立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合练习（PDF版含答案解析）
文档属性
| 名称 | 立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合练习（PDF版含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 383.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-25 14:45:54 | ||
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文档简介
试卷第 1页，总 9页
立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（题型注释）
1．若指数函数
xay )2( ?? 在 ( )?? ? ?， 上是减函数，那么（ ）
A、 0 1? ?a B、 12 ??? a C、 3?a D、 32 ?? a
2 ． 若 数 列 ?? na 的 通 项 公 式 是 ( 1) (3 2)nna n? ? ? , 则 1 2 10a a a? ? ???? ?
（ ）
A．15 B．12 C．－12 D．－15
3．已知? ?na 为等差数列，其前 n 项和为 nS ，若 3 36, 12a S? ? ，则公差 d 等于（ ）
A.1 B.
5
3
C.2 D.3
4．已知向量 (1, 2)?a ， (2, 3)? ?b ．若向量 c满足 ( ) / /?c a b ， ( )? ?c a b ，则 c ?
A．
7 7( , )
9 3 B．
7 7( , )
3 9
? ?
C．
7 7( , )
3 9 D．
7 7( , )
9 3
? ?
5．已知? 为锐角，若
1sin 2 cos 2
5
? ?? ? ? ，则 tan? ?（ ）
A.3 B.2 C.
1
2
D.
1
3
6．在 ABC? 中， 15a ? ， 10b ? ， 60A ? ?，则 cosB ?（ ）
A.
3
3
B.
6
3
C.
3
4
D.
6
4
7．已知数列{ }na 满足 1 0a ? ， 1 2 1 1n n na a a? ? ? ? ? ，则 13a ? ( )
A. 143 B. 156 C. 168 D. 195
8．已知数列｛ a n｝是等比数列，a 1=1，并且 a 2，a 2+1，a 3成等差数列，则 a 4=（ ）
A、－1 B、－1 或 4 C、 －1或 8 D、8
9． 在△ABC中， 3?a ， 3?b ，A=120°，则 B等于
A. 30° B. 60° C. 150° D. 30°或 150°
10．在 ABC? 中，a、b、c分别是角 A、B、C所对的边， , 3, 3
3
A a b c?? ? ? ? ，
则 ABC? 的面积 S ? （ ）
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A．1 B．
3
2
C． 3 D．2
11．函数
2, 0
( )
2, 0
x x
f x
x x
??
? ?? ? ?
?
? ，则不等式
2( )f x x? 的解集是
（A）[ 1,1]? （B）[ 2,2]? （C）[ 2,1]? （D）[ 1, 2]?
12．在△ABC 中，若 bccba 3222 ??? ，则角 A的度数为（ ）
A．30° B．150° C．60° D．120°
13．若角? 的终边经过点 )2,1( ?P ，则 ?tan 的值为（ ）
A.
5
5
B.
5
52
? C. 2? D.
2
1
?
14．在锐角 ABC? 中，角 ,A B所对的边长分别为 ,a b，若 2 sin 3a B b? ，则角 A等
于（ ）
A.
12
?
B.
6
?
C.
4
?
D.
3
?
15．已知向量 )2,1(?a ， )2,( ?? xb ，且 ba ? ，则 ??ba （ ）
A．5 B． 5 C． 24 D． 31
16．如果 0a b? ? ，则下列不等式成立的是（ ）
A．
1 1
a b
? B． 2ab b?
C． 2ab a? ? ? D． 1 1
a b
? ? ?
17．直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，若CA ?
????
a CB ?
????
b 1CC ?
?????
c 1AB ?
????
则
(A) a+b-c (B) a–b+c (C)-a+b+c． (D)-a+b-c
18．函数 ? ? xxxxf cossin3sin 2 ?? 在区间 ??
?
??
?
2
,
4
??
上的最大值为（ ）
（A）
2
3
（B） 31? （C）1 （D）
2
31?
19．已知函数 ? ? ? ?cos 0
2
f x x ?? ? ?? ?? ? ? ?? ?
? ?
的部分图象如图所示， ? ? ? ?0 0f x f? ? ，
则正确的选项是（ ）
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A． 0, 16
x?? ? ? B． 0
4,
6 3
x?? ? ?
C． 0, 13
x?? ? ? D． 0
2,
3 3
x?? ? ?
20．已知 aba ,2||,1|| ?? 与b的夹角为 600,若 bka ? 与b垂直,则 k 的值为（ ）
A．
4
1
? B．
4
1
C．
4
3
? D．
4
3
21．函数 ? ? ? ?sin , 0, 0,
2
f x A x x R A ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?
? ?
的部分图象如图所示,
如果 1 2, ,6 3
x x ? ?? ?? ?? ?
? ?
,且 ? ? ? ?1 2f x f x? ,则 ? ?1 2f x x? ?（ ）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．1
22 ． ． 设 G 是 ABC? 的 重 心 ， 且
0)sin35()sin40()sin56( ??? GCCGBBGAA ，则角B的大小为
（ ）
A．45° B．60° C．30° D．15°
23．在△ABC 中，a=2，b=2 ，B=45°，则 A等于（ ）
A．30° B．60° C．60°或 120° D．30°或 150°
24．已知数列? ?na 满足 ? ?1 2
43 0, , 10
3n n n
a a a a? ? ? ? ? 则 的前 项和等于（ ）
A． ? ?-10-6 1-3 B． ? ?-101 1-39 C． ? ?
-103 1-3 D． ? ?-103 1+3
25．若平面向量b与向量 )1,2(?a 平行，且 52|| ?b ，则 ?b ( )
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A． )2,4( B． )2,4( ?? C． )3,6( ? D． )2,4( 或 )2,4( ??
26．已知平面向量
?
OA、
?
OB 、
?
OC 为三个单位向量，且
?
OA 0??
?
OB ，满足
?
OC ??
?
OAx ),( RyxOBy ?
?
，则 yx ? 的最大值为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
27．设 ,x y满足不等式组
6 0
2 1 0
3 2 0
x y
x y
x y
? ? ??
? ? ? ??
? ? ? ??
，若 z ax y? ? 的最大值为2 4a ? ，最小值为
1a? ，则实数 a的取值范围是
A．[ 2,1]? B．[ 1, 2]? C．[ 3, 2]? ? D．[ 3,1]?
28．已知函数
2 1
2
x
y
x
? ?
? ?
??
( 0)
( 0)
x
x
?
?
，使函数值为 5 的 x的值是（ ）
A．-2 B．2 或
5
2
? C． 2 或-2 D．2 或-2 或
5
2
?
29．函数 ]
2
,0[,1cos4cos3 2 ????? xxxy 的最小值为（ ）
A．
3
1- B．0 C．
3
1
D．1
30．在 ABC? 中，内角 , ,A B C对应的边分别为 , ,a b c，若 ? ?2 2 2 tanCa b c ab? ? ? ，
则角C等于（ ）
A．30° B．60°
C．30°或 150° D．60°或 120°
31．设直线 ,m n是两条不同的直线， ,? ? 是两个不同的平面，则 / /? ?的一个充分条
件是（ ）
A. / / , / / ,m n m n? ? ? B. / / , , / /m n m n? ??
C. , / / ,m n m n? ?? ? D. , , / /m n m n? ?? ?
32．已知函数
( ) lg
1
xf x
x
?
? ，若 ( ) ( ) 0f a f b? ? 且 0 1a b? ? ? ，则 ab的取值范围
是（ ）
A．
10,
2
? ?
? ?? ? B．
10,
2
? ?
? ?
? ? C．
10,
4
? ?
? ?? ? D．
10,
4
? ?
? ?
? ?
33．已知? 、? 是两个平面，m、n是两条直线，则下列命题不正确．．．的是（ ）
A．若m n∥ ，m ?? ，则 n ?? B．若m ?? ，m ?? ，则? ?∥
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C．若m ?? ，m ?? ，则? ?? D．若m ?? ， n? ? ?I ，则m n∥
34．已知 1sin
6 3
? ?? ?? ?? ?
? ?
，则
2cos 2
3
? ?? ??? ?
? ?
的值等于（ ）
A. 5
9
? B. 7
9
? C. 5
9
D. 7
9
二、填空题（题型注释）
35．.
cos 2sinsin 3cos 0,
2cos 3sin
? ?? ?
? ?
?
? ?
?
若 则 的值为 .
36．已知正数 x, y 满足 x+2y=1,则
1 1
x y
? 的最小值是 .
37．若实数 yx, 满足
?
?
?
?
?
???
??
???
02
0
022
yx
yx
yx
，则 yxz 2?? 的最小值为__________
38．已知幂函数 ( )y f x? 的图象过点 14,
2
? ?
? ?
? ?
，则 (2)f ? __________．
39．函数 ? ? 22xf x a
x
? ? ? 的一个零点在区间 ? ?1,2 内，则实数 a 的取值范围
是 .
40．已知函数
2( ) ln( 1 )f x x x? ? ? ，若实数 ,a b满足 ( 1) ( ) 0f a f b? ? ? ，则a b? 等
于 .
41．数列? ?na 满足 1 2a ? ， 1
1
1
1
n
n
n
aa
a
?
?
?
?
?
，其前 n项积为 nT ，则 2015T ? ．
42．已知函数 f(x)＝logax(a>0，a≠1)，若 f(2)>f(3)，则实数 a的取值范围是________．
三、解答题（题型注释）
43．在 ABC? 中，角 CBA ,, 的对边分别是 cba ,, 已知向量 )cos,(cos BAm ?
?
)2,( bcan ??
?
,且
??
nm // .
（1）求角 A的大小；
（2）若 4,a ABC? ?求 面积的最大值。
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44．已知函数 f（x）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求 f（x）的单调递增区间.
45．已知等比数列{ }na 中， 2 52, 128a a? ? .若 2logn nb a? ，数列{ }nb 前 n项的和为
nS .
（Ⅰ）若 35nS ? ，求 n的值；
（Ⅱ）求不等式 2n nS b? 的解集.
（Ⅲ）设 ( 3)n n nc a b? ? ,求数列? ?nc 的前 n 项的和 Tn。
46．已知数列? ?na 与? ?nb 满足 ? ? ? ?1 12n n n na a b b n N ?? ?? ? ? ? .
（1）若 1 1, 3 5na b n? ? ? 数列? ?na 的通项公式；
（2）若 ? ?1 6, 2nna b n N ?? ? ? 且 2 2nna n? ?? ? ? 对一切 n N ?? 恒成立,求实数?
的取值范围.
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47．设 nS 是数列{ }na 的前 n项和，已知 1 3a ? ， 1 2 3n na S? ? ? .
（1）求数列{ }na 的通项公式；
（2）令 (2 1)n nb n a? ? ，求数列{ }nb 的前 n项和 nT .
48．(本小题共 13 分)
已知函数
2( ) sin cos 3 sinf x x x x? ? .
(I)求 ( )f x 的最小正周期； (II)求 ( )f x 在区间[0, ]
4
?
上的取值范围.
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49．（本小题满分 12 分）在直三棱柱 ABC—A1B1C1中，∠ ACB=90°，AC=BC=AA1=1，D、
E分别为棱 AB、 BC 的中点，M为棱 AA1上的点。
（1）证明：A1B1⊥C1D；
（2）当 ADEMAM ??? 求二面角时,
2
3
的大小。
试卷第 9页，总 9页
50 ． 如 图 ， 在 棱 柱 1 1 1ABC A BC? 中 ， 侧 棱 1AA ? 底 面
1, 3, 4, 5, 4ABC AC BC AB AA? ? ? ? ，点D是 AB的中点.
（1）求证： 1 / /AC 平面 1CDB ；
（2）求直线 1AB 与平面 1 1BBC C所成的角的正切值.
51．（本题满分 16 分）
如图，在棱长为 1 的正方体 1AC 中， E、 F 分别为 11DA 和 11BA 的中点．
（1）求异面直线 AE和 BF 所成的角的余弦值；
（2）求平面 1BDD 与平面 1BFC 所成的锐二面角的余弦值；
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答案第 1页，总 14页
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：由指数函数
xay )2( ?? 在 ( )?? ? ?， 上是减函数可知：
0 2 1 2 3a a? ? ? ? ? ? ，故选 D.
考点：本题考查指数函数性质。
2．A
【解析】 1 2 10 1 4 7 10 ( 25) 28a a a? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?
( 1 4) ( 7 10) ( 25 28) 3 3 3 15.? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? 故选 A
3．C
【解析】
试 题 分 析 ： 由 题 意 可 得 1 3 23
3( ) 3 2 12
2 2
a a aS ? ?? ? ? ， 解 得 2 4a ? ， 故 公 差
3 2 6 4 2d a a? ? ? ? ? ，故答案为：2.
考点：1.等差数列的前 n 项和；2.等差数列的公差.
4．D
【解析】略
5．A
【解析】
试 题 分 析 ：
1sin 2 cos 2
5
? ?? ? ?
2 2 2
2 2 2
2sin cos cos sin 2 tan 1 tan 1
sin cos tan 1 5
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ?
2
1-3tan03tan5tan2 2 或????? ??? （舍），故选 A.
考点：三角恒等变换.
6．B
【解析】由正弦定理
B
b
A
a
sinsin
? ，可得
3
3
15
60sin10sin ??
?
B ，又因为 ba ? ，所以
A>B，B 为锐角，
3
6
3
11cos ???B ，故选 B
7．C
【解析】
试题分析：由 1 2 1 1n n na a a? ? ? ? ? ，可知
2
1 1 1 2 1 1 ( 1 1)n n n na a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
即 1 1 1 1n na a? ? ? ? ? ，故数列 { 1}na ? 是公差为 1 的等差数列，
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答案第 2页，总 14页
所以 13 11 1 12 13a a? ? ? ? ? ，则 13 168a ? . 故选 C.
考点：数列的递推问题，等差数列的通项公式.
8．C
【解析】
试题分析：设等比数列? ?na 的公比为q，则 2a q? ， 23a q? ．因为 2a ， 2 1a ? ， 3a 成等差
数列，所以 ? ?2 2 32 1a a a? ? ? ，即 ? ? 22 1q q q? ? ? ，解得： 1q ? ? 或 2q ? ．当 1q ? ? 时，
? ?334 1 1a q? ? ? ? ? ；当 2q ? 时， 3 34 2 8a q? ? ? ．故选 C．
考点：1、等比数列的通项公式；2、等差中项．
【思路点晴】本题主要考查的是等比数列的通项公式和等差中项，属于容易题．本题通过求
等比数列的基本量，利用通项公式求解．解本题需要掌握的知识点是等比数列的通项公式和
等差中项，即等比数列的通项公式： 11
n
na a q
?? ；若 a，?，b成等差数列，则2 a b? ? ? ．
9．A
【解析】略
10．B
【解析】根据余弦定理得： 2 2 2( 3) 2 cos ,
3
b c bc ?? ? ? 23 ( ) 3 9 3b c bc bc? ? ? ? ?
2.bc ? 所以 1 1 3sin 2 sin .
2 2 3 2
S bc A ?? ? ? ? ? 故选 B
11．A
【解析】本题考查分段函数的含义,不等式的解法,分类讨论思想.
（1）当 0x ? 时， 2( )f x x? 可化为 2
0
2
x
x x
??
? ? ??
，即 2
0
2 0
x
x x
??
? ? ? ??
，解得 1 0;x? ? ?
（2））当 0x ? 时， 2( )f x x? 可化为 2
0
2
x
x x
??
?? ? ??
，即 2
0
2 0
x
x x
??
? ? ? ??
，解得0 1;x? ?
综上：不等式
2( )f x x? 的解集是? ?| 1 1 .x x? ? ? 故选 A
12．A
【解析】
试题分析：在 ABC? 中，有余弦定理 bccbaAbccba 3,cos2 222222 ?????? 又 ，所
以
2
3coscos23 ????? AAbcbc ，再由 ），（ ?? 180,0?A 可得 ?30?A
考点：余弦定理
13．C
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答案第 3页，总 14页
【解析】
试题分析：由任意角的正切的定义得
2tan = = 2
1
y
x
? ?? ? .故选 C.
考点：任意角的正切的定义.
14．D
【解析】
试题分析：因为 2 sin 3a B b? ，由正弦定理得2sin sin 3 sinA B B? ，所以 3sin
2
A ? ，
又因为锐角三角形，所以
3
A ?? ，故选 D.
考点：正弦定理.
15．A
【解析】
试题分析：因为 ba ?
所以 40)2(210 ?????????? xxba
所以 )0,5()0,41( ????ba
所以 5|| ??ba
故答案选 A
考点：向量的数量积；向量的模.
16．D
【解析】
试题分析： 0a b? ? ，设 2, 1a b? ? ? ? ，代入不等式验证可得 D 正确
考点：不等式性质
17．D
【解析】要表示向量 1AB
????
，只需要用给出的基底 a b c
? ? ?
，， 表示出来即可，要充分利用图形的
直观性，熟练利用向量加法的三角形法则进行运算．
解答：解： 1AB
????
= 1 1A A AB CC CB CA? ? ? ? ?
????? ???? ????? ???? ????
=-a b c? ?
? ? ?
故选 D．
18．A
【解析】略
19．A
【解析】
试题分析：由函数的图象可知 ? ? 30
2
f ? ，即 3cos
2
? ? ，因为 0
2
??? ? ，所以
6
?? ? ，
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答案第 4页，总 14页
因为
? ? ? ?0
30
2
f x f? ? ? ? ，所以 ? ?0
3cos
2
x? ?? ? ? ，所以 0
7
6
x ?? ?? ? ，解得 0 1x ? ，
故选 A．
考点：三角函数的图象与性质．
20．A
【解析】因为a
?
与b
?
的夹角为 60°，所以
1cos60
2 2| | | |
a b a b
a b
? ?
? ? ?
?
?
? ? ? ?
? ? ，则 1a b? ?
? ?
。又因
为a kb?
? ?
与b
?
垂直，所以
2( ) | | 4 1 0a kb b a b k b k? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
，解得
1
4
k ? ? ，故选 A
21．C
【解析】
试题分析： 1?A , ???
?
?
??
?
?
?
?
? ???
63
22 ,所以 2?? ，当
6
?
??x 时， 0
6
2 ???
?
?
?
?
??? ?? ，
解得
3
?? ? ，函数为 ? ? ?
?
?
?
?
? ??
3
2sin ?xxf 根据对称性，可知在区间 ?
?
?
?
?
?
36
- ??， 的轴是
12
?
?x ，
那么 ? ? ??
?
?
?
?
???
?
?
?
?
? ???
612
221
?? ffxxf
2
3
3
2sin ?? ，故选 C.
考点：1. ? ??? ?? xAy sin ；2.三角函数的性质.
22．B
【解析】略
23．A
【解析】
试 题 分 析 ： 由 题 已 知 两 边 及 一 边 所 对 的 角 则 ， ∵ 由 正 弦 定 理 可 得 ：
sinA= = = ，
又∵a=2＜b=2 ，∴A＜B，∴可解得：A=30°
考点：运用正弦定理解三角形（注意角的多种情况的判断）.
24．C
【解析】
试题分析：由已知得 1 4a ? , 1
1
3
n
n
a
a
? ? ? ,所以数列? ?na 是以首项为 4,公比为
1
3
? 的等比数
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答案第 5页，总 14页
列,由等比数列前 n项和公式得 ? ?
10
10
10
14 1
3
3 1 3
11
3
S ?
? ?? ?? ? ?? ?? ?
? ?? ?? ?? ? ? ?
? ?? ?? ?
? ?
.故正确答案为 C.
考点：1.等比数列定义;2.等比数列前 n项和.
25．D
【解析】分析：用向量平行的充要条件和向量的模的平方等于向量的平方求值．
解答：解：设b =ka
?
=（2k，k），
而 52|| ?b ，则 25k =2 5，即 k=±2，
故 ?b （4，2）或（-4，-2）．
故答案为 D
26．B.
【解析】
试题分析：因为平面向量
?
OA、
?
OB、
?
OC为三个单位向量，且
?
OA 0??
?
OB ，
将
?
OC ??
?
OAx ),( RyxOBy ?
?
两边平方得，
?????
???? OBOAxyOByOAxOC 2
2
2
2
2
2
，所
以 122 ?? yx .
又因为 2)(22)( 22222 ??????? yxxyyxyx ，所以 2?? yx .所以 yx ? 的最大值
为 2 .
考点：平面向量及应用.
27．A
【解析】
试题分析：由 z ax y? ? 得 zaxy ??? ，直线 zaxy ??? 是斜率为 a? ， y轴上的截距为
z的直线，做出不等式组对应的平面区域如图，则 ? ?11，A ， ? ?42，B ，∵ z ax y? ? 的最大值
为2 4a ? ，最小值为 1a? ，∴直线 z ax y? ? 过点B时，取得最大值为2 4a ? ，经过点 A
时取得最小值为 1a? ，若 0?a ，则 zy ? ，此时满足条件，若 0?a ，则目标函数斜率
0??? ak ，要使目标函数在 A处取得最小值，在 B处取得最大值，则目标函数的斜率满
足 1???? BCka ，即 10 ?? a ，若 0?a ，则目标函数斜率 0??? ak ，要使目标函数在 A
处取得最小值，在 B处取得最大值，则目标函数的斜率满足 2??? ACka ，即 02 ??? a ，
综上 12 ??? a -2≤a≤1，故选：A．
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考点：简单的线性规划.
28．A
【解析】
试题分析：根据题意，由于函数
2 1
2
x
y
x
? ?
? ?
??
( 0)
( 0)
x
x
?
?
，那么当 x>0,-2x=5,x 的值为负数不
符合题意，舍去，当 0x ? ,则 2 1x ? =5，x=-2，故可值函数值为 5 的 x 的取值为-2，选 A.
考点：分段函数
点评：主要是考查了分段函数解析式的运用，属于基础题。
29．A
【解析】
试题分析：由题根据所给函数利用二次函数性质分析计算即可．
2
2 2 13cos 4cos 1 3 cos , [0, ],
3 3 2
y x x x x ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ?
? ?
?
2cos
3
x? ? 时，所给函数取得最小值
3
1- ，故选 A．
考点：三角函数的最值
30．C
【解析】
试题分析：由于 ? ?
2 2 2
2 2 2 1 1tanC , tan ,cos tan sin
2 2 2
a b ca b c ab C C C C
ab
? ?
? ? ? ? ? ? ，
故为30 ,150? ? .
考点：解三角形．
31．D
【解析】
试题分析：两个平面的垂线平行，则这两个平面平行，故选 D.
考点：空间点线面位置关系.
32．D
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【解析】
试题分析：由已知得： ( ) ( ) lg lg lg 0 1
1 1 (1 )(1 )
a b abf a f b a b
a b a b
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
，
所以 2
1( )
2 4
a bab ?? ? .注意，因为 a b? ，所以不能取等号.选 D.
考点：1、对数函数及对数的基本运算；2、重要不等式.
33．D
【解析】
试题分析：D 选项，结论为m n? .故选 D.
考点：直线和平面平行和垂直的判定和性质.
34．B
【解析】
试 题 分 析 ： 令
6
? ? ?? ? ， 有 1sin
3
? ? ， 则
6
?? ?? ? ， 从 而
2 22 2 2
3 3 6
? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?
? ?
， 所 以
22 7cos 2 cos( 2 ) cos 2 (1 2sin )
3 9
? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ?
，故选择 B.这里用了配角
技巧，具体方法从本题的解法去体会.
考点：三角函数求值和配角技巧.
35．
5
11
?
【解析】解：因为
cos 2sin cos 6cos 5sin 3cos 0,
2cos 3sin 2cos 9cos 11
? ? ?
? ? ? ?
? ?
? 则 =? ? ? ?? ?
? ? ? ?
36． 3 2 2?
【解析】
试 题 分 析 ： 根 据 题 意 ， 由 于 正 数 x, y 满 足 x+2y=1, 则
1 1 1 1 2 2( )( 2 ) 3 3 2 3 2 2y x y xx y
x y x y x y x y
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 当 且 仅 当
x=
1 2 2 2 2 22 , 2 1
2 22 2
y y x? ?? ? ? ? ? ?
?
等 号 成 立 ， 故 可 知 答 案 为
3 2 2?
考点：均值不等式
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点评：本题考查基本不等式的应用，把要求的式子变形为 均值不等式的形式，属于基础题。
37．-3
【解析】不等式组
?
?
?
?
?
???
??
???
02
0
022
yx
yx
yx
区域如右图阴影部分，把直线 yxz 2?? 平移到点（-1，
-1）时，Z有最小值为-1-2=-3
x
Y
2 O
1
（-1,-1
38．
1
4
【解析】
试题分析：设 ( )f x x?? ，过点可得： 1 1( ) 4, 2. (2)
2 4
f? ?? ? ? ?
考点：求幂函数的解析式
39． ? ?0,3
【解析】
试题分析：由于函数 ? ? 22xf x a
x
? ? ? 在 ? ?1,2 上单调递增，且函数 ? ? 22xf x a
x
? ? ? 的
一个零点在区间 ? ?1,2 内，则有 ? ?1 0f a? ? ? 且 ? ?2 3 0f a? ? ? ，解得0 3a? ? .
考点：1.函数的单调性；2.零点存在定理
40．1
【解析】
试 题 分 析 ： 因 为
2( ) ln( 1 )f x x x? ? ? ， 所 以
? ? ? ?2 2( ) ( ) ln 1 ln 1f x f x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?
? ?? ?2 2ln 1 1 ln1 0x x x x? ? ? ? ? ? ? ， 若 实 数 ,a b 满 足 ( 1) ( ) 0f a f b? ? ? ， 则
1 0a b? ? ? ，所以 1a b? ? .
考点：对数的运算性质.
41．3
【解析】
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试 题 分 析 ： 由 1
1
1
1
n
n
n
aa
a
?
?
?
?
?
可 得 1
1
1
n
n
n
aa
a?
?
?
?
， 因 为 1 2a ? ， 所 以
2 3 4 5
1 13, , , 2
2 3
a a a a? ? ? ? ? ? ，?，
所以数列? ?na 是周期为 4的周期数列，且 1 2 3 4 1a a a a ? ，又因为 2015 4 503 3? ? ? ，所以
2015
12 ( 3) ( ) 3
2
T ? ? ? ? ? ? ．
考点：数列的递推公式，周期数列．
【方法点睛】该题考查的是有关数列的递推公式的问题，属于中等题目，在解题的过程中，
将 1
1
1
1
n
n
n
aa
a
?
?
?
?
?
转化为 1
1
1
n
n
n
aa
a?
?
?
?
，结合题中所给的首项 1 2a ? ，根据式子，写出数列的
前几项，在写的过程中，可以发现规律，数列为周期数列，最后将 2015T 转化为 3T ，很简单
就能求得结果，再者需要注意数列的周期性的推导过程．
42．(0，1)
【解析】因为 f(2)>f(3)，所以 f(x)＝logax 单调递减，则 a∈(0，1)．
43．（1）
3
?
（2） 4 3
【解析】
试题分析：（I） 因为 m//n.，所以， cos (2 )cos 0a B c b A? ? ? ，由正弦定理，得：
sin cos (2sin sin )cos 0A B C B A? ? ? ，所以 sin cos 2sin cos sin cos 0A B C A B A? ? ?
即sin cos sin cos 2sin cosA B B A C A? ? ，所以，sin(A+B)＝2sinCcosA
又 A＋B＋C＝? ，所以，sinC＝2sinCcosA，因为 0＜C＜? ，所以 sinC＞0，
所以 cosA＝
1
2
，又 0＜A＜? ，所以 A＝
3
?
。
（2）由余弦定理，得：
2 2 2 2 cosa b c bc A? ? ? ，所以 16＝ 2 2b c bc bc? ? ? ，所以 bc≤
16，当且仅当 b＝c＝4 时，上式取“＝“，所以，△ABC 面积为 S＝
1 sin
2
bc A≤4 3，
所以△ABC 面积的最大值为 4 3
考点：向量运算，三角函数化简及解三角形
点评：均值不等式求最值时注意验证等号成立条件
44．（Ⅰ）因为 ? ? 2sin cos cos2f x x x x? ? ?? ?
sin 2 cos2x x? ?? ?
π2 sin 2
4
x? ?? ?? ?
? ?
? ，
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所以 ? ?f x 的最小正周期 2π π
2
Τ ? ?
? ?
．
依题意，
π π?
?
，解得 1? ? ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ? ? π2 sin 2
4
f x x? ?? ?? ?
? ?
．
函数 siny x? 的单调递增区间为 π π2 π ,2 π
2 2
k k? ?? ?? ?? ?
（ k?Ζ ）．
由
π π π2 π 2 2 π
2 4 2
k x k? ? ? ? ? ，得 3π ππ π
8 8
k x k? ? ? ? ．
所以 ? ?f x 的单调递增区间为 3π ππ , π
8 8
k k? ?? ?? ?? ?
（ k?Ζ ）．
【考点】两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.
【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三
角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；
2.利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函
数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考
虑化为同名三角函数或用差值法（例如与 0 比较，与 1 比较等）求解．
45．（Ⅰ） 42 1 5 12, 128a a q a a q? ? ? ?? 得
3 64q ? 1
14,
2
q a? ? ?
1 1 2 3
1
1 4 2
2
n n n
na a q
? ? ?? ? ? ? ?
2 3
2 2log log 2 2 3
n
n nb a n
?? ? ? ? ?
1 [2( 1) 3] (2 3) 2n nb b n n? ? ? ? ? ? ? ??
{ }nb? 是以 1 1b ? ? 为首项，２为公差的等差数列.
2( 1 2 3) 35, 2 35 0
2n
n nS n n? ? ?? ? ? ? ? ?
( 7)( 5) 0 7n n n? ? ? ?即
（Ⅱ） 2 22 2 2(2 3) 6 6 0n nS b n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ??
3 3 3 3n? ? ? ? ? n N ???
2 , 3 , 4n? ? 即，所求不等式的解集为{2 , 3, 4}
（Ⅲ）解：
46 ． （ 1 ）
? ? ? ? ? ?1 1 1 12 , 3 5, 2 2 3 8 3 5 6n n n n n n n n na a b b b n a a b b n n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ,
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所以? ?na ,是等差数列,首项为 1 1a ? ,公差为6 ,即 6 5na n? ? .
（ 2 ） ? ?1 112 , 2 2 2 2n n n nn n nb a a ? ??? ? ? ? ? ?? , 当 2n ?
时 , ? ? ? ? ? ? 1 2 11 1 2 2 1 1... 2 2 ... 2 6 2 2n n nn n n n na a a a a a a a ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,
当 1n ? 时 , 1 6a ? , 符 合 上 式 ,
12 2nna
?? ? ? , 由 2 2nna n? ?? ? ? 得
1 1 2 1 2????
2 1 1 1, 0
2 2 2 2 2 2
n
n n n n n
n n n n n? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ，所以，当 1,2n ? 时， 1
2
2
n
n
n
?
?
取最大值
3
4
，
故?的取值范围为 3 ,
4
? ???? ?
? ?
.
考点：等差数列的通项公式求和公式等有关知识的综合运用．
47．（1）当 2n ? 时，由 1 2 3n na S? ? ? ，得： 12 3n na S ?? ? ，
两式相减，得： 1 12 2 2n n n n na a S S a? ?? ? ? ? ，∴ 1 3n na a? ? ，∴ 1 3n
n
a
a
? ? .
当 1n ? 时， 1 3a ? ， 2 1 12 3 2 3 9a S a? ? ? ? ? ，则 2
1
3a
a
? ，
∴数列{ }na 是以 1 3a ? 为首项，公比为 3 的等比数列，∴
13 3 3n nna
?? ? ? .
（2）由（1）得： (2 1) (2 1) 3nn nb n a n? ? ? ? ? ，
∴ 2 31 3 3 3 5 3 (2 1) 3nnT n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ①
2 3 4 13 1 3 3 3 5 3 (2 1) 3nnT n
?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ②
①-②得： 2 3 12 1 3 2 3 2 3 2 3 (2 1) 3n nnT n
?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
2 3 13 2 (3 3 3 ) (2 1) 3n nn ?? ? ? ? ? ? ? ? ??
2 1
13 (1 3 )3 2 (2 1) 3
1 3
n
nn
?
??? ? ? ? ? ?
?
16 (2 2) 3nn ?? ? ? ? ?
∴ 1( 1) 3 3nnT n
?? ? ? ? .
考点：等比数列的有关知识和综合运用．
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48．
3 31 cos 21 1( ) sin 2 3 sin 2 cos 22 2 2 2 2
xf x x x x?? ? ? ? ?
3sin(2 )3 2x
?? ? ?
（1）T ??
（2） [0, ]4x
??? 52 [ , ]3 3 6x
? ? ?? ? ?
max
3( ) ( ) 112 2f x f
?? ? ? ? ， min
31( ) ( )4 2 2f x f
?? ? ?
49．（1）以 C 为坐标原点建立空间直角坐标系 C—xyz，则
),1,
2
1,
2
1(),0,1,1(),0,
2
1,
2
1(),1,0,0(),1,1,0(),1,0,1( 111111 ???? DCBADCBA 则
则 DCBAABBADCBA 11111111 ,,0 ???? 则所以 ………………6 分
（2） ),
2
3,
2
1,1(),0,0,
2
1(),0,
2
1,0(),
2
3,0,1( ???? MEEDEM
( , , ) ,
1 0
0 2,
1 30 0
2 2
3, 0, 1, (0, 3,1), 10
n x y z MDE
xn ED
n ME x y z
y x z n
?
? ??? ? ?? ?
? ?
? ?? ?? ? ? ? ???
? ? ? ?
?
? ????
? ????
?
????
设 为平面 的一个法向量
则 即
令 则 所以 分
,
2
1,cos
),1,0,0(,
11
11
???
??
CCn
CCDEACC 平面又
M-DE-A 的大小为∏|3
50．（（1）如图：
设 1 1BC BC O?? ，则O为 1BC 的中点，连接OD，
∵D为 AB的中点，
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答案第 13页，总 14页
∴ 1/ /OD AC ，
又∵OD ?平面 1CDB AC ?平面 1CDB ，
∴ 1 / /AC 平面 1CDB .
（2）∵
2 2 2AC BC AB? ? ，
∴ AC BC? .
又∵ 1 1 1/ / ,C C AA AA ?底面 ABC，
∴ 1C C ?底面 ABC，
∴ 1AC CC? .
又 1BC CC C?? ，
∴ AC ?平面 1 1BCC B ，
∴直线 1BC是斜线 1AB 在平面 1 1B BCC 上的射影，
∴ 1ABC? 是直线 1AB 与平面 1 1B BCC 所成的角，
在 1RT ABC? 中， 1 4 2, 3BC AC? ? ，
∴ 1
3 3 2tan
84 2
ABC? ? ? ，
直线 1AB 与平面 1 1BBC C所成的角的正切值为
3 2
8
.
考点：1.线面平行；2.线面角.
51．（1）以 D 为坐标原点，以 1,, DDDCDA 为正交基底建立空间直角坐标系 xyzD ? 如图，
则
)0,0,1(A ， 1( ,0,1)
2
E ， )0,1,1(B ， )1,
2
1,1(F
)1,0,
2
1(??AE ， )1,
2
1,0( ??BF
5
4
4
5
4
5
1),cos( ??BFAE ……………………………………6 分
异面直线 AE和 BF 所成的角的余弦值；……………………………………7分
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答案第 14页，总 14页
（2）平面 BDD1的一个法向量为 )0,
2
1,
2
1( ??MA
设平面 BFC1的法向量为 ),,( zyxn ?
??
?
?
?
????????
?????
0)1,0,1(),,(
0
2
1
zxzyxBCn
zyBFn
∴
?
?
?
?
?
zy
zx
2
取 1z ? 得平面 BFC1的一个法向量 )1,2,1(?n
1 1 32cos ,
6| || | 2 6
2
MA nMA n
MA n
??
? ?? ? ? ?
???? ????? ?
???? ? ， ……………………………………14 分∴所
求的余弦值为
6
3
……………………………………16 分
立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（题型注释）
1．若指数函数
xay )2( ?? 在 ( )?? ? ?， 上是减函数，那么（ ）
A、 0 1? ?a B、 12 ??? a C、 3?a D、 32 ?? a
2 ． 若 数 列 ?? na 的 通 项 公 式 是 ( 1) (3 2)nna n? ? ? , 则 1 2 10a a a? ? ???? ?
（ ）
A．15 B．12 C．－12 D．－15
3．已知? ?na 为等差数列，其前 n 项和为 nS ，若 3 36, 12a S? ? ，则公差 d 等于（ ）
A.1 B.
5
3
C.2 D.3
4．已知向量 (1, 2)?a ， (2, 3)? ?b ．若向量 c满足 ( ) / /?c a b ， ( )? ?c a b ，则 c ?
A．
7 7( , )
9 3 B．
7 7( , )
3 9
? ?
C．
7 7( , )
3 9 D．
7 7( , )
9 3
? ?
5．已知? 为锐角，若
1sin 2 cos 2
5
? ?? ? ? ，则 tan? ?（ ）
A.3 B.2 C.
1
2
D.
1
3
6．在 ABC? 中， 15a ? ， 10b ? ， 60A ? ?，则 cosB ?（ ）
A.
3
3
B.
6
3
C.
3
4
D.
6
4
7．已知数列{ }na 满足 1 0a ? ， 1 2 1 1n n na a a? ? ? ? ? ，则 13a ? ( )
A. 143 B. 156 C. 168 D. 195
8．已知数列｛ a n｝是等比数列，a 1=1，并且 a 2，a 2+1，a 3成等差数列，则 a 4=（ ）
A、－1 B、－1 或 4 C、 －1或 8 D、8
9． 在△ABC中， 3?a ， 3?b ，A=120°，则 B等于
A. 30° B. 60° C. 150° D. 30°或 150°
10．在 ABC? 中，a、b、c分别是角 A、B、C所对的边， , 3, 3
3
A a b c?? ? ? ? ，
则 ABC? 的面积 S ? （ ）
试卷第 2页，总 9页
A．1 B．
3
2
C． 3 D．2
11．函数
2, 0
( )
2, 0
x x
f x
x x
??
? ?? ? ?
?
? ，则不等式
2( )f x x? 的解集是
（A）[ 1,1]? （B）[ 2,2]? （C）[ 2,1]? （D）[ 1, 2]?
12．在△ABC 中，若 bccba 3222 ??? ，则角 A的度数为（ ）
A．30° B．150° C．60° D．120°
13．若角? 的终边经过点 )2,1( ?P ，则 ?tan 的值为（ ）
A.
5
5
B.
5
52
? C. 2? D.
2
1
?
14．在锐角 ABC? 中，角 ,A B所对的边长分别为 ,a b，若 2 sin 3a B b? ，则角 A等
于（ ）
A.
12
?
B.
6
?
C.
4
?
D.
3
?
15．已知向量 )2,1(?a ， )2,( ?? xb ，且 ba ? ，则 ??ba （ ）
A．5 B． 5 C． 24 D． 31
16．如果 0a b? ? ，则下列不等式成立的是（ ）
A．
1 1
a b
? B． 2ab b?
C． 2ab a? ? ? D． 1 1
a b
? ? ?
17．直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，若CA ?
????
a CB ?
????
b 1CC ?
?????
c 1AB ?
????
则
(A) a+b-c (B) a–b+c (C)-a+b+c． (D)-a+b-c
18．函数 ? ? xxxxf cossin3sin 2 ?? 在区间 ??
?
??
?
2
,
4
??
上的最大值为（ ）
（A）
2
3
（B） 31? （C）1 （D）
2
31?
19．已知函数 ? ? ? ?cos 0
2
f x x ?? ? ?? ?? ? ? ?? ?
? ?
的部分图象如图所示， ? ? ? ?0 0f x f? ? ，
则正确的选项是（ ）
试卷第 3页，总 9页
A． 0, 16
x?? ? ? B． 0
4,
6 3
x?? ? ?
C． 0, 13
x?? ? ? D． 0
2,
3 3
x?? ? ?
20．已知 aba ,2||,1|| ?? 与b的夹角为 600,若 bka ? 与b垂直,则 k 的值为（ ）
A．
4
1
? B．
4
1
C．
4
3
? D．
4
3
21．函数 ? ? ? ?sin , 0, 0,
2
f x A x x R A ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?
? ?
的部分图象如图所示,
如果 1 2, ,6 3
x x ? ?? ?? ?? ?
? ?
,且 ? ? ? ?1 2f x f x? ,则 ? ?1 2f x x? ?（ ）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．1
22 ． ． 设 G 是 ABC? 的 重 心 ， 且
0)sin35()sin40()sin56( ??? GCCGBBGAA ，则角B的大小为
（ ）
A．45° B．60° C．30° D．15°
23．在△ABC 中，a=2，b=2 ，B=45°，则 A等于（ ）
A．30° B．60° C．60°或 120° D．30°或 150°
24．已知数列? ?na 满足 ? ?1 2
43 0, , 10
3n n n
a a a a? ? ? ? ? 则 的前 项和等于（ ）
A． ? ?-10-6 1-3 B． ? ?-101 1-39 C． ? ?
-103 1-3 D． ? ?-103 1+3
25．若平面向量b与向量 )1,2(?a 平行，且 52|| ?b ，则 ?b ( )
试卷第 4页，总 9页
A． )2,4( B． )2,4( ?? C． )3,6( ? D． )2,4( 或 )2,4( ??
26．已知平面向量
?
OA、
?
OB 、
?
OC 为三个单位向量，且
?
OA 0??
?
OB ，满足
?
OC ??
?
OAx ),( RyxOBy ?
?
，则 yx ? 的最大值为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
27．设 ,x y满足不等式组
6 0
2 1 0
3 2 0
x y
x y
x y
? ? ??
? ? ? ??
? ? ? ??
，若 z ax y? ? 的最大值为2 4a ? ，最小值为
1a? ，则实数 a的取值范围是
A．[ 2,1]? B．[ 1, 2]? C．[ 3, 2]? ? D．[ 3,1]?
28．已知函数
2 1
2
x
y
x
? ?
? ?
??
( 0)
( 0)
x
x
?
?
，使函数值为 5 的 x的值是（ ）
A．-2 B．2 或
5
2
? C． 2 或-2 D．2 或-2 或
5
2
?
29．函数 ]
2
,0[,1cos4cos3 2 ????? xxxy 的最小值为（ ）
A．
3
1- B．0 C．
3
1
D．1
30．在 ABC? 中，内角 , ,A B C对应的边分别为 , ,a b c，若 ? ?2 2 2 tanCa b c ab? ? ? ，
则角C等于（ ）
A．30° B．60°
C．30°或 150° D．60°或 120°
31．设直线 ,m n是两条不同的直线， ,? ? 是两个不同的平面，则 / /? ?的一个充分条
件是（ ）
A. / / , / / ,m n m n? ? ? B. / / , , / /m n m n? ??
C. , / / ,m n m n? ?? ? D. , , / /m n m n? ?? ?
32．已知函数
( ) lg
1
xf x
x
?
? ，若 ( ) ( ) 0f a f b? ? 且 0 1a b? ? ? ，则 ab的取值范围
是（ ）
A．
10,
2
? ?
? ?? ? B．
10,
2
? ?
? ?
? ? C．
10,
4
? ?
? ?? ? D．
10,
4
? ?
? ?
? ?
33．已知? 、? 是两个平面，m、n是两条直线，则下列命题不正确．．．的是（ ）
A．若m n∥ ，m ?? ，则 n ?? B．若m ?? ，m ?? ，则? ?∥
试卷第 5页，总 9页
C．若m ?? ，m ?? ，则? ?? D．若m ?? ， n? ? ?I ，则m n∥
34．已知 1sin
6 3
? ?? ?? ?? ?
? ?
，则
2cos 2
3
? ?? ??? ?
? ?
的值等于（ ）
A. 5
9
? B. 7
9
? C. 5
9
D. 7
9
二、填空题（题型注释）
35．.
cos 2sinsin 3cos 0,
2cos 3sin
? ?? ?
? ?
?
? ?
?
若 则 的值为 .
36．已知正数 x, y 满足 x+2y=1,则
1 1
x y
? 的最小值是 .
37．若实数 yx, 满足
?
?
?
?
?
???
??
???
02
0
022
yx
yx
yx
，则 yxz 2?? 的最小值为__________
38．已知幂函数 ( )y f x? 的图象过点 14,
2
? ?
? ?
? ?
，则 (2)f ? __________．
39．函数 ? ? 22xf x a
x
? ? ? 的一个零点在区间 ? ?1,2 内，则实数 a 的取值范围
是 .
40．已知函数
2( ) ln( 1 )f x x x? ? ? ，若实数 ,a b满足 ( 1) ( ) 0f a f b? ? ? ，则a b? 等
于 .
41．数列? ?na 满足 1 2a ? ， 1
1
1
1
n
n
n
aa
a
?
?
?
?
?
，其前 n项积为 nT ，则 2015T ? ．
42．已知函数 f(x)＝logax(a>0，a≠1)，若 f(2)>f(3)，则实数 a的取值范围是________．
三、解答题（题型注释）
43．在 ABC? 中，角 CBA ,, 的对边分别是 cba ,, 已知向量 )cos,(cos BAm ?
?
)2,( bcan ??
?
,且
??
nm // .
（1）求角 A的大小；
（2）若 4,a ABC? ?求 面积的最大值。
试卷第 6页，总 9页
44．已知函数 f（x）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求 f（x）的单调递增区间.
45．已知等比数列{ }na 中， 2 52, 128a a? ? .若 2logn nb a? ，数列{ }nb 前 n项的和为
nS .
（Ⅰ）若 35nS ? ，求 n的值；
（Ⅱ）求不等式 2n nS b? 的解集.
（Ⅲ）设 ( 3)n n nc a b? ? ,求数列? ?nc 的前 n 项的和 Tn。
46．已知数列? ?na 与? ?nb 满足 ? ? ? ?1 12n n n na a b b n N ?? ?? ? ? ? .
（1）若 1 1, 3 5na b n? ? ? 数列? ?na 的通项公式；
（2）若 ? ?1 6, 2nna b n N ?? ? ? 且 2 2nna n? ?? ? ? 对一切 n N ?? 恒成立,求实数?
的取值范围.
试卷第 7页，总 9页
47．设 nS 是数列{ }na 的前 n项和，已知 1 3a ? ， 1 2 3n na S? ? ? .
（1）求数列{ }na 的通项公式；
（2）令 (2 1)n nb n a? ? ，求数列{ }nb 的前 n项和 nT .
48．(本小题共 13 分)
已知函数
2( ) sin cos 3 sinf x x x x? ? .
(I)求 ( )f x 的最小正周期； (II)求 ( )f x 在区间[0, ]
4
?
上的取值范围.
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49．（本小题满分 12 分）在直三棱柱 ABC—A1B1C1中，∠ ACB=90°，AC=BC=AA1=1，D、
E分别为棱 AB、 BC 的中点，M为棱 AA1上的点。
（1）证明：A1B1⊥C1D；
（2）当 ADEMAM ??? 求二面角时,
2
3
的大小。
试卷第 9页，总 9页
50 ． 如 图 ， 在 棱 柱 1 1 1ABC A BC? 中 ， 侧 棱 1AA ? 底 面
1, 3, 4, 5, 4ABC AC BC AB AA? ? ? ? ，点D是 AB的中点.
（1）求证： 1 / /AC 平面 1CDB ；
（2）求直线 1AB 与平面 1 1BBC C所成的角的正切值.
51．（本题满分 16 分）
如图，在棱长为 1 的正方体 1AC 中， E、 F 分别为 11DA 和 11BA 的中点．
（1）求异面直线 AE和 BF 所成的角的余弦值；
（2）求平面 1BDD 与平面 1BFC 所成的锐二面角的余弦值；
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参考答案
1．D
【解析】
试题分析：由指数函数
xay )2( ?? 在 ( )?? ? ?， 上是减函数可知：
0 2 1 2 3a a? ? ? ? ? ? ，故选 D.
考点：本题考查指数函数性质。
2．A
【解析】 1 2 10 1 4 7 10 ( 25) 28a a a? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?
( 1 4) ( 7 10) ( 25 28) 3 3 3 15.? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? 故选 A
3．C
【解析】
试 题 分 析 ： 由 题 意 可 得 1 3 23
3( ) 3 2 12
2 2
a a aS ? ?? ? ? ， 解 得 2 4a ? ， 故 公 差
3 2 6 4 2d a a? ? ? ? ? ，故答案为：2.
考点：1.等差数列的前 n 项和；2.等差数列的公差.
4．D
【解析】略
5．A
【解析】
试 题 分 析 ：
1sin 2 cos 2
5
? ?? ? ?
2 2 2
2 2 2
2sin cos cos sin 2 tan 1 tan 1
sin cos tan 1 5
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ?
2
1-3tan03tan5tan2 2 或????? ??? （舍），故选 A.
考点：三角恒等变换.
6．B
【解析】由正弦定理
B
b
A
a
sinsin
? ，可得
3
3
15
60sin10sin ??
?
B ，又因为 ba ? ，所以
A>B，B 为锐角，
3
6
3
11cos ???B ，故选 B
7．C
【解析】
试题分析：由 1 2 1 1n n na a a? ? ? ? ? ，可知
2
1 1 1 2 1 1 ( 1 1)n n n na a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
即 1 1 1 1n na a? ? ? ? ? ，故数列 { 1}na ? 是公差为 1 的等差数列，
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答案第 2页，总 14页
所以 13 11 1 12 13a a? ? ? ? ? ，则 13 168a ? . 故选 C.
考点：数列的递推问题，等差数列的通项公式.
8．C
【解析】
试题分析：设等比数列? ?na 的公比为q，则 2a q? ， 23a q? ．因为 2a ， 2 1a ? ， 3a 成等差
数列，所以 ? ?2 2 32 1a a a? ? ? ，即 ? ? 22 1q q q? ? ? ，解得： 1q ? ? 或 2q ? ．当 1q ? ? 时，
? ?334 1 1a q? ? ? ? ? ；当 2q ? 时， 3 34 2 8a q? ? ? ．故选 C．
考点：1、等比数列的通项公式；2、等差中项．
【思路点晴】本题主要考查的是等比数列的通项公式和等差中项，属于容易题．本题通过求
等比数列的基本量，利用通项公式求解．解本题需要掌握的知识点是等比数列的通项公式和
等差中项，即等比数列的通项公式： 11
n
na a q
?? ；若 a，?，b成等差数列，则2 a b? ? ? ．
9．A
【解析】略
10．B
【解析】根据余弦定理得： 2 2 2( 3) 2 cos ,
3
b c bc ?? ? ? 23 ( ) 3 9 3b c bc bc? ? ? ? ?
2.bc ? 所以 1 1 3sin 2 sin .
2 2 3 2
S bc A ?? ? ? ? ? 故选 B
11．A
【解析】本题考查分段函数的含义,不等式的解法,分类讨论思想.
（1）当 0x ? 时， 2( )f x x? 可化为 2
0
2
x
x x
??
? ? ??
，即 2
0
2 0
x
x x
??
? ? ? ??
，解得 1 0;x? ? ?
（2））当 0x ? 时， 2( )f x x? 可化为 2
0
2
x
x x
??
?? ? ??
，即 2
0
2 0
x
x x
??
? ? ? ??
，解得0 1;x? ?
综上：不等式
2( )f x x? 的解集是? ?| 1 1 .x x? ? ? 故选 A
12．A
【解析】
试题分析：在 ABC? 中，有余弦定理 bccbaAbccba 3,cos2 222222 ?????? 又 ，所
以
2
3coscos23 ????? AAbcbc ，再由 ），（ ?? 180,0?A 可得 ?30?A
考点：余弦定理
13．C
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【解析】
试题分析：由任意角的正切的定义得
2tan = = 2
1
y
x
? ?? ? .故选 C.
考点：任意角的正切的定义.
14．D
【解析】
试题分析：因为 2 sin 3a B b? ，由正弦定理得2sin sin 3 sinA B B? ，所以 3sin
2
A ? ，
又因为锐角三角形，所以
3
A ?? ，故选 D.
考点：正弦定理.
15．A
【解析】
试题分析：因为 ba ?
所以 40)2(210 ?????????? xxba
所以 )0,5()0,41( ????ba
所以 5|| ??ba
故答案选 A
考点：向量的数量积；向量的模.
16．D
【解析】
试题分析： 0a b? ? ，设 2, 1a b? ? ? ? ，代入不等式验证可得 D 正确
考点：不等式性质
17．D
【解析】要表示向量 1AB
????
，只需要用给出的基底 a b c
? ? ?
，， 表示出来即可，要充分利用图形的
直观性，熟练利用向量加法的三角形法则进行运算．
解答：解： 1AB
????
= 1 1A A AB CC CB CA? ? ? ? ?
????? ???? ????? ???? ????
=-a b c? ?
? ? ?
故选 D．
18．A
【解析】略
19．A
【解析】
试题分析：由函数的图象可知 ? ? 30
2
f ? ，即 3cos
2
? ? ，因为 0
2
??? ? ，所以
6
?? ? ，
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答案第 4页，总 14页
因为
? ? ? ?0
30
2
f x f? ? ? ? ，所以 ? ?0
3cos
2
x? ?? ? ? ，所以 0
7
6
x ?? ?? ? ，解得 0 1x ? ，
故选 A．
考点：三角函数的图象与性质．
20．A
【解析】因为a
?
与b
?
的夹角为 60°，所以
1cos60
2 2| | | |
a b a b
a b
? ?
? ? ?
?
?
? ? ? ?
? ? ，则 1a b? ?
? ?
。又因
为a kb?
? ?
与b
?
垂直，所以
2( ) | | 4 1 0a kb b a b k b k? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
，解得
1
4
k ? ? ，故选 A
21．C
【解析】
试题分析： 1?A , ???
?
?
??
?
?
?
?
? ???
63
22 ,所以 2?? ，当
6
?
??x 时， 0
6
2 ???
?
?
?
?
??? ?? ，
解得
3
?? ? ，函数为 ? ? ?
?
?
?
?
? ??
3
2sin ?xxf 根据对称性，可知在区间 ?
?
?
?
?
?
36
- ??， 的轴是
12
?
?x ，
那么 ? ? ??
?
?
?
?
???
?
?
?
?
? ???
612
221
?? ffxxf
2
3
3
2sin ?? ，故选 C.
考点：1. ? ??? ?? xAy sin ；2.三角函数的性质.
22．B
【解析】略
23．A
【解析】
试 题 分 析 ： 由 题 已 知 两 边 及 一 边 所 对 的 角 则 ， ∵ 由 正 弦 定 理 可 得 ：
sinA= = = ，
又∵a=2＜b=2 ，∴A＜B，∴可解得：A=30°
考点：运用正弦定理解三角形（注意角的多种情况的判断）.
24．C
【解析】
试题分析：由已知得 1 4a ? , 1
1
3
n
n
a
a
? ? ? ,所以数列? ?na 是以首项为 4,公比为
1
3
? 的等比数
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答案第 5页，总 14页
列,由等比数列前 n项和公式得 ? ?
10
10
10
14 1
3
3 1 3
11
3
S ?
? ?? ?? ? ?? ?? ?
? ?? ?? ?? ? ? ?
? ?? ?? ?
? ?
.故正确答案为 C.
考点：1.等比数列定义;2.等比数列前 n项和.
25．D
【解析】分析：用向量平行的充要条件和向量的模的平方等于向量的平方求值．
解答：解：设b =ka
?
=（2k，k），
而 52|| ?b ，则 25k =2 5，即 k=±2，
故 ?b （4，2）或（-4，-2）．
故答案为 D
26．B.
【解析】
试题分析：因为平面向量
?
OA、
?
OB、
?
OC为三个单位向量，且
?
OA 0??
?
OB ，
将
?
OC ??
?
OAx ),( RyxOBy ?
?
两边平方得，
?????
???? OBOAxyOByOAxOC 2
2
2
2
2
2
，所
以 122 ?? yx .
又因为 2)(22)( 22222 ??????? yxxyyxyx ，所以 2?? yx .所以 yx ? 的最大值
为 2 .
考点：平面向量及应用.
27．A
【解析】
试题分析：由 z ax y? ? 得 zaxy ??? ，直线 zaxy ??? 是斜率为 a? ， y轴上的截距为
z的直线，做出不等式组对应的平面区域如图，则 ? ?11，A ， ? ?42，B ，∵ z ax y? ? 的最大值
为2 4a ? ，最小值为 1a? ，∴直线 z ax y? ? 过点B时，取得最大值为2 4a ? ，经过点 A
时取得最小值为 1a? ，若 0?a ，则 zy ? ，此时满足条件，若 0?a ，则目标函数斜率
0??? ak ，要使目标函数在 A处取得最小值，在 B处取得最大值，则目标函数的斜率满
足 1???? BCka ，即 10 ?? a ，若 0?a ，则目标函数斜率 0??? ak ，要使目标函数在 A
处取得最小值，在 B处取得最大值，则目标函数的斜率满足 2??? ACka ，即 02 ??? a ，
综上 12 ??? a -2≤a≤1，故选：A．
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答案第 6页，总 14页
考点：简单的线性规划.
28．A
【解析】
试题分析：根据题意，由于函数
2 1
2
x
y
x
? ?
? ?
??
( 0)
( 0)
x
x
?
?
，那么当 x>0,-2x=5,x 的值为负数不
符合题意，舍去，当 0x ? ,则 2 1x ? =5，x=-2，故可值函数值为 5 的 x 的取值为-2，选 A.
考点：分段函数
点评：主要是考查了分段函数解析式的运用，属于基础题。
29．A
【解析】
试题分析：由题根据所给函数利用二次函数性质分析计算即可．
2
2 2 13cos 4cos 1 3 cos , [0, ],
3 3 2
y x x x x ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ?
? ?
?
2cos
3
x? ? 时，所给函数取得最小值
3
1- ，故选 A．
考点：三角函数的最值
30．C
【解析】
试题分析：由于 ? ?
2 2 2
2 2 2 1 1tanC , tan ,cos tan sin
2 2 2
a b ca b c ab C C C C
ab
? ?
? ? ? ? ? ? ，
故为30 ,150? ? .
考点：解三角形．
31．D
【解析】
试题分析：两个平面的垂线平行，则这两个平面平行，故选 D.
考点：空间点线面位置关系.
32．D
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答案第 7页，总 14页
【解析】
试题分析：由已知得： ( ) ( ) lg lg lg 0 1
1 1 (1 )(1 )
a b abf a f b a b
a b a b
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
，
所以 2
1( )
2 4
a bab ?? ? .注意，因为 a b? ，所以不能取等号.选 D.
考点：1、对数函数及对数的基本运算；2、重要不等式.
33．D
【解析】
试题分析：D 选项，结论为m n? .故选 D.
考点：直线和平面平行和垂直的判定和性质.
34．B
【解析】
试 题 分 析 ： 令
6
? ? ?? ? ， 有 1sin
3
? ? ， 则
6
?? ?? ? ， 从 而
2 22 2 2
3 3 6
? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?
? ?
， 所 以
22 7cos 2 cos( 2 ) cos 2 (1 2sin )
3 9
? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ?
，故选择 B.这里用了配角
技巧，具体方法从本题的解法去体会.
考点：三角函数求值和配角技巧.
35．
5
11
?
【解析】解：因为
cos 2sin cos 6cos 5sin 3cos 0,
2cos 3sin 2cos 9cos 11
? ? ?
? ? ? ?
? ?
? 则 =? ? ? ?? ?
? ? ? ?
36． 3 2 2?
【解析】
试 题 分 析 ： 根 据 题 意 ， 由 于 正 数 x, y 满 足 x+2y=1, 则
1 1 1 1 2 2( )( 2 ) 3 3 2 3 2 2y x y xx y
x y x y x y x y
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 当 且 仅 当
x=
1 2 2 2 2 22 , 2 1
2 22 2
y y x? ?? ? ? ? ? ?
?
等 号 成 立 ， 故 可 知 答 案 为
3 2 2?
考点：均值不等式
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答案第 8页，总 14页
点评：本题考查基本不等式的应用，把要求的式子变形为 均值不等式的形式，属于基础题。
37．-3
【解析】不等式组
?
?
?
?
?
???
??
???
02
0
022
yx
yx
yx
区域如右图阴影部分，把直线 yxz 2?? 平移到点（-1，
-1）时，Z有最小值为-1-2=-3
x
Y
2 O
1
（-1,-1
38．
1
4
【解析】
试题分析：设 ( )f x x?? ，过点可得： 1 1( ) 4, 2. (2)
2 4
f? ?? ? ? ?
考点：求幂函数的解析式
39． ? ?0,3
【解析】
试题分析：由于函数 ? ? 22xf x a
x
? ? ? 在 ? ?1,2 上单调递增，且函数 ? ? 22xf x a
x
? ? ? 的
一个零点在区间 ? ?1,2 内，则有 ? ?1 0f a? ? ? 且 ? ?2 3 0f a? ? ? ，解得0 3a? ? .
考点：1.函数的单调性；2.零点存在定理
40．1
【解析】
试 题 分 析 ： 因 为
2( ) ln( 1 )f x x x? ? ? ， 所 以
? ? ? ?2 2( ) ( ) ln 1 ln 1f x f x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?
? ?? ?2 2ln 1 1 ln1 0x x x x? ? ? ? ? ? ? ， 若 实 数 ,a b 满 足 ( 1) ( ) 0f a f b? ? ? ， 则
1 0a b? ? ? ，所以 1a b? ? .
考点：对数的运算性质.
41．3
【解析】
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试 题 分 析 ： 由 1
1
1
1
n
n
n
aa
a
?
?
?
?
?
可 得 1
1
1
n
n
n
aa
a?
?
?
?
， 因 为 1 2a ? ， 所 以
2 3 4 5
1 13, , , 2
2 3
a a a a? ? ? ? ? ? ，?，
所以数列? ?na 是周期为 4的周期数列，且 1 2 3 4 1a a a a ? ，又因为 2015 4 503 3? ? ? ，所以
2015
12 ( 3) ( ) 3
2
T ? ? ? ? ? ? ．
考点：数列的递推公式，周期数列．
【方法点睛】该题考查的是有关数列的递推公式的问题，属于中等题目，在解题的过程中，
将 1
1
1
1
n
n
n
aa
a
?
?
?
?
?
转化为 1
1
1
n
n
n
aa
a?
?
?
?
，结合题中所给的首项 1 2a ? ，根据式子，写出数列的
前几项，在写的过程中，可以发现规律，数列为周期数列，最后将 2015T 转化为 3T ，很简单
就能求得结果，再者需要注意数列的周期性的推导过程．
42．(0，1)
【解析】因为 f(2)>f(3)，所以 f(x)＝logax 单调递减，则 a∈(0，1)．
43．（1）
3
?
（2） 4 3
【解析】
试题分析：（I） 因为 m//n.，所以， cos (2 )cos 0a B c b A? ? ? ，由正弦定理，得：
sin cos (2sin sin )cos 0A B C B A? ? ? ，所以 sin cos 2sin cos sin cos 0A B C A B A? ? ?
即sin cos sin cos 2sin cosA B B A C A? ? ，所以，sin(A+B)＝2sinCcosA
又 A＋B＋C＝? ，所以，sinC＝2sinCcosA，因为 0＜C＜? ，所以 sinC＞0，
所以 cosA＝
1
2
，又 0＜A＜? ，所以 A＝
3
?
。
（2）由余弦定理，得：
2 2 2 2 cosa b c bc A? ? ? ，所以 16＝ 2 2b c bc bc? ? ? ，所以 bc≤
16，当且仅当 b＝c＝4 时，上式取“＝“，所以，△ABC 面积为 S＝
1 sin
2
bc A≤4 3，
所以△ABC 面积的最大值为 4 3
考点：向量运算，三角函数化简及解三角形
点评：均值不等式求最值时注意验证等号成立条件
44．（Ⅰ）因为 ? ? 2sin cos cos2f x x x x? ? ?? ?
sin 2 cos2x x? ?? ?
π2 sin 2
4
x? ?? ?? ?
? ?
? ，
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所以 ? ?f x 的最小正周期 2π π
2
Τ ? ?
? ?
．
依题意，
π π?
?
，解得 1? ? ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ? ? π2 sin 2
4
f x x? ?? ?? ?
? ?
．
函数 siny x? 的单调递增区间为 π π2 π ,2 π
2 2
k k? ?? ?? ?? ?
（ k?Ζ ）．
由
π π π2 π 2 2 π
2 4 2
k x k? ? ? ? ? ，得 3π ππ π
8 8
k x k? ? ? ? ．
所以 ? ?f x 的单调递增区间为 3π ππ , π
8 8
k k? ?? ?? ?? ?
（ k?Ζ ）．
【考点】两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.
【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三
角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；
2.利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函
数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考
虑化为同名三角函数或用差值法（例如与 0 比较，与 1 比较等）求解．
45．（Ⅰ） 42 1 5 12, 128a a q a a q? ? ? ?? 得
3 64q ? 1
14,
2
q a? ? ?
1 1 2 3
1
1 4 2
2
n n n
na a q
? ? ?? ? ? ? ?
2 3
2 2log log 2 2 3
n
n nb a n
?? ? ? ? ?
1 [2( 1) 3] (2 3) 2n nb b n n? ? ? ? ? ? ? ??
{ }nb? 是以 1 1b ? ? 为首项，２为公差的等差数列.
2( 1 2 3) 35, 2 35 0
2n
n nS n n? ? ?? ? ? ? ? ?
( 7)( 5) 0 7n n n? ? ? ?即
（Ⅱ） 2 22 2 2(2 3) 6 6 0n nS b n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ??
3 3 3 3n? ? ? ? ? n N ???
2 , 3 , 4n? ? 即，所求不等式的解集为{2 , 3, 4}
（Ⅲ）解：
46 ． （ 1 ）
? ? ? ? ? ?1 1 1 12 , 3 5, 2 2 3 8 3 5 6n n n n n n n n na a b b b n a a b b n n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ,
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所以? ?na ,是等差数列,首项为 1 1a ? ,公差为6 ,即 6 5na n? ? .
（ 2 ） ? ?1 112 , 2 2 2 2n n n nn n nb a a ? ??? ? ? ? ? ?? , 当 2n ?
时 , ? ? ? ? ? ? 1 2 11 1 2 2 1 1... 2 2 ... 2 6 2 2n n nn n n n na a a a a a a a ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,
当 1n ? 时 , 1 6a ? , 符 合 上 式 ,
12 2nna
?? ? ? , 由 2 2nna n? ?? ? ? 得
1 1 2 1 2????
2 1 1 1, 0
2 2 2 2 2 2
n
n n n n n
n n n n n? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ，所以，当 1,2n ? 时， 1
2
2
n
n
n
?
?
取最大值
3
4
，
故?的取值范围为 3 ,
4
? ???? ?
? ?
.
考点：等差数列的通项公式求和公式等有关知识的综合运用．
47．（1）当 2n ? 时，由 1 2 3n na S? ? ? ，得： 12 3n na S ?? ? ，
两式相减，得： 1 12 2 2n n n n na a S S a? ?? ? ? ? ，∴ 1 3n na a? ? ，∴ 1 3n
n
a
a
? ? .
当 1n ? 时， 1 3a ? ， 2 1 12 3 2 3 9a S a? ? ? ? ? ，则 2
1
3a
a
? ，
∴数列{ }na 是以 1 3a ? 为首项，公比为 3 的等比数列，∴
13 3 3n nna
?? ? ? .
（2）由（1）得： (2 1) (2 1) 3nn nb n a n? ? ? ? ? ，
∴ 2 31 3 3 3 5 3 (2 1) 3nnT n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ①
2 3 4 13 1 3 3 3 5 3 (2 1) 3nnT n
?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ②
①-②得： 2 3 12 1 3 2 3 2 3 2 3 (2 1) 3n nnT n
?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
2 3 13 2 (3 3 3 ) (2 1) 3n nn ?? ? ? ? ? ? ? ? ??
2 1
13 (1 3 )3 2 (2 1) 3
1 3
n
nn
?
??? ? ? ? ? ?
?
16 (2 2) 3nn ?? ? ? ? ?
∴ 1( 1) 3 3nnT n
?? ? ? ? .
考点：等比数列的有关知识和综合运用．
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48．
3 31 cos 21 1( ) sin 2 3 sin 2 cos 22 2 2 2 2
xf x x x x?? ? ? ? ?
3sin(2 )3 2x
?? ? ?
（1）T ??
（2） [0, ]4x
??? 52 [ , ]3 3 6x
? ? ?? ? ?
max
3( ) ( ) 112 2f x f
?? ? ? ? ， min
31( ) ( )4 2 2f x f
?? ? ?
49．（1）以 C 为坐标原点建立空间直角坐标系 C—xyz，则
),1,
2
1,
2
1(),0,1,1(),0,
2
1,
2
1(),1,0,0(),1,1,0(),1,0,1( 111111 ???? DCBADCBA 则
则 DCBAABBADCBA 11111111 ,,0 ???? 则所以 ………………6 分
（2） ),
2
3,
2
1,1(),0,0,
2
1(),0,
2
1,0(),
2
3,0,1( ???? MEEDEM
( , , ) ,
1 0
0 2,
1 30 0
2 2
3, 0, 1, (0, 3,1), 10
n x y z MDE
xn ED
n ME x y z
y x z n
?
? ??? ? ?? ?
? ?
? ?? ?? ? ? ? ???
? ? ? ?
?
? ????
? ????
?
????
设 为平面 的一个法向量
则 即
令 则 所以 分
,
2
1,cos
),1,0,0(,
11
11
???
??
CCn
CCDEACC 平面又
M-DE-A 的大小为∏|3
50．（（1）如图：
设 1 1BC BC O?? ，则O为 1BC 的中点，连接OD，
∵D为 AB的中点，
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∴ 1/ /OD AC ，
又∵OD ?平面 1CDB AC ?平面 1CDB ，
∴ 1 / /AC 平面 1CDB .
（2）∵
2 2 2AC BC AB? ? ，
∴ AC BC? .
又∵ 1 1 1/ / ,C C AA AA ?底面 ABC，
∴ 1C C ?底面 ABC，
∴ 1AC CC? .
又 1BC CC C?? ，
∴ AC ?平面 1 1BCC B ，
∴直线 1BC是斜线 1AB 在平面 1 1B BCC 上的射影，
∴ 1ABC? 是直线 1AB 与平面 1 1B BCC 所成的角，
在 1RT ABC? 中， 1 4 2, 3BC AC? ? ，
∴ 1
3 3 2tan
84 2
ABC? ? ? ，
直线 1AB 与平面 1 1BBC C所成的角的正切值为
3 2
8
.
考点：1.线面平行；2.线面角.
51．（1）以 D 为坐标原点，以 1,, DDDCDA 为正交基底建立空间直角坐标系 xyzD ? 如图，
则
)0,0,1(A ， 1( ,0,1)
2
E ， )0,1,1(B ， )1,
2
1,1(F
)1,0,
2
1(??AE ， )1,
2
1,0( ??BF
5
4
4
5
4
5
1),cos( ??BFAE ……………………………………6 分
异面直线 AE和 BF 所成的角的余弦值；……………………………………7分
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（2）平面 BDD1的一个法向量为 )0,
2
1,
2
1( ??MA
设平面 BFC1的法向量为 ),,( zyxn ?
??
?
?
?
????????
?????
0)1,0,1(),,(
0
2
1
zxzyxBCn
zyBFn
∴
?
?
?
?
?
zy
zx
2
取 1z ? 得平面 BFC1的一个法向量 )1,2,1(?n
1 1 32cos ,
6| || | 2 6
2
MA nMA n
MA n
??
? ?? ? ? ?
???? ????? ?
???? ? ， ……………………………………14 分∴所
求的余弦值为
6
3
……………………………………16 分
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