCD的周长是10＋6，AB的长是5，DE⊥AB于E，DF⊥CB交CB的延长线于点F，DE的长是3，求：
(1)∠C的大小；
(2)DF的长．
解：(1)∵?ABCD的周长为10＋6，且AB＝5，
∴AD＝3，
又∵DE⊥AB，DE＝3，
∴AE＝＝＝3，
∴AE＝DE，∵∠AED＝90°，
∴∠A＝45°，
∴∠C＝∠A＝45°.
(2)S?ABCD＝AB·DE＝BC·DF，
即5×3＝3·DF，
∴DF＝.
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四边形 课
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练22．1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的性质(一)课
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1．(2017·青岛)如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为( D )
A. B.
C. D.
解析：∵AC＝2，BD＝4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC＝1，BO＝BD＝2，
∵AB＝，∴AB2＋AO2＝BO2，∴∠BAC＝90°，
∵在Rt△BAC中，BC＝＝＝，
S△BAC＝×AB×AC＝×BC×AE，
∴×2＝AE，∴AE＝，故选D.
2．如图所示，在?ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.3，则四边形BCEF的周长为( B )
A．8.6 B．9.6
C．12.6 D．13.6
解析：利用平行四边形的性质和三角形全等．故选B.
3．如图，在?ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是( C )
A．2
C．1解析：∵AB＝3，BC＝5，∴5－3∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC，∴14．如图，在?ABCD中，O是对角线交点，AB＝13 cm，BC＝5 cm，那么△AOB周长比△BOC的周长多8 cm.
解析：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，△AOB的周长为OA＋OB＋AB，△BOC的周长为OB＋OC＋BC，∴两周长之差为OA＋OB＋AB－(OB＋OC＋BC)＝AB－BC＝13－5＝8(cm)．
5．在?ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在点B′处，AB′和CD相交于点O.求证：OA＝OC.
证明：∵△AB′C是由△ABC沿AC对折得到的图形，
∴∠BAC＝∠B′AC.
∵在?ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA.
∴∠DCA＝∠B′AC.
∴OA＝OC.
6．已知：如图，?ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE.求证：DE⊥BE.
证明：∵平行四边形ABCD的对角线相交于点O，∴OD＝OB，
又∵OE＝OB，∴OE＝OB＝OD，
∴∠OBE＝∠OEB，∠ODE＝∠OED，
又∵∠OBE＋∠OEB＋∠ODE＋∠OED＝180°，
∴∠OEB＋∠OED＝90°，
∴DE⊥BE.
7．如图，在?ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E，F，AE，BF相交于点M.
(1)试证明：AE⊥BF；
(2)判断线段DF与CE的大小关系，并予以证明．
(1)证明：∵在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
∵AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF，
∴2∠BAE＋2∠ABF＝180°，
∴∠BAE＋∠ABF＝90°，
∴∠AMB＝90°，∴AE⊥BF.
(2)解：线段DF与CE是相等关系，即DF＝CE.
证明：∵在?ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB.
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD.同理可得CF＝BC.
又∵在?ABCD中，AD＝BC，
∴DE＝CF，
∴DE－EF＝CF－EF，即DF＝CE.
课件23张PPT。第二十二章
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练22．1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形的性质(二)课
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1.(2017·黄石)如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE＝∠ABE＋∠CBD，AC＝1，则BD必定满足( A )
A．BD<2 B．BD＝2
C．BD>2 D．以上情况均有可能
解析：∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，
同理∠CBD＝∠CDB.
∵∠ABC＝2∠DBE，
∴∠ABE＋∠CBD＝∠DBE，
∵∠ABE＝∠AEB，∠CBD＝∠CDB，
∴∠AEB＋∠CDB＝∠DBE，∴∠AED＋∠CDE＝180°，
∴AE∥CD，∵AE＝CD，∴四边形AEDC为平行四边形．
∴DE＝AC＝AB＝BC.
∴△ABC是等边三角形，∴BC＝CD＝1，
在△BCD中，∵BD2．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是( C )
A．一组对角相等 B．两条对角线互相垂直
C．一组对边平行且相等 D．一组邻角和为180°
解析：根据判定定理，故选C.
3．如图，在?ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有4个平行四边形．
解析：在?ABCD中，DC綊AB，∵F，E分别为DC，AB的中点，∴DF綊BE，DF綊AE，FC綊BE，可得三个平行四边形，再加?ABCD，共4个．
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＜BC，AD＝6 cm，点P，Q分别从B，D两点同时出发，点P以1 cm/s的速度由B向C运动，Q以同样的速度由D向A运动，问：几秒后四边形ABPQ是平行四边形？
解：设x s后四边形ABPQ是平行四边形．
∵AD∥BC，∴当AQ＝BP时，四边形ABPQ是平行四边形，即6－x＝x，解得x＝3，
∴3 s后，四边形ABPQ是平行四边形．
5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AF，DE分别平分∠BAD和∠ADC，AF与DE相交于点G，AF⊥DE.判断四边形ABCD的形状，并证明．
解：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AF，DE分别平分∠BAD和∠ADC，
∴∠DAF＝∠BAD，∠ADE＝∠ADC，
∵AF⊥DE，∴∠AGD＝90°，∴∠DAF＋∠ADE＝90°，
∴∠BAD＋∠ADC＝90°，
∴∠BAD＋∠ADC＝180°，∴AB∥CD.
又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
6．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2.
(1)求证：AE＝CF；
(2)求证：四边形EBFD是平行四边形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠3＝∠4.
∵∠1＝∠3＋∠5，∠2＝∠4＋∠6，∠1＝∠2，
∴∠5＝∠6.
在△ADE与△CBF中，
∵
∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴AE＝CF.
(2)∵∠1＝∠2，∴DE∥BF.
又由(1)知△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，∴四边形EBFD是平行四边形．
7．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD，等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.
(1)试证明：AC＝EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．
证明：(1)∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC.
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF，∴AF＝BC.
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
∵
∴Rt△AFE≌Rt△BCA(HL)，∴AC＝EF.
(2)∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°＝∠AFE，∴EF∥AD.
∵AC＝EF，AC＝AD，∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
课件21张PPT。第二十二章
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练22．2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定(一)课
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1．在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA，则下列结论不一定成立的是( A )
A．AB＝CB B．∠B＝∠D
C．AB∥CD D．∠A＋∠B＝180°
解析：∵AB＝CD，BC＝DA，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC，∠A＋∠B＝180°，∴选项B，C，D正确，选项A不一定正确．故选A.
2．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC.其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有( C )
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
解析：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形．②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形．③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形．④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形．故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形．故选C.
3.如图，在△ABC中，分别延长中线BE，CF到N，M，使得EN＝BE，MF＝CF，则下列说法中，错误的是( D )
A．四边形ABCN是平行四边形
B．AM，AN都与BC平行
C．四边形ACBM是平行四边形
D．M，A，N三点不一定在同一条直线上
解析：从条件可得四边形ACBM和四边形ABCN均符合对角线互相平分，因此这两个四边形都是平行四边形，故A，C正确；由平行四边形的对边互相平行，可知B正确，D错误．故选D.
4．已知四边形ABCD的四条边长分别为a，b，c，d，其中a，b为对边，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ab＋2cd，则此四边形一定是( D )
A．任意四边形
B．对角线相等的四边形
C．对角线互相垂直且相等的四边形
D．平行四边形
解析：∵a2＋b2＋c2＋d2＝2ab＋2cd，
∴a2－2ab＋b2＋c2－2cd＋d2＝0，∴(a－b)2＋(c－d)2＝0，
∴a＝b且c＝d，∵a，b为对边，∴此四边形为平行四边形．故选D.
5．如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，延长DE到F，使EF＝DE，连接AF，FC，CD，若AE＝EC，则AD与CF的位置关系与数量关系分别是AD綊CF.
解析：∵EF＝DE，AE＝EC，
∴四边形ADCF是平行四边形，∴AD綊CF.
6．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵E，F，G，H为AO，BO，CO，DO中点，
∴OE＝OG，OF＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
7．已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E，F在AD上，且AE＝DF.
求证：四边形BECF是平行四边形．
证明：如图，连接BC，与对角线AD交于点O.
∵四边形ABDC是平行四边形，∴OA＝OD，OB＝OC.
∵AE＝DF，OA－AE＝OD－DF，∴OE＝OF，
∴四边形BECF是平行四边形．
8．如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.
求证：四边形BCEF是平行四边形．
证明：∵AF＝DC，∴AF＋FC＝DC＋FC，即AC＝DF.
在△ABC和△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴BC＝EF.同法可证BF＝CE，
∴四边形BCEF是平行四边形．
课件18张PPT。第二十二章
四边形 课
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练22．2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定(二)课
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1．如图，在四边形ABCD中，∠DAC＝∠ACB，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件不能是( C )
A．AD＝BC
B．OA＝OC
C．AB＝CD
D．∠ABC＋∠BCD＝180°
解析：∵∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.A.根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知此选项不符合题意；B.可先利用已知条件得出△AOD≌△COB，再利用对角线互相平分的四边形是平行四边形或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；C.可能是等腰梯形，故本选项错误，符合题意；D.由∠ABC＋∠BAD＝180°，可知AB∥CD，由平行四边形的定义知符合判定平行四边形的条件，不符合题意．故选C.
2．一个四边形的四条边长依次是3 cm,5 cm,3 cm，5 cm，这个四边形是平行四边形，其依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
3．等腰三角形ABC底边上任意一点D，AB＝AC＝5 cm，过D作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，则四边形AEDF的周长为10_cm.
解析：如图所示．
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠1＝∠C，∠2＝∠B，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∴BE＝ED，DF＝FC，
∴四边形AEDF的周长＝AE＋ED＋DF＋AF＝AE＋EB＋CF＋AF＝AB＋AC＝10 cm.
4．用两个全等的三角形最多能拼成3个不同的平行四边形．
解析：以任一边为对角线，另两边为邻边，则两组对边分别相等，可得平行四边形．
5.如图，平面直角坐标系中点A，B，C的坐标分别是A(－2,5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找到一点D，使四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是(2,5)．
解析：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断．
6．(2017·大庆)如图，以BC为底边的等腰三角形ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.
求证：四边形BDEF为平行四边形．
证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C.
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，
∴∠DEG＝∠C.
∵BE＝BF，∴∠BFE＝∠BEF＝∠AEG＝∠ABC，
∴∠F＝∠DEG，∴BF∥DE.
又∵EF∥BD，∴四边形BDEF为平行四边形．
7．如图所示，已知BE∥DF，∠ADF＝∠CBE，AF＝CE，求证：四边形DEBF是平行四边形．
证明：∵BE∥DF，∴∠BEF＝∠DFE.
又∵∠ADF＝∠CBE，AF＝CE，
∴△ADF≌△CBE，∴BE＝DF.
又∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形．
8．如图所示，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且与BC，AD分别交于点E，F.试猜想线段AE，CF的关系，并说明理由．
解：AE与CF的关系是平行且相等．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AF∥EC，∴∠OAF＝∠OCE.
在△OAF和△OCE中，∵
∴△OAF≌△OCE(ASA)，∴AF＝CE，
又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF且AE＝CF，即AE与CF的关系是平行且相等．
9．已知：如图，在?ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，那么AC与EF互相平分吗？并说明你的理由．
解：AC与EF互相平分．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AD＝CB，∠DAB＝∠DCB，
又由题易知∠DAE＝∠DAB，∠BCF＝∠DCB，
∴∠DAE＝∠BCF，∴△ADE≌△CBF，∴DE＝BF.
又∵AB＝CD，∴EC＝AF.
∵DC∥AB，∴EC綊AF，∴四边形AFCE为平行四边形，
∴AC，EF互相平分．
课件21张PPT。第二十二章
四边形 课
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练22．2 平行四边形的判定
第3课时 平行四边形的判定(三)课
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1．已知△ABC的周长为40 cm，中位线DE＝6 cm，EF＝8 cm，则另一条中位线DF的长是( C )
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．8 cm
解析：∵BC＝2DE＝12 cm，
AB＝2EF＝16 cm，
∴AC＝40－12－16＝12(cm)，
∴DF＝AC＝6 cm.故选C.
2.(2017·遵义)如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是( A )
A．4.5 B．5
C．5.5 D．6
解析：∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CF是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线，∴△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝，同理可得△AEG的面积＝，
△BCE的面积＝×△ABC的面积＝6，
又∵FG是△BCE的中位线，
∴△EFG的面积＝×△BCE的面积＝，
∴△AFG的面积是×3＝，故选A.
3．如图所示，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，DC的中点，且AD∥EF∥BC.若AD＝10，BC＝16，则EF的长为( B )
A．12
B．13
C．14
D．15
解析：本题考查平行四边形与三角形中位线的综合运用．过点D作DM∥AB交EF于点N，交BC于点M，则可证EN＝BM＝AD＝10.
∵可证NF是△DMC的中位线，
∴NF＝(BC－BM)＝×6＝3，
所以EF＝EN＋NF＝10＋3＝13.故选B.
4．如图，?ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为15.
解析：因为O是?ABCD对角线的交点，E是CD的中点，所以OE为△DBC的中位线，△DOE的周长为△DBC周长的一半，因为?ABCD的周长为36，AB＝CD，BC＝AD，所以BC＋CD＝×36＝18，所以△DBC的周长＝18＋12＝30，所以△DOE的周长为15.
5．如图所示，在△ABC中，点D在BC上，且DC＝AC，CE⊥AD于点E，点F是AB的中点．
求证：EF∥BC.
证明：∵DC＝AC，且CE⊥AD于E，
∴AE＝ED.
又∵点F是AB的中点，∴AF＝FB，
∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥BC.
6．如图所示，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.
(1)求证：BM＝MN；
(2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．
(1)证明：在△CAD中，∵M，N分别是AC，CD的中点，∴MN∥AD，MN＝AD.
在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，
∴BM＝AC，
∵AC＝AD，∴MN＝BM.
(2)解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
由(1)可知BM＝AC＝AM＝MC，
∴∠BAM＝∠ABM，
∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°，
∵MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°，
∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°，
∴BN2＝BM2＋MN2，由(1)可知MN＝BM＝AC＝1，
∴BN＝.
7．如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；
(2)求证：∠DHF＝∠DEF.
证明：(1)∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE，EF都是△ABC的中位线．
∴EF∥AB，DE∥AC.
∴四边形ADEF是平行四边形．
(2)∵四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF＝∠BAC.
∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，
∴DH＝AD，FH＝AF.
∴∠DAH＝∠DHA，∠FAH＝FHA.
∵∠DAH＋∠FAH＝∠BAC，∠DHA＋∠FHA＝∠DHF，
∴∠DHF＝∠BAC.∴∠DHF＝∠DEF.
8．我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.
(1)这个中点四边形EFGH的形状是平行四边形；
(2)请证明你的结论．
解：证明：连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF＝AC.
同理，GH∥AC，GH＝AC，∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
课件25张PPT。第二十二章
四边形 课
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三角形的中位线课
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1．(2017·怀化)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是( A )
A．3 cm B．6 cm
C．10 cm D．12 cm
解析：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD＝3，
∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝3，故选A.
2．如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10 cm，将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6 cm，则CD＝( A )
A．4 cm B．6 cm
C．8 cm D．10 cm
解析：由折叠知DC＝DF，四边形CDFE为正方形，
∴CD＝CE＝BC－BE＝10－6＝4(cm)．故选A.
3．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8 cm.把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF＝ cm，则AD的长为( C )
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．7 cm
解析：∵△ABC≌△AEC，∴∠EAC＝∠BAC.
又∵四边形ABCD为矩形，∴DC＝AB＝8 cm，DC∥AB，
∴∠FCA＝∠BAC.
∴∠FAC＝∠FCA，∴AF＝FC＝ cm，
∴DF＝DC－FC＝8－＝(cm)．
又∵∠D＝90°，
∴AD＝＝＝＝6(cm)．故选C.
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝1，则BC的长为.
解析：根据“矩形对角线相等且互相平分”可知△AOB是等腰三角形．由∠AOD＝120°，可知∠AOB＝60°，从而得到△AOB是等边三角形，再根据AB＝1可得到AO＝1，AC＝2.在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC＝＝＝.
5．如果矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且∠BOC＝120°，AB＝3 cm，那么矩形ABCD的面积为9 cm2.
解析：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OB＝OC，∠ABC＝90°.
又∵∠BOC＝120°，∴∠ACB＝30°.
∴AC＝2AB＝6 cm，
∴BC＝＝3(cm)，
∴S矩形ABCD＝AB·BC＝3×3＝9(cm2)．
6．如图，在矩形ABCD中，AB的长为8 cm，对角线BD比AD长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长．
解：在矩形ABCD中，∠BAD＝90°.设AD＝x cm，
则BD＝(x＋4)cm.在Rt△ABD中，
由勾股定理，得82＋x2＝(x＋4)2，
解得x＝6，则AD＝6 cm.
在Rt△ABD中，AB＝8 cm，AD＝6 cm，
∴BD＝10 cm.
∵S△ABD＝AB·AD＝BD·AE，
∴10AE＝8×6，∴AE＝4.8 cm.
7．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm.现将A，C重合，使纸片折叠压平．设折痕为EF，试求AF的长和重叠部分△AEF的面积．
解：
如图，连接AC，交EF于点O.
由折叠知，OA＝OC，
∴点O为矩形的对称中心，E，F关于点O对称，B，D也关于点O对称．
∴BE＝FD，EC＝AF，
由EC折叠后与EA重合，知EC＝EA.
设AF＝x cm，则
BE＝FD＝AD－AF＝(4－x) cm，AE＝AF＝x cm.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＋BE2＝AE2，
即32＋(4－x)2＝x2，解得x＝.
∴S△AEF＝×3×＝(cm2)．
故AF的长为 cm，△AEF的面积为 cm2.
8．如图所示，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E.若∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．
解：在矩形ABCD中，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠BAD＝45°.
又∵∠CAE＝15°，
∴∠BAO＝∠BAE＋∠CAE＝60°.
易得△AOB为等边三角形，
∴OB＝AB，∠ABO＝60°，
∴∠OBE＝∠ABC－∠ABO＝90°－60°＝30°.
∵∠BAE＝45°，∴∠BEA＝45°，∴AB＝BE，
∴OB＝BE，
∴∠BOE＝＝＝75°.
课件22张PPT。第二十二章
四边形 课
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练22．4 矩形
第1课时 矩形的性质课
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1.如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，四边形A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形，如果AC＝8，BD＝10，那么四边形A1B1C1D1的面积为( A )
A．20 B．40
C．36 D．10
解析：由中位线性质定理可知A1D1綊BD，B1C1綊BD，
∴A1D1綊B1C1，∴四边形A1B1C1D1为平行四边形．
又∵AC⊥BD，∴?A1B1C1D1为矩形．
又由题意知C1D1＝AC，
∴S矩形A1B1C1D1＝A1D1·C1D1＝·＝20.故选A.
2．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，∠ADE＝∠CDE，那么∠BDC等于( D )
A．60° B．45°
C．30° D．22.5°
解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，OA＝OD，
∴∠ADB＝∠DAC，
∵DE⊥AC，∠ADE＝∠CDE，
∴∠ADE＝22.5°，∠CDE＝67.5°，
∵∠DAC＋∠ACD＝90°，∠CDE＋∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠CDE，
∴∠ADB＝∠DAC＝∠CDE＝67.5°，
∴∠BDC＝90°－67.5°＝22.5°，故选D.
3．如图，已知?ABCD，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC.能说明?ABCD是矩形的有①④(填写序号)．
解析：①AC＝BD，由对角线相等的平行四边形是矩形可得；④AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，由定义可知．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD.连接AE，BE.求证：四边形AEBD是矩形．
证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
∵点O为AB的中点，OE＝OD，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形．
5．如图所示，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE＝CE.
证明：如图所示，过点B作BF⊥CE于F，
∵CE⊥AD，∴∠D＋∠DCE＝90°，
∵∠BCD＝90°，∴∠BCF＋∠DCE＝90°，
∴∠BCF＝∠D.在△BCF和△CDE中，
∵
∴△BCF≌△CDE(AAS)，∴BF＝CE.
∵∠A＝90°，CE⊥AD，BF⊥CE，
∴四边形AEFB是矩形，∴AE＝BF，∴AE＝CE.
6．如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
(1)证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE＝∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠FCD＝∠OFC，
∴OE＝OC，OC＝OF，∴OE＝OF.
(2)解：如图，当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
∵AO＝CO，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BCE＝∠ACE，∠OCF＝∠FCD，
∴∠ECA＋∠ACF＝∠BCD，∴∠ECF＝90°.
∴平行四边形AECF是矩形．
课件19张PPT。第二十二章
四边形 课
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练22．4 矩形
第2课时 矩形的判定课
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1．(2017·海南)如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABC的周长是( C )
A．14 B．16
C．18 D．20
解析：∵在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，∴AB＝BC，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝3，∴BC＝AB＝＝5，∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝5＋5＋8＝18.故选C.
2．如图，菱形花坛ABCD的边长为6 m，∠B＝60°，其中在由两个正六边形组成的花池里种花，则种花部分的周长(粗线部分)为( B )
A．12 m B．20 m
C．22 m D．24 m
解析：因为正六边形有一个公共边，所以其周长应为两个周长之和减去公共边的长．
如图，菱形边长为6，所以AF＝GF＝BG＝2，可得正六边形的边长为2.
又两个正六边形有一个公共边OE，
∴两个六边形的周长为6×2＋6×2－2×2＝20，
∴种花部分图形的周长为20 m．故选B.
3.如图所示，菱形ABCD的周长为8 cm，∠BAD＝60°，则AC＝2 cm.
解析：根据已知条件和菱形的性质，可推出△AOB为直角三角形，AB＝2，∠OAB＝30°，即可求得AC的长度．
∵菱形ABCD的周长为8 cm，∠BAD＝60°
∴△AOB为直角三角形，AB＝2，∠OAB＝30°，OA＝OC，
∴OA＝，∴AC＝2.
4．如图，菱形ABCD的对角线AC＝24，BD＝10，则菱形的周长为＝52.
解析：AD＝＝13,13×4＝52.
5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则点O到边AB的距离OH＝2.4.
解析：AB＝＝5，
S△AOB＝AO·BO＝AB·OH，
∴OH＝2.4.
6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC交BC的延长线于点E.求证：DE＝BE.
证明：
如图，连接BD.
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴BD⊥AC，∠DBC＝30°.
∵DE∥AC，
∴DE⊥BD.
即∠BDE＝90°，
∴DE＝BE.
7．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°，求∠CEF的度数．
解：连接AC.
∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，
∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACD＝60°.
又∵∠BAE＋∠EAC＝∠CAF＋∠EAC，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF，
∴AE＝AF，
∴△AEF为等边三角形，
∴∠AEF＝60°.
∵∠AEB＝180°－∠BAE－∠B＝102°，
∴∠CEF＝180°－∠AEB－∠AEF＝180°－102°－60°＝18°.
8．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α(0°<α<90°)后得直线l，直线l与AD，BC两边分别相交于点E和点F.
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)当α＝30°时，求线段EF的长度．
(1)证明：根据菱形的性质，
得OA＝OC，∠OAE＝∠OCF.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF.
(2)解：∵AB＝BC＝2，∠ABC＝60°.
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝2，∠ACB＝60°，此时OC＝1，
∴当α＝30°时，OF⊥BC.
在Rt△OFC中，∠COF＝30°，
CF＝OC＝，OF＝，
∴EF＝2OF＝.
课件24张PPT。第二十二章
四边形 课
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练22．5 菱形
第1课时 菱形的性质课
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1．(2017·河南)如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的只有( C )
A．AC⊥BD
B．AB＝BC
C．AC＝BD
D．∠1＝∠2
解析：A.正确，对角线垂直的平行四边形的菱形．B.正确，邻边相等的平行四边形是菱形，C.错误，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D.正确，可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．故选C.
2．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE＝4 cm，则四边形AEDF的周长为( B )
A．12 cm B．16 cm
C．20 cm D．22 cm
解析：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形．
由AD是角平分线，DE∥AC，易得∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE，∴四边形AEDF是菱形，
∴四边形AEDF的周长＝4×4＝16(cm)．故选B.
3．如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝6，AB＝5，则AE的长为( C )
A．4 B．6
C．8 D．10
解析：如图所示，连接EF，
设AE与BF交于点O.
∵∠BAE＝∠FAE，∠AEB＝∠FAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE.又∵AB＝AF，AF∥BE，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OB＝BF＝3，
OA＝＝＝4,
∴AE＝2OA＝8.故选C.
4．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件OA＝OC(答案不唯一)，使ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)
解析：根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可得出结论．
5．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E，F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE，CF.
(1)求证：△BDF≌△CDE；
(2)若AB＝AC，求证：四边形BFCE是菱形．
证明：(1)∵D是BC的中点，
∴BD＝CD.
∵CE∥BF，∴∠DBF＝∠DCE.
又∵∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE.
(2)方法1：∵△CDE≌△BDF，∴DE＝DF.
∵BD＝CD，∴四边形BFCE是平行四边形．
在△ABC中，∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，即EF⊥BC.
∴四边形BFCE是菱形．
方法2：∵△CDE≌△BDF，∴CE＝BF.
∵CE∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形．
在△ABC中，∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，即AD垂直平分BC，
∴BE＝CE.∴四边形BFCE是菱形．
6．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，并且DE＝DF.
求证：(1)△ADE≌△CDF；
(2)四边形ABCD是菱形．
证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠CFD＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C.
在△ADE和△CDF中，∵
∴△ADE≌△CDF(AAS)．
(2)∵△ADE≌△CDF，∴AD＝CD.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．
7．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图①所示位置旋转，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.
(1)求证：AM＝AN；
(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．
(1)证明：∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图①所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，
∴AB＝AF，∠BAM＝∠FAN.
在△ABM和△AFN中，
∵
∴△ABM≌△AFN(ASA)．
∴AM＝AN.
(2)解：当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是菱形
理由：连接AP.
∵∠α＝30°，∴∠FAN＝30°.
∴∠FAB＝120°.
∵∠B＝60°，∴AF∥BP.
∴∠F＝∠FPC＝60°.
∴∠FPC＝∠B＝60°.
∴AB∥FP.
∴四边形ABPF是平行四边形．
∵AB＝AF.∴平行四边形ABPF是菱形．
课件20张PPT。第二十二章
四边形 课
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练22．5 菱形
第2课时 菱形的判定课
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1.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点O在AB上，且OB＝1，点P是BC上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段OQ.要使点Q恰好落在AD上，则BP的长是( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意可证△OBP≌△QAO，
所以BP＝AO＝AB－OB＝4－1＝3.故选C.
2．若正方形的边长为4 cm，则它的对角线长为4 cm.
解析：对角线为＝4.
3．若正方形的对角线长为4 cm，则它的周长为8 cm，面积为8_cm2.
解析：设边长为a，则a2＋a2＝42，∴a＝2，
∴周长为4×2＝8(cm)；面积为(2)2＝8(cm2)．
4．如图，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则EF＋EG＝4.
解析：设AC与BD相交于点O，由正方形的性质得△BEG是等腰直角三角形，故EG＝BG.
又∵EF⊥AC，EG⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形EGOF为矩形，∴EF＝OG，
∴EF＋EG＝OG＋BG＝BO＝BD＝×8＝4.
5．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝20°，则∠AED等于65度．
解析：∵直线AC是正方形ABCD的对称轴，
∠AED＝∠AEB＝∠CBF＋∠ACB＝20°＋45°＝65°.
6．(2017·广安)如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是边AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF＝BE.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°，
∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°，
∵∠ABF＋∠CBG＝90°，∴∠BCE＝∠ABF，
在△BCE和△ABF中，∵
∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴BE＝AF.
7．如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的一点，AM⊥EF，垂足为M，AM＝AB，求证：EF＝BE＋DF.
证明：连接AE，AF.
∵AB＝AM，AB⊥BC，AM⊥EF，AE为公共边，∴△ABE≌△AME，∴BE＝ME.
同理可得，△ADF≌△AMF，
∴DF＝MF.∴EF＝ME＋MF＝BE＋DF.
8．如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF.
(1)求证：BF＝DF；
(2)连接CF，请直接写出BE∶CF的值(不必写出计算过程)．
(1)证明：∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG＝EF＝FG，∠BEF＝∠DGF＝90°，
∴BE＝AB－AE，DG＝AD－AG，∴BE＝DG，
在△BEF和△DGF中，
∵
∴△BEF≌△DGF(SAS)，∴BF＝DF.
(2)解：BE∶CF＝.
9．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.
(1)求证：CE＝CF；
(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？
(1)证明：在正方形ABCD中，
∵BC＝DC，∠B＝∠CDF，BE＝DF，
∴△CBE≌△CDF(SAS)．∴CE＝CF.
(2)解：GE＝BE＋GD成立．
理由：由(1)知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCF，
∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，
即∠ECF＝∠BCD＝90°，
∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°.
又∵CE＝CF，GC＝GC，
∴△ECG≌△FCG(SAS)．∴GE＝GF.
∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD.
课件22张PPT。第二十二章
四边形 课
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练22．6 正方形
第1课时 正方形的性质课
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1．关于?ABCD的叙述，正确的是( C )
A．若AB⊥BC，则?ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则?ABCD是正方形
C．若AC＝BD，则?ABCD是矩形
D．若AB＝AD，则?ABCD是正方形
解析：∵在?ABCD中，AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项A错误；∵在?ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B错误；∵在?ABCD中，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，选项C正确；∵在?ABCD中，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项D错误．故选C.
2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( D )
A．∠D＝90° B．AB＝CD
C．AD＝BC D．BC＝CD
解析：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形．又∵BC＝CD，∴矩形ABCD是正方形．故选D.
3．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝( C )
A．2 B．3
C．2 D．2
解析：如图，过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点．则有△BCF≌△BAE(AAS)，则BE＝BF，S四边形ABCD＝S正方形BEDF＝8，∴BE＝＝2.故选C.
4．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC等于( B )
A．67.5° B．60°
C．55° D．45°
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝(180°－∠BAE)＝×(180°－150°)＝15°，∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°.故选B.
5．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.
又∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC，即DB⊥AC，∴?ABCD为菱形．
(2)∵EO⊥AC，∴∠AEO＝∠AEC＝30°.
∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°.
∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°.
∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
证明：(1)∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
∵
∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB.
(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°，
∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝45°，
∴PM＝MD，∴四边形MPND是正方形．
7．如图所示，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点(E与A，D不重合)，G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
(2)若EF⊥BC，且EF＝BC，求证：平行四边形EGFH是正方形．
证明：(1)在△BEC中，
∵G，F分别是BE，BC的中点，
∴GF∥EC且GF＝EC.
又∵H是EC的中点，∴EH＝EC，
∴GF∥EH且GF＝EH.
∴四边形EGFH是平行四边形．
(2)连接EF，GH，
∵G，H分别是BE，EC的中点，
∴GH∥BC且GH＝BC.
又∵EF⊥BC，且EF＝BC，
∴EF⊥GH，且EF＝GH.
∴平行四边形EGFH是正方形．
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练22．6 正方形
第2课时 正方形的判定课
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1．(2017·阿坝州)已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是( C )
A．8 B．9 C．10 D．11
解析：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．故选C.
2．一个正多边形的一个外角等于与它相邻的内角的，则这个多边形是( B )
A．正十二边形 B．正十边形
C．正八边形 D．正六边形
解析：180°÷5＝36°，360°÷36°＝10.故选B.
3．过多边形的一个顶点可以引9条对角线，那么这个多边形的内角和是( B )
A．1 620° B．1 800°
C．1 980° D．2 160°
解析：n－3＝9，∴n＝12，(12－2)×180°＝1 800°.故选B.
4.如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形(含三角形)，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M＋N不可能是( D )
A．360° B．540°
C．720° D．630°
解析：一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形(含三角形)的情况有以下三种：
①当直线不经过原来矩形的任何一个顶点，此时矩形分割为一个五边形和三角形，或者分割为2个四边形，∴M＋N＝540°＋180°＝720°，或者M＋N＝360°＋360°＝720°.
②当直线经过原来矩形的一个顶点，
此时矩形分割为一个四边形和一个三角形，
∴M＋N＝360°＋180°＝540°.
③当直线经过原来矩形的对角线的两个顶点，
此时矩形分割为两个三角形，
∴M＋N＝180°＋180°＝360°.故选D.
5．如图，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为( C )
A．120° B．180°
C．240° D．300°
解析：∠1＋∠2＝360°－(180°－60°)＝240°.故选C.
6．如果正n边形的一个内角等于一个外角的2倍，那么n的值是( C )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：利用多边形的内角和公式(n－2)·180°＝360°×2，解得n＝6.故选C.
7．从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，则n＝7.
解析：n边形中与一个顶点不相邻的顶点共有(n－3)个．
由n－3＝4，得n＝7.
8．如图所示，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝n·90°，求n.
解：设AD与BF，CE的交点分别为G，H.
∵∠DGB＝∠D＋∠F，∠GHC＝∠A＋∠E，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F
＝∠DGB＋∠B＋∠C＋∠GHC＝360°，
∴n·90°＝360°，∴n＝4.
9．有一块多边形的木板，锯去一个角(不过顶点)后，形成的多边形的内角和为1 620°，那么原来木板是几边形？
解：设原来木板是n边形，则锯去一个不过顶点的角后，边数变为n＋1，根据题意，得(n＋1－2)·180°＝1 620°，解得n＝10.所以原多边形是十边形．
10．如图是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB∥CF，CD∥AE.按规定AB，CD的延长线相交成80°角，因交点不在模板上，不便测量，这时师傅告诉徒弟只需测量一个角，便知道AB，CD的延长线的夹角是否符合规定，你知道需测量哪一个角吗？说明理由．
解：测量∠A或∠C的度数，只需看∠A或∠C是否等于100°，即知模板中AB，CD的延长线的夹角是否符合规定．理由如下：
连接AF，因为AB∥CF，所以∠BAF＋∠AFC＝180°.
又因为∠EAF＋∠E＋∠AFE＝180°，
所以∠BAE＋∠E＋∠EFC＝360°.
若∠C＝100°，
则AB，CD的延长线的夹角＝540°－360°－100°＝80°，
即符合规定．
同理，若连接CE，可得∠AEF＋∠F＋∠FCD＝360°，
若∠A＝100°，则也符合规定．
11．如图所示，一个六边形ABCDEF的六个内角都是120°，且AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，请你求该六边形的周长．
解：分别画出六边形的边AB，CD，EF所在的直线，三条直线交于点G，H，R，如图所示．
因为该六边形每个内角的度数都是120°，
所以∠GAF＝∠GFA＝∠RDE＝∠RED＝∠HBC＝∠HCB＝60°，
即△AGF，△BHC，△DER，△GHR均为等边三角形．
因为AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，
所以CH＝HB＝CD＝BC＝3，DE＝DR＝RE＝2，则HR＝8.
所以AG＋AB＋HB＝8，即AG＝AF＝GF＝8－1－3＝4.
同理GF＋EF＋RE＝8，即EF＝8－4－2＝2.
所以六边形的周长为1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.
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练22．7
多边形的内角和与外角和课
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Thanks! 第二十二章评估测试卷
(时间：90分钟 分值：100分)
一、选择题(每小题3分，共36分)
1．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是( B )
A．a>b B．a＝b C．a解析：四边形的内角和360°，多边形的外角和360°.故选B.
2．菱形的周长等于它的高的8倍，则它的各个角是( A )
A．30°和150° B．45°和135° C．60°和120° D．20°和160°
解析：∵菱形的四条边相等，周长等于它高的8倍，则一边长为它的高的2倍，则一个内角为30°，则相邻的角为150°.故选A.
3．某广场上有一个形状是平行四边形的花坛(如图)，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法错误的是( C )
A．红花、绿花种植面积一定相等
B．紫花、橙花种植面积一定相等
C．红花、蓝花种植面积一定相等
D．蓝花、黄花种植面积一定相等
解析：由已知得题图中几个四边形均是平行四边形．又因为平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形，即面积相等，故红花和绿花种植面积一样大，蓝花和黄花种植面积一样大，紫花和橙花种植面积一样大．故选C.
4．如果一个四边形的对角线相等，那么顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形一定是( C )
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
解析：由三角形中位线的性质知所得四边形的每一条边都等于对角线长度的一半，所以所得四边形为菱形．故选C.
5.
如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是( C )
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．BD的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
解析：扭动后的图形如图所示，∵A′D′∥BC，A′D′＝BC.∴四边形A′BCD′是平行四边形，故选项A中的判断正确；
由图形可知，BD′>BD，故选项B中的判断正确；扭动后的四边形A′BCD′的高小于矩形ABCD的高，边长BC不变，故扭动后的四边形面积缩小，故选项C中的判断错误；扭动后的四边形各边长都不变，则四边形ABCD的周长不变，故选项D中的判断正确．故选C.
6．如果把一个多边形的边数增加一倍，它的内角和是2 520°，那么原来多边形的边数是( C )
A．6 B．7 C．8 D．9
解析：设原边数为n，则(2n－2)·180＝2 520,2n－2＝14，n－1＝7，n＝8.故选C.
7．如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，连接OA，点G，F分别为OC，OB的中点，BC＝8，AO＝6，则四边形DEFG的周长为( B )
A．12 B．14 C．16 D．18
解析：根据三角形中位线定理，可得ED＝FG＝BC＝4，GD＝EF＝AO＝3，进而求出四边形DEFG的周长为3＋4＋3＋4＝14.故选B.
8．如图，在?ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是( D )
A．∠E＝∠CDF B．EF＝DF C．AD＝2BF D．BE＝2CF
解析：∵CD∥BE，∴∠E＝∠CDF.又∵BE＝AB＝CD，∠BFE＝∠CFD，∴△BEF≌△CDF，∴EF＝DF.
∵BE＝AB，AD∥BF，∴AD＝2BF，故A，B，C选项均正确，只有D选项不一定正确．故选D.
9．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的点，AE＝AB，EF⊥AC，交BC于点F，则图中等腰三角形的个数为( D )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：△ABE，△BEF，△CEF，△ABC，△ADC均为等腰三角形，共5个．故选D.
10.如果一个多边形的外角和与内角和之比为1∶7，那么这个多边形的边数为( B )
A．14 B．16 C．17 D．18
解析：利用多边形的内角和公式和外角和360°，得360°∶(n－2)×180°＝1∶7，解得n＝16.故选B.
11．如图所示，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF.则四边形AECF是( C )
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
解析：∵在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴AO＝CO，∠AFO＝∠CEO，
∴在△AFO和△CEO中，∵
∴△AFO≌△CEO(AAS)．∴FO＝EO.∴四边形AECF平行四边形．
∵EF⊥AC，∴?AECF是菱形．故选C.
12．如图所示，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD＝BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是( B )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，则有h＝h1＋h2.
S△ABC＝BC·h＝16，S阴影＝S△AGH＋S△CGH
＝GH·h1＋GH·h2
＝GH·(h1＋h2)＝GH·h.
∵四边形BDHG是平行四边形，且BD＝BC，∴GH＝BD＝BC.
∴S阴影＝×＝S△ABC＝4.故选B.
二、填空题(每小题3分，共18分)
13．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置，EC′交AD于点G.已知∠EFG＝58°，那么∠BEG＝64°.
解析：根据题意得AD∥BC，所以∠EFG＝∠FEC，又由折叠知∠GEF＝∠FEC.
所以∠FEC＝∠GEF＝∠EFG＝58°，所以∠BEG＝180°－58°－58°＝64°.
14．(2017·怀化)如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长是10 cm.
解析：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO＝DO，∵点E是AB的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴AD＝2OE，∵OE＝5 cm，∴AD＝10 cm.
15．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝－1.
解析：∵四边形ABCD为正方形，∴∠EBC＝45°，∠ACD＝45°.
∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝22.5°.∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝67.5°，
∴∠BEC＝67.5°，∴BE＝BC＝1.∵BD＝＝，∴DE＝－1.
16．如果一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，那么它的另一条对角线的长m的取值范围是10解析：利用三角形的三边关系可得出m的取值范围．
17．如图所示，正方形的面积为36 cm2，M是对角线AC上一点，且ME⊥AB于点E，MF⊥BC于点F，则ME＋MF＝6 cm.
解析：∵正方形的面积为36 cm2，∴AB＝BC＝6 cm.
∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠MAE＝45°，
∵ME⊥AB于点E，∴∠AEM＝90°.∴∠AME＝45°，AE＝EM.
∵ME⊥AB于点E，MF⊥BC于点F，∠EBF＝90°，∴四边形EBFM是矩形．
∴BE＝MF.∴ME＋MF＝AE＋BE＝AB＝6 cm.
18．如图所示，在?ABCD中，AB＝5，AD＝8，∠BAD，∠ADC的平分线分别交BC于点E，F，则EF＝2.
解析：∵在?ABCD中，AB＝5，AD＝8，∴BC＝8，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB，∴BE＝AB＝5，∴CE＝3.同法可求CF＝5，∴EF＝CF－CE＝2.
三、解答题(共46分)
19．(6分)如图所示，在?ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF，CE.求证：AF∥CE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠DBC.
∵BF＝DE，∴BF＋BD＝DE＋BD，即DF＝BE.在△ADF和△CBE中，
∵
∴△ADF≌△CBE(SAS)，∴∠AFD＝∠CEB，∴AF∥CE.
20．(6分)如图，在?ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且满足AE＝CG，BF＝DH.
试证明：EG，FH互相平分．
证明：如图，连接EF，FG，GH，HE.
因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC.
因为BF＝DH，所以AH＝CF.又因为AE＝CG，所以△AEH≌△CGF，所以EH＝FG.
同理HG＝EF，所以四边形EFGH是平行四边形，所以EG与FH互相平分．
21．(6分)如图所示，在?ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O.
(1)求证：BO＝DO；
(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG＝1时，求AE的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠OBE＝∠ODF.
在△OBE与△ODF中，∵
∴△OBE≌△ODF(AAS)．∴BO＝DO.
(2)解：∵EF⊥AB，AB∥DC，∴∠GEA＝∠GFD＝90°.
∵∠A＝45°，∴∠G＝∠A＝45°.∴AE＝GE.
∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠GDO＝90°.
∴∠GOD＝∠G＝45°.∴DG＝DO.∴OF＝FG＝1.
由(1)可知，OE＝OF＝1，∴GE＝OE＋OF＋FG＝3.∴AE＝3.
22．(6分)(2017·贵阳)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.
(1)证明：AF＝CE；
(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．
(1)证明：因为点D，E分别是边BC，AB上的中点，所以DE∥AC，AC＝2DE(三角形中位线)，
因为EF＝2DE，所以EF∥AC，EF＝AC，所以四边形ACEF是平行四边形，所以AF＝CE.
(2)解：当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形．
理由如下：因为∠ACB＝90°，∠B＝30°，所以∠BAC＝60°，AC＝AB＝AE，
所以△AEC是等边三角形，所以AC＝CE，又因为四边形ACEF是平行四边形，
所以四边形ACEF是菱形．
23．(6分)(2017·青岛)已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.
(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴AE＝BE＝DF＝AF，OF＝DC，OE＝BC，OE∥BC，
在△BCE和△DCF中，∵∴△BCE≌△DCF(SAS)．
(2)解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：
由(1)得：AE＝OE＝OF＝AF，∴四边形AEOF是菱形，
∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO＝90°，∴四边形AEOF是正方形．
24．(8分)如图所示，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE.
(1)求证：△ADE≌△CED；
(2)求证：DE∥AC.
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD.
又∵AC是折痕，∴BC＝CE＝AD.AB＝AE＝CD.
在△ADE与△CED中，∵∴△ADE≌△CED(SSS)．
(2)∵△ADE≌△CED，∴∠EDC＝∠DEA.又∵△ACE与△ACB关于AC所在直线对称，∴∠OAC＝∠CAB.
∵∠OCA＝∠CAB，∴∠OAC＝∠OCA，∴2∠OAC＝2∠DEA，∴∠OAC＝∠DEA，∴DE∥AC.
25．(8分)(1)如图①，在纸片?ABCD中，AD＝5，S?ABCD＝15.过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为( C )
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
(2)如图②，在(1)中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D.
①求证：四边形AFF′D是菱形；
②求四边形AFF′D的两条对角线的长．
①证明：∵AD＝5，S?ABCD＝15，∴AE＝3.
∵在题图②中，EF＝4.∴在Rt△AEF中，AF＝＝＝5.∴AF＝AD＝5.
又∵AF∥DF′，AF＝DF′，∴四边形AFF′D是平行四边形．∴四边形AFF′D是菱形．
②解：如图，连接AF′，DF.
在Rt△DE′F中，∵E′F＝E′E－EF＝5－4＝1, DE′＝3，
∴DF＝＝.
在Rt△AEF′中，∵EF′＝EF＋FF′＝4＋5＝9, AE＝3，
∴AF′＝＝3.
