第一章 坐标系综合练习
1．已知点M的极坐标为(－5，)，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标是( )
A．(5，－) B．(5，)
C．(5，－) D．(－5，－)
答案 A
解析 点(－5，)所在的位置如下图(1)所示；点(5，－)所在的位置．如下图(2)所示．
而－，的终边落在OB的位置上，极径又是正的，所以，B、C选项所表示的点也在点B的位置上；－＋2π＝，－的终边落在OA的位置上，但是极径是负的，D选项所表示的点也在点B的位置上．
2．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为( )
A．(2，) B．(2，)
C．(2，－) D．(2，－)
答案 C
解析 因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为，所以点P的一个极坐标为(2，)，排除A、B选项，－＋2π＝，所以极坐标(2，－)所表示的点在第二象限．
3．极坐标方程4ρ·cos2＝5表示的曲线是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
答案 D
4．极坐标方程ρcos2＝1化成直角坐标方程为( )
A.－x＝2 B.＋x＝1
C．y2＝4(x＋1) D．y2＝－4(x－1)
答案 D
5．设点A的柱坐标为(1，π，0)，则点A的直角坐标为( )
A．(－1，0，0) B．(1，0，0)
C．(0，0，－1) D．(－1，π，0)
答案 A
解析 设点的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，因为(ρ，θ，z)＝(1，π，0)，
由得即
所以点A(1，π，0)的直角坐标为(－1，0，0)．
6．在球坐标系中，满足θ＝，r∈[0，＋∞)，φ∈[0，π]的动点P(r，φ，θ)的轨迹为( )
A．点 B．直线
C．半平面 D．半球面
答案 C
解析 由于在球坐标系中，θ＝，r∈[0，＋∞)，φ∈[0，π]，故射线OM平分∠xOy，由球坐标系的意义，知动点P(r，φ，θ)的轨迹为二面角x－ON－y的平分面，这是半平面，如图所示．
7．极坐标方程ρ＝cosθ与ρcosθ＝的图形是( )
答案 B
解析 ρ＝cosθ表示的是以(，0)为圆心且过极点的圆，而ρcosθ＝表示的是过(，0)且垂直于极轴的直线．∴直线ρcosθ＝过ρ＝cosθ的圆心．
8．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是( )
A．(1，) B．(1，－)
C．(1，0) D．(1，π)
答案 B
解析 由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为(1，－)．
9．在极坐标系中，点(2，－)到圆ρ＝－2cosθ的圆心的距离为( )
A．2 B.
C. D.
答案 D
解析 在直角坐标系中，点(2，－)的直角坐标为(1，－)，圆ρ＝－2cosθ的直角坐标方程为x2＋y2＝－2x，即(x＋1)2＋y2＝1，圆心为(－1，0)，所以所求距离为＝.故选D.
10．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋)＝2被圆ρ＝2截得的弦长为________．
答案 4
解析 直线ρsin(θ＋)＝2的直角坐标方程为x＋y－2＝0，圆ρ＝4的直角坐标方程为x2＋y2＝16.圆心的坐标是(0，0)，半径是4，圆心到直线的距离d＝＝2，所以直线ρsin(θ＋)被圆ρ＝4截得的弦长是2＝4.
11．圆ρ＝4cosθ的圆心到直线tanθ＝1的距离为______．
答案
12．已知直线的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝，则极点到该直线的距离是________．
答案
解析 极点的直角坐标为(0，0)，ρsin(θ＋)＝ρ(sinθ＋cosθ)＝，
∴ρsinθ＋ρcosθ＝2化为直角坐标方程为x＋y－2＝0.
∴点O(0，0)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝，
即极点到直线的距离为.
13．(1，1，1)的柱坐标为________；已知点P的球坐标为(4，π，)，则它的直角坐标为________．
答案 (，，1)；(2，2，－2)．
解析 柱坐标中ρ＝＝，tanθ＝＝1，θ＝(在第一象限内)，∴柱坐标为(，，1)．
根据坐标变换公式，得
∴它的直角坐标为(2，2，－2)．
14．圆心为C(3，)，半径为3的圆的极坐标方程是什么？
解析 如图，
设圆上任一点P(ρ，θ)，
则|OP|＝ρ，∠POA＝θ－.
在Rt△OAP中，
|OP|＝|OA|cos∠POA，
∴ρ＝6cos(θ－)．
∴圆的极坐标方程为ρ＝6cos(θ－)．
15．设过原点O的直线与圆(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点．当点P在圆上移动一周时，求点M的轨迹方程(极坐标方程)，并作出简图．
解析 如下图所示，圆的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
设圆上动点P(r，φ)，中点M(ρ，θ)，则
代入圆的方程，得2ρ＝2cosθ.
即ρ＝cosθ，－≤θ≤.
轨迹为圆心在点(0.5，0)，半径为0.5的圆．
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第一章 坐标系综合练习
1．已知点M的极坐标为(－5，)，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标是( )
A．(5，－) B．(5，)
C．(5，－) D．(－5，－)
2．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为( )
A．(2，) B．(2，)
C．(2，－) D．(2，－)
3．极坐标方程4ρ·cos2＝5表示的曲线是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
4．极坐标方程ρcos2＝1化成直角坐标方程为( )
A.－x＝2 B.＋x＝1
C．y2＝4(x＋1) D．y2＝－4(x－1)
5．设点A的柱坐标为(1，π，0)，则点A的直角坐标为( )
A．(－1，0，0) B．(1，0，0)
C．(0，0，－1) D．(－1，π，0)
6．在球坐标系中，满足θ＝，r∈[0，＋∞)，φ∈[0，π]的动点P(r，φ，θ)的轨迹为( )
A．点 B．直线
C．半平面 D．半球面
7．极坐标方程ρ＝cosθ与ρcosθ＝的图形是( )
8．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是( )
A．(1，) B．(1，－)
C．(1，0) D．(1，π)
9．在极坐标系中，点(2，－)到圆ρ＝－2cosθ的圆心的距离为( )
A．2 B.
C. D.
10．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋)＝2被圆ρ＝2截得的弦长为________．
11．圆ρ＝4cosθ的圆心到直线tanθ＝1的距离为______．
12．已知直线的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝，则极点到该直线的距离是________．
13．(1，1，1)的柱坐标为________；已知点P的球坐标为(4，π，)，则它的直角坐标为________．
14．圆心为C(3，)，半径为3的圆的极坐标方程是什么？
15．设过原点O的直线与圆(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点．当点P在圆上移动一周时，求点M的轨迹方程(极坐标方程)，并作出简图．
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