第一章 不等关系与基本不等式单元测试卷
[时间120分钟 满分150分]
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知|x－a|
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
2．使不等式＋>1＋成立的正整数a的最大值是( )
A．10 B．11
C．12 D．13
答案 C
3．已知f(x)＝，设a，b∈R，a≠b，m＝|f(a)－f(b)|，则( )
A．m≤|a－b| B．m≥|a－b|
C．m<|a－b| D．m>|a－b|
答案 C
4．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x<0)，则a与b的大小关系是( )
A．ab
C．a＝b D．a≤b
答案 B
解析 ∵a＝lg2＋lg5＝1，b＝ex(x<0)，故b<1，∴a>b.
5．用分析法证明不等式的推理过程一定是( )
A．正向、逆向均可进行正确的推理
B．只需能进行逆向推理
C．只需能进行正向推理
D．有时能正向推理，有时能逆向推理
答案 B
解析 在用分析法证明不等式时，是从求证的不等式出发，逐步探索使结论成立的充分条件即可，故只需能进行逆向推理即可．
6．要使－<成立，a，b应满足的条件是( )
A．ab<0且a>b B．ab>0且a>b
C．ab<0且a0且a>b或ab<0且a答案 D
解析 －0时，有<，即b当ab<0时，有>，即b>a.
7．若x，y，a∈R＋，且＋≤a恒成立，则a的最小值是( )
A. B.
C．1 D.
答案 B
8．设a，b是正实数，以下不等式①>，②a>|a－b|－b，③a2＋b2>4ab－3b2，④ab＋>2，恒成立的序号为( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案 D
解析 对于①：－＝
＝＝≥0
①不合题意，则应排除A，B.
对于③：a2＋b2－(4ab－3b2)＝a2－4ab＋4b2
＝(a－2b)2≥0，
即a2＋b2≥4ab－3b2，③不合题意，排除C，故选D.
9．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
答案 B
解析 至少有一个不大于60°是指三个内角有一个或两个或者三个小于或等于60°，所以反设应该是它的对立情况，即假设三内角都大于60°.
10.≤1成立的一个充要条件是( )
A．ab≠0 B．a2＋b2≠0
C．a，b∈R＋ D．a，b∈R－
答案 B
解析 ≤1等价于而|a|＋|b|≥|a＋b|恒成立．
∴只需a，b不同时为0.∴a2＋b2≠0，故选B.
11．已知a>b>0，且ab＝1，若0A．p>q B．pC．p＝q D．p≥q
答案 B
解析 ∵≥ab＝1，∴p＝logc<0，
q＝logc()2＝logc>logc＝logc>0.∴q>p，故选B.
12．若a>0，b>0，则p＝(ab)，q＝ab·ba的大小关系是( )
A．p≥q B．p≤q
C．p>q D．p答案 A
解析 p＝(ab)>0，q＝ab·ba>0，
＝＝a·b＝().
若a>b，则>1，>0，∴()>1；
若a1；
若a＝b，则＝1，＝0，∴()＝1.
∴()≥1，即≥1.∵q>0，∴p≥q.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答题填写在题中的横线上．)
13．设a>5，则－与－的大小关系是________．
答案 －<－
解析 ∵a>5，只需判断＋与2的大小，即比较(＋)2与(2)2的大小，即a－3＋2＋a－5与4(a－4)的大小．只需判断(a－3)(a－5)与(a－4)2的大小，只需判断a2－8a＋15与a2－8a＋16的大小．
14．函数y＝2x2＋的最小值是________．
答案 2－2
解析 y＝2(x2＋1)＋－2≥2－2，
当且仅当2(x2＋1)＝即x＝±时取等号．
15．已知a，b，c，d∈R＋，且S＝＋＋＋，则S的取值范围是________．
答案 (1，2)
16．已知x1·x2·x3·…·x2 014＝1，且x1，x2，…，x2 014都是正数，则(1＋x1)(1＋x2)…(1＋x2 014)的最小值是________．
答案 22 014
解析 因为x1是正数，则1＋x1≥2，同理：1＋x2≥2，…，1＋x2 014≥2，
各式相乘，得(1＋x1)(1＋x2)…(1＋x2 014)≥22 014＝22 014取“＝”的条件为x1＝x2＝…＝x2 014＝1，所求最小值为22 014.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本题满分10分)
f(x)＝|x＋1|＋|x－3|.
(1)解不等式f(x)≤3x＋4；
(2)若不等式f(x)≥m的解集为R，试求实数m的取值范围．
解析 (1)f(x)＝原不等式等价于或或所以不等式的解集为[0，＋∞)．
(2)由绝对值的几何意义可知，|x＋1|＋|x－3|≥4，当且仅当－1≤x≤3时，等号成立，即f(x)min＝4，从而要使f(x)≥m的解集为R，只需m≤f(x)min，即实数m的取值范围是(－∞，4]．
x2＋y2＋z2<(x＋y＋z)2＝9，∴原不等式成立．
18．(本题满分12分)
求证：＋＋…＋<1(n∈N*，且n≥2)．
证明 ∵<＝－，
∴＋＋…＋<(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－<1.
19．(本题满分12分)
已知x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝3.
(1)求＋＋的最小值；
(2)证明：3≤x2＋y2＋z2<9.
思路 本题主要考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生的分析问题的能力和转化能力．第一问，用基本不等式分别对x＋y＋z和＋＋进行计算，利用不等式的可乘性，将两个式子乘在一起，得到所求的表达式的范围，注意等号成立的条件必须一致；第二问，先用基本不等式将x2＋y2，y2＋z2，z2＋x2变形，再把它们加在一起，得出已知中出现的x＋y＋z，从而求出最小值，而所求证的式子的右边，需作差比较大小，只需证出差值小于0即可．
解析 (1)因为x＋y＋z≥3>0，＋＋≥>0，
所以(x＋y＋z)(＋＋)≥9，即＋＋≥3，
当且仅当x＝y＝z＝1时，＝＝取最小值3.
(2)x2＋y2＋z2＝
≥＝＝3.
又x2＋y2＋z2<(x＋y＋z)2＝9，∴原不等式成立．
20．(本题满分12分)
已知x1，x2均为正数，求证：≥.
证明 假设<.
两边平方得：
<
1＋.
即<1＋x1x2.
再两边平方得1＋x12＋x22＋x12x22<1＋2x1x2＋x12x22，
即x12＋x22<2x1x2.
这与x12＋x22≥2x1x2矛盾，
所以原式成立．
21．(本题满分12分)
若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中至少有一个大于0.
证明 假设a，b，c都不大于0，
即a≤0，b≤0，c≤0，则有a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c＝(x2－2y＋)＋(y2－2z＋)＋(z2－2x＋)＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
所以a＋b＋c>0，与a＋b＋c≤0矛盾．
∴a，b，c中至少有一个大于0.
22．(本题满分12分)
已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
解析 (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，解得当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为{x|(2)由题设可得，f(x)＝所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A(，0)，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
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第一章 不等关系与基本不等式单元测试卷
[时间120分钟 满分150分]
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知|x－a|A．1 B．2
C．3 D．4
2．使不等式＋>1＋成立的正整数a的最大值是( )
A．10 B．11
C．12 D．13
3．已知f(x)＝，设a，b∈R，a≠b，m＝|f(a)－f(b)|，则( )
A．m≤|a－b| B．m≥|a－b|
C．m<|a－b| D．m>|a－b|
4．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x<0)，则a与b的大小关系是( )
A．ab
C．a＝b D．a≤b
5．用分析法证明不等式的推理过程一定是( )
A．正向、逆向均可进行正确的推理
B．只需能进行逆向推理
C．只需能进行正向推理
D．有时能正向推理，有时能逆向推理
6．要使－<成立，a，b应满足的条件是( )
A．ab<0且a>b B．ab>0且a>b
C．ab<0且a0且a>b或ab<0且a7．若x，y，a∈R＋，且＋≤a恒成立，则a的最小值是( )
A. B.
C．1 D.
8．设a，b是正实数，以下不等式①>，②a>|a－b|－b，③a2＋b2>4ab－3b2，④ab＋>2，恒成立的序号为( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
9．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
10.≤1成立的一个充要条件是( )
A．ab≠0 B．a2＋b2≠0
C．a，b∈R＋ D．a，b∈R－
11．已知a>b>0，且ab＝1，若0A．p>q B．pC．p＝q D．p≥q
12．若a>0，b>0，则p＝(ab)，q＝ab·ba的大小关系是( )
A．p≥q B．p≤q
C．p>q D．p二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答题填写在题中的横线上．)
13．设a>5，则－与－的大小关系是________．
14．函数y＝2x2＋的最小值是________．
15．已知a，b，c，d∈R＋，且S＝＋＋＋，则S的取值范围是________．
16．已知x1·x2·x3·…·x2 014＝1，且x1，x2，…，x2 014都是正数，则(1＋x1)(1＋x2)…(1＋x2 014)的最小值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本题满分10分)
f(x)＝|x＋1|＋|x－3|.
(1)解不等式f(x)≤3x＋4；
(2)若不等式f(x)≥m的解集为R，试求实数m的取值范围．
18．(本题满分12分)
求证：＋＋…＋<1(n∈N*，且n≥2)．
19．(本题满分12分)
已知x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝3.
(1)求＋＋的最小值；
(2)证明：3≤x2＋y2＋z2<9.
20．(本题满分12分)
已知x1，x2均为正数，求证：≥.
21．(本题满分12分)
若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中至少有一个大于0.
22．(本题满分12分)
已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
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