人教版八年级下册第 18章平行四边形方案设计题解析及训练（训练题无答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级下册第 18章平行四边形方案设计题解析及训练（训练题无答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 196.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-23 15:25:55 | ||
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文档简介
平行四边形方案设计题解析
1.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，?DC(或它们的延长线)于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN．?
?(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明．?
?(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想．?
【解析】??解：（1）证明：延长CB至E使得BE=DN，易证△ABE≌△ADN
∴∠BAE=∠DAN，AE=AN
∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°
∵∠MAN=45°
∴∠EAM=∠MAN
∵AM是公共边
∴△ABE≌△AND
∴ME=MN
即BM+BE=MN
∴BM+DN=MN.
（2）BM+DN=MN；
（3）DN-BM=MN
在DC上截取DE=BM，易证△ADE≌△ABM
∴∠DAE=∠BAM，AE=AM
∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°
∵∠MAN=45°
∴∠EAN=∠MAN
∵AN是公共边
∴△MAN≌△EAN
∴EN=MN
即DN-DE=MN
∴DN-BM=MN.
2.在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．
（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，
不需要证明．
（3）若AC=6，DE=4，则DF=____．
考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
分析：（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；
（2）与（1）的证明方法相同；
（3）根据（1）（2）中的结论直接求解．
解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∴AF=DE，
∵DF∥AC，
∴∠FDB=∠C
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠FDB=∠C
∴DF=BF
∴DE+DF=AB=AC；
（2）图②中：AC+DF=DE．
图③中：AC+DE=DF．
（3）当如图①的情况，DF=AC-DE=6-4=2；
当如图③的情况，DF=AC+DE=6+4=10．
故答案是：2或10．
3.在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，当点G在BC边上时，易证：PG=PC．（不必证明）
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；
（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．
（1）提示：如图1：延长GP交DC于点E，
利用△PED≌△PGF，得出PE=PG，DE=FG，
∴CE=CG，
∴CP是EG的中垂线，
在RT△CPG中，∠PCG=60°，
∴PG=PC．
（2）如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC，
∵∠ABC=60°，△BGF正三角形
∴GF∥BC∥AD，
∴∠EDP=∠GFP，
在△DPE和△FPG中
∴△DPE≌△FPG（ASA）
∴PE=PG，DE=FG=BG，
∵∠CDE=CBG=60°，CD=CB，
在△CDE和△CBG中，
∴△CDE≌△CBG（SAS）
∴CE=CG，∠DCE=∠BCG，
∴∠ECG=∠DCB=120°，
∵PE=PG，
∴CP⊥PG，∠PCG=∠ECG=60°
∴PG=PC．
（3）猜想：PG=PC．
证明：如图3，延长GP到H，使PH=PG，连接CH，CG，DH，
作ME∥DC
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GF=HD，∠GFP=∠HDP，
∵∠GFP+∠PFE=120°，∠PFE=∠PDC，
∴∠CDH=∠HDP+∠PDC=120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠ADC=∠ABC=60°，点A、B、G又在一条直线上，
∴∠GBC=120°，
∵四边形BEFG是菱形，
∴GF=GB，
∴HD=GB，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°，
即∠HCG=120°
∵CH=CG，PH=PG，
∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°，
∴PG=PC．?
5.正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．?
（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE
（不需证明）?
（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．? ?
解 析：（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；?
（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证．?
（1）证明：如图，过点B作BG⊥OE于G，?则四边形BGEF是矩形，?
∴EF=BG，BF=GE，?
在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，?
∵BG⊥OE，?
∴∠OBG+∠BOE=90°，?
又∵∠AOE+∠BOE=90°，?
∴∠AOE=∠OBG，?
∵在△AOE和△OBG中，?
∠AOE=∠OBG?
∠AEO=∠OGB=90°?
OA=OB，?
∴△AOE≌△OBG（AAS），?
∴OG=AE，OE=BG，?
∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF，?
∴AF﹣OE=OE﹣BF，?
∴AF+BF=2OE；?
（2）图2结论：AF﹣BF=2OE，?
图3结论：AF﹣BF=2OE．?
对图2证明：过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，?
则四边形BGEF是矩形，?
∴EF=BG，BF=GE，?
在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，?
∵BG⊥OE，?
∴∠OBG+∠BOE=90°，?
又∵∠AOE+∠BOE=90°，?
∴∠AOE=∠OBG，?
∵在△AOE和△OBG中，?
∠AOE=∠OBG?
∠AEO=∠OGB=90°?
OA=OB，?
∴△AOE≌△OBG（AAS），?
∴OG=AE，OE=BG，?
∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，?
∴AF﹣OE=OE+BF，?
∴AF﹣BF=2OE；?
若选图3，其证明方法同上．?
?
练习：
1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，
AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，
四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
2．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．
（1）求证：AF=BE；
（2）如图2，在正方形ABCD中，
M、N、P、Q分别是边AB、BC、
CD、DA上的点，且MP⊥NQ．
MP与NQ是否相等？并说明理由．
3.如图,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,点O为AB的中点,
连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.
(1)求证:四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时,
矩形AEBD是正方形,并说明理由.
4．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，
使∠EFD=∠BCD，并说明理由．
5.已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．
（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN=MN；
（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2，图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；
（3）在图3中，作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点，若MN=10，CM=8，求AP的长．
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1.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，?DC(或它们的延长线)于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN．?
?(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明．?
?(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想．?
【解析】??解：（1）证明：延长CB至E使得BE=DN，易证△ABE≌△ADN
∴∠BAE=∠DAN，AE=AN
∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°
∵∠MAN=45°
∴∠EAM=∠MAN
∵AM是公共边
∴△ABE≌△AND
∴ME=MN
即BM+BE=MN
∴BM+DN=MN.
（2）BM+DN=MN；
（3）DN-BM=MN
在DC上截取DE=BM，易证△ADE≌△ABM
∴∠DAE=∠BAM，AE=AM
∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°
∵∠MAN=45°
∴∠EAN=∠MAN
∵AN是公共边
∴△MAN≌△EAN
∴EN=MN
即DN-DE=MN
∴DN-BM=MN.
2.在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．
（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，
不需要证明．
（3）若AC=6，DE=4，则DF=____．
考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
分析：（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；
（2）与（1）的证明方法相同；
（3）根据（1）（2）中的结论直接求解．
解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∴AF=DE，
∵DF∥AC，
∴∠FDB=∠C
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠FDB=∠C
∴DF=BF
∴DE+DF=AB=AC；
（2）图②中：AC+DF=DE．
图③中：AC+DE=DF．
（3）当如图①的情况，DF=AC-DE=6-4=2；
当如图③的情况，DF=AC+DE=6+4=10．
故答案是：2或10．
3.在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，当点G在BC边上时，易证：PG=PC．（不必证明）
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；
（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．
（1）提示：如图1：延长GP交DC于点E，
利用△PED≌△PGF，得出PE=PG，DE=FG，
∴CE=CG，
∴CP是EG的中垂线，
在RT△CPG中，∠PCG=60°，
∴PG=PC．
（2）如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC，
∵∠ABC=60°，△BGF正三角形
∴GF∥BC∥AD，
∴∠EDP=∠GFP，
在△DPE和△FPG中
∴△DPE≌△FPG（ASA）
∴PE=PG，DE=FG=BG，
∵∠CDE=CBG=60°，CD=CB，
在△CDE和△CBG中，
∴△CDE≌△CBG（SAS）
∴CE=CG，∠DCE=∠BCG，
∴∠ECG=∠DCB=120°，
∵PE=PG，
∴CP⊥PG，∠PCG=∠ECG=60°
∴PG=PC．
（3）猜想：PG=PC．
证明：如图3，延长GP到H，使PH=PG，连接CH，CG，DH，
作ME∥DC
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GF=HD，∠GFP=∠HDP，
∵∠GFP+∠PFE=120°，∠PFE=∠PDC，
∴∠CDH=∠HDP+∠PDC=120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠ADC=∠ABC=60°，点A、B、G又在一条直线上，
∴∠GBC=120°，
∵四边形BEFG是菱形，
∴GF=GB，
∴HD=GB，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°，
即∠HCG=120°
∵CH=CG，PH=PG，
∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°，
∴PG=PC．?
5.正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．?
（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE
（不需证明）?
（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．? ?
解 析：（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；?
（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证．?
（1）证明：如图，过点B作BG⊥OE于G，?则四边形BGEF是矩形，?
∴EF=BG，BF=GE，?
在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，?
∵BG⊥OE，?
∴∠OBG+∠BOE=90°，?
又∵∠AOE+∠BOE=90°，?
∴∠AOE=∠OBG，?
∵在△AOE和△OBG中，?
∠AOE=∠OBG?
∠AEO=∠OGB=90°?
OA=OB，?
∴△AOE≌△OBG（AAS），?
∴OG=AE，OE=BG，?
∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF，?
∴AF﹣OE=OE﹣BF，?
∴AF+BF=2OE；?
（2）图2结论：AF﹣BF=2OE，?
图3结论：AF﹣BF=2OE．?
对图2证明：过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，?
则四边形BGEF是矩形，?
∴EF=BG，BF=GE，?
在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，?
∵BG⊥OE，?
∴∠OBG+∠BOE=90°，?
又∵∠AOE+∠BOE=90°，?
∴∠AOE=∠OBG，?
∵在△AOE和△OBG中，?
∠AOE=∠OBG?
∠AEO=∠OGB=90°?
OA=OB，?
∴△AOE≌△OBG（AAS），?
∴OG=AE，OE=BG，?
∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，?
∴AF﹣OE=OE+BF，?
∴AF﹣BF=2OE；?
若选图3，其证明方法同上．?
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练习：
1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，
AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，
四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
2．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．
（1）求证：AF=BE；
（2）如图2，在正方形ABCD中，
M、N、P、Q分别是边AB、BC、
CD、DA上的点，且MP⊥NQ．
MP与NQ是否相等？并说明理由．
3.如图,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,点O为AB的中点,
连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.
(1)求证:四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时,
矩形AEBD是正方形,并说明理由.
4．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，
使∠EFD=∠BCD，并说明理由．
5.已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．
（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN=MN；
（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2，图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；
（3）在图3中，作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点，若MN=10，CM=8，求AP的长．
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