第一章 坐标系单元测试卷
[时间：120分钟 满分：150分]
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若点M的极坐标为(2，2kπ＋)(k∈Z)，则点M的直角坐标为( )
A．(1，) B．(－1，)
C．(－1，－) D．(1，－)
答案 B
2．空间直角坐标系中，点P(1，－1，1)的柱坐标为( )
A．(，，1) B．(，，1)
C．(，，1) D．(，，1)
答案 B
3．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤
C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤ D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤
答案 A
解析 将极坐标方程转化为直角坐标方程即可．A中，由ρ＝，得ρcosθ＋ρsinθ＝1，∴x＋y＝1，∴y＝1－x(0≤x≤1)．B中，由ρ＝，得y＝1－x(0≤x≤)．C中，由ρ＝cosθ＋sinθ，得ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，即x2＋y2＝x＋y(0≤x≤1)．D中，由ρ＝cosθ＋sinθ，得x2＋y2＝x＋y(0≤x≤)．
4．极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝4 B．x2＋(y＋2)2＝4
C．(x－2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝4
答案 A
解析 由ρ＝4sinθ，得ρ2＝4ρsinθ.于是x2＋y2＝4y，∴x2＋(y－2)2＝4.
5．由函数y＝cosx的图像到y＝cosx的图像的伸缩变换是( )
A. B.
C. D.
答案 C
6．已知点的极坐标为O(0，0)，A(－2，－)，B(，)，则△OAB为( )
A．等边三角形 B．等腰锐角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案 D
解析 由于点A(－2，－)，即(2，)．
又O(0，0)，B(，)，故|OA|＝2，|OB|＝.
∴|AB|＝＝.
∴∠OBA＝，所以△OAB为等腰直角三角形．
7．直线θ＝α与ρcos(θ－α)＝1的位置关系是( )
A．平行 B．相交不垂直
C．垂直 D．不确定
答案 C
8．两圆ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ的公共部分面积是( )
A.－ B．π－2
C.－1 D.
答案 C
9．曲线θ＝与ρ＝6sinθ的两个交点之间的距离为( )
A．1 B.
C．3 D．6
答案 C
10．曲线ρcosθ＋1＝0关于θ＝对称的曲线的极坐标方程是( )
A．ρsinθ＋1＝0 B．ρsinθ－1＝0
C．ρcosθ－1＝0 D．ρcosθ＋1＝0
答案 A
解析 设所求曲线上任意一点的极坐标为M(ρ，θ)，它关于θ＝的对称点为(ρ，－θ)，代入ρcosθ＋1＝0，得ρcos(－θ)＋1＝0，即ρsinθ＋1＝0为所求．
11．圆ρ＝(cosθ＋sinθ)的圆心坐标是( )
A．(1，) B．(，)
C．(，) D．(2，)
答案 A
解析 ∵圆ρ＝(cosθ＋sinθ)＝2sin(θ＋)，可以看作由圆ρ＝2sinθ绕极点顺时针旋转得到．
而ρ＝2sinθ的圆心为(1，)，顺时针旋转得到(1，)，∴ρ＝(cosθ＋sinθ)的圆心坐标为(1，)．
12．圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsin(θ＋)(r>0)的公共弦所在直线的方程为( )
A．2ρ(sinθ＋cosθ)＝r B．2ρ(sinθ＋cosθ)＝－r
C.ρ(sinθ＋cosθ)＝r D.ρ(sinθ＋cosθ)＝－r
答案 D
解析 圆ρ＝r的直角坐标方程为x2＋y2＝r2，①
圆ρ＝－2rsin(θ＋)＝－2r(sinθcos＋cosθsin)＝－r(sinθ＋cosθ)．
两边同乘以ρ，得ρ2＝－r(ρsinθ＋ρcosθ)．
∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，
∴x2＋y2＋rx＋ry＝0.②
①－②整理，得(x＋y)＝－r，即为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程．再将直线(x＋y)＝－r化为极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－r.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)
13．已知点M的柱坐标为(，，)，则点M的直角坐标为________，球坐标为________．
答案 (－，，) (，，)
解析 设点M的直角坐标为(x，y，z)，
柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)．
由得
由得即
∴点M的直角坐标为(－，，)，
球坐标为(，，)．
14．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________．
答案 (1，0) (，)
解析 圆ρ＝2cosθ的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，圆心(1，0)的极坐标仍是(1，0)，它与方程θ＝(ρ>0)所表示的图形即射线y＝x(x>0)的交点坐标是(1，1)，化为极坐标为(，)．
15．已知直线l的极坐标方程为2ρsin(θ－)＝，点A的极坐标为A(2，)，则点A到直线l的距离为________．
答案
解析 由2ρsin(θ－)＝得2ρ(sinθ－cosθ)＝，所以y－x＝1，故直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0，而点A(2，)对应的直角坐标为A(2，－2)，所以点A(2，－2)到直线l：x－y＋1＝0的距离为＝.
16．在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是________．
答案 6
解析 圆ρ＝8sinθ即ρ2＝8ρsinθ，化为直角坐标方程为x2＋(y－4)2＝16，直线θ＝，则tanθ＝，化为直角坐标方程为x－y＝0，圆心(0，4)到直线的距离为＝2，所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)根据曲线的极坐标方程判定曲线类型．
(1)ρsincos＝1；
(2)ρ2(25－16cos2θ)＝225.
解析 (1)∵ρsincos＝1，
∴2ρsincos＝2，即ρsinθ＝2.
∴y＝2为平行于x轴的直线．
(2)将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入
ρ2(25－16cos2θ)＝225，得25x2＋25y2－16x2＝225.
∴9x2＋25y2＝225.
∴＋＝1为焦点在x轴上的椭圆．
18．(12分)一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育中心的距离为200 m，每相邻两排的间距为1 m，每层看台的高度为0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立适当的坐标系，把点A的坐标求出来．
解析 以圆形体育场中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴，在地面上建立极坐标系．
则点A与体育场中轴线Oz的距离为203 m，极轴Ox按逆时针方向旋转，
就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度为2.8 m，
因此我们可以用柱坐标来表示点A的准确位置．
所以点A的柱坐标为(203，，2.8)．
19．(12分)(1)在极坐标系中，求以点(1，1)为圆心，半径为1的圆C的方程；
(2)将上述圆C绕极点逆时针旋转得到圆D，求圆D的方程．
解析 (1)设M(ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C过极点O，∠COM＝θ－1，作CK⊥OM于K，则ρ＝|OM|＝2|OK|＝2cos(θ－1)，∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．
(2)将圆C：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针方向旋转得到圆D：ρ＝2cos(θ－1－)，即ρ＝－2sin(1－θ)．
∴ρ＝2sin(θ－1)为所求．
20．(12分)在极坐标系中，已知直线l过点A(1，0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求：
(1)直线的极坐标方程；
(2)极点到该直线的距离．
解析 (1)如图，由正弦定理，得
＝，即ρsin(－θ)＝sin＝.
∴所求直线的极坐标方程为ρsin(－θ)＝.
(2)作OH⊥l，垂足为H，在△OHA中，
OA＝1，∠OHA＝，∠OAH＝，
则|OH|＝|OA|sin＝.
即极点到该直线的距离等于.
21．(12分)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
解析 以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
(1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
由ρ＝4cosθ，得x2＋y2＝4x.
即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程．
同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．
(2)方法一：由
解得或
即⊙O1，⊙O2交于点(0，0)和(2，－2)．
故过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.
方法二：两圆方程相减，即得两圆的公共弦所在直线的方程．
22．(12分)在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设R为l上任意一点，试求|RP|的最小值．
解析 (1)设点P(ρ，θ)，点M(ρ1，θ1)，
则又ρ1·cosθ1＝4，
∴·cosθ＝4，∴ρ＝3cosθ(ρ≠0)．
(2)点P的轨迹为以(，0)为圆心，半径为的圆，但除去极点．
∴|RP|的最小值为4－3＝1.
1．直角坐标系中点P(－1，－1)的极坐标是( )
A．(1，π) B．(1，π)
C．(，) D．(，－π)
答案 D
2．在极坐标系中，曲线ρ＝2上到直线ρcos(θ－)＝1距离为1的点的个数是________．
答案 3
解析 曲线ρ＝2的直角坐标方程为x2＋y2＝4，表示圆心为(0，0)，半径为2的圆；直线ρcos(θ－)＝1的直角坐标方程为x＋y－＝0，圆心到直线的距离d＝＝1，因此与直线x＋y－＝0平行且距离为1的直线有两条，一条与圆相交，一条与圆相切，所求点有3个．
3．在极坐标系中，设曲线C1：ρ＝2sinθ与C2：ρ＝2cosθ的交点分别为A，B，则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为________．
答案 ρsinθ＋ρcosθ＝1(或ρsin(θ＋)＝)
解析 曲线C1：ρ＝2sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C2：ρ＝2cosθ的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，所以AB的方程为－x＋y＝0.又易知AB的垂直平分线斜率为－1，经过圆C1的圆心(0，1)，所以AB的垂直平分线的方程为x＋y－1＝0，化为极坐标方程为ρsinθ＋ρcosθ＝1，或化成ρsin(θ＋)＝.
4．在极坐标系中，曲线ρ＝－4sinθ和ρcosθ＝1相交于点A，B，试求线段AB的长．
解析 由ρ＝－4sinθ得ρ2＝－4ρsinθ，于是在平面直角坐标系中，曲线的直角坐标方程为x2＋y2＝－4y，
即x2＋(y＋2)2＝4.而ρcosθ＝1表示直线x＝1，代入上式得(y＋2)2＝3，
解得y1＝－2＋，y2＝－2－.
∴|AB|＝|y2－y1|＝2.
5．设P为曲线ρ2－12ρcosθ＋35＝0上任意一点，O为极点，求OP中点M的轨迹的极坐标方程．
解析 设M点的极坐标为(ρ，θ)，
则P点的极坐标是(2ρ，θ)，
∵P点在ρ2－12ρcosθ＋35＝0上，
∴4ρ2－24ρcosθ＋35＝0.
即OP中点M的轨迹的极坐标方程为4ρ2－24ρcosθ＋35＝0.
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第一章 坐标系单元测试卷
[时间：120分钟 满分：150分]
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若点M的极坐标为(2，2kπ＋)(k∈Z)，则点M的直角坐标为( )
A．(1，) B．(－1，)
C．(－1，－) D．(1，－)
2．空间直角坐标系中，点P(1，－1，1)的柱坐标为( )
A．(，，1) B．(，，1)
C．(，，1) D．(，，1)
3．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤
C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤ D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤
4．极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝4 B．x2＋(y＋2)2＝4
C．(x－2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝4
5．由函数y＝cosx的图像到y＝cosx的图像的伸缩变换是( )
A. B.
C. D.
6．已知点的极坐标为O(0，0)，A(－2，－)，B(，)，则△OAB为( )
A．等边三角形 B．等腰锐角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7．直线θ＝α与ρcos(θ－α)＝1的位置关系是( )
A．平行 B．相交不垂直
C．垂直 D．不确定
8．两圆ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ的公共部分面积是( )
A.－ B．π－2
C.－1 D.
9．曲线θ＝与ρ＝6sinθ的两个交点之间的距离为( )
A．1 B.
C．3 D．6
10．曲线ρcosθ＋1＝0关于θ＝对称的曲线的极坐标方程是( )
A．ρsinθ＋1＝0 B．ρsinθ－1＝0
C．ρcosθ－1＝0 D．ρcosθ＋1＝0
11．圆ρ＝(cosθ＋sinθ)的圆心坐标是( )
A．(1，) B．(，)
C．(，) D．(2，)
12．圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsin(θ＋)(r>0)的公共弦所在直线的方程为( )
A．2ρ(sinθ＋cosθ)＝r B．2ρ(sinθ＋cosθ)＝－r
C.ρ(sinθ＋cosθ)＝r D.ρ(sinθ＋cosθ)＝－r
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)
13．已知点M的柱坐标为(，，)，则点M的直角坐标为________，球坐标为________．
14．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________．
15．已知直线l的极坐标方程为2ρsin(θ－)＝，点A的极坐标为A(2，)，则点A到直线l的距离为________．
16．在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)根据曲线的极坐标方程判定曲线类型．
(1)ρsincos＝1；
(2)ρ2(25－16cos2θ)＝225.
18．(12分)一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育中心的距离为200 m，每相邻两排的间距为1 m，每层看台的高度为0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立适当的坐标系，把点A的坐标求出来．
19．(12分)(1)在极坐标系中，求以点(1，1)为圆心，半径为1的圆C的方程；
(2)将上述圆C绕极点逆时针旋转得到圆D，求圆D的方程．
20．(12分)在极坐标系中，已知直线l过点A(1，0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求：
(1)直线的极坐标方程；
(2)极点到该直线的距离．
21．(12分)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
22．(12分)在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设R为l上任意一点，试求|RP|的最小值．
1．直角坐标系中点P(－1，－1)的极坐标是( )
A．(1，π) B．(1，π)
C．(，) D．(，－π)
2．在极坐标系中，曲线ρ＝2上到直线ρcos(θ－)＝1距离为1的点的个数是________．
3．在极坐标系中，设曲线C1：ρ＝2sinθ与C2：ρ＝2cosθ的交点分别为A，B，则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为________．
4．在极坐标系中，曲线ρ＝－4sinθ和ρcosθ＝1相交于点A，B，试求线段AB的长．
5．设P为曲线ρ2－12ρcosθ＋35＝0上任意一点，O为极点，求OP中点M的轨迹的极坐标方程．
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