第04讲 二次函数综合拔高（解析版）

第04讲 二次函数综合拔高

【主要考点】解析式、图像与性质、点的坐标、增减性、最值、平移变化、动点计算、分类 、讨论、综合计算
【中考展望】
初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．

【方法点拨】
(1)理解“数学有关概念”是解综合题的基础；
(2)分析题型的结构和考点是解综合题的前提；
(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；
(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心；
(5)准确计算，严密推理才是解综合题的保证．
* 审 题(读题、断句、找关键)；
* 先宏观(所属题型、考点、方法)；
后微观(具体条件、定理、公式)
* 由已知，想可知(联想知识考点)；注意知识的转化;
由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；

【知识详解】

1.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系；
（1）坐标平面内的点与一个有序实数对之间是一一对应的。
（2）两点间的距离： AB=︳Xa-Xb ︳； CD=︳Yc-Yd ︳； 。
（3）X轴上Y=0；Y轴上X=0；一、三象限角平分线，Y= X；二、四象限角平分线，Y= - X。
（4）P(a, b)关于X轴对称P’(a, -b)； 关于Y轴对称P’’(a, -b)； 关于原点对称P’’’(-a, -b).

函 数
定 义：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数.
表示法：⑴解析法; ⑵列表法; ⑶图象法。 描点法：⑴列表; ⑵描点; ⑶连线。
自变量取值范围：①分母≠0；②被开方数≥0；③几何图形成立；④实际有意义

3.正比例函数
⑴定义： y=kx(k≠0)
⑵图象：直线（过原点）
⑶性质：①k>0，…②k<0，…


一次函数
⑴定义：y=kx+b(k≠0)
⑵图象：直线 过点（0,b）（-b/k ,0）
⑶性质：①k>0,…②k<0,

反比例函数
⑴定义： (k≠0)。
⑵图象：双曲线（两个分支支）
⑶性质：①k>0时，图象位于…，y随x…;②k<0时，图象位于…，y随x…; ③两支曲线无限接近永远不能到达坐标轴。(4) K值的几何意义：S四边形 =|K|

二次函数
（1）表达式：
（2）图 象： 抛物线（“五点一线”要记住）
（3）性 质： a>0时，在对称轴左侧大而小，右侧小而大；当x= ,y有 小 值， 是 ;
a<0时，在对称轴左侧小而大，右侧大而小；当x= ,y有 大 值， 是 。
平移原则： 把解析式化为顶点式，“左+右-自变量；上+下-常数项”。
（5）abc作用：①a～开口方向，大小；②b～对称轴与a左同右异；③c～与y轴的交点上正下负；
④b2-4ab～与x轴的交点个数；⑤ma+nb～对称轴与常数比；⑥a+b-c～点看(1, a+b-c)。
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧,则
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
①公式法：顶点公式是，对称轴表示为:直线。
②配方法：运用配方的方法，将一般式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴表示为:直线。
③对称性：由于抛物线是轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。
若已知抛两点（及y值相同），则对称轴表示为：直线
9.求二次函数的解析式
①一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
②顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
③交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：。
以上方法要灵活运用，由题设所给条件选择确定；
求二次函数的最值问题
①审（找等量关系） ②设（变量或解析式）③列（函数关系式）
④解（关系式一般式顶点式） ⑤答（判X取值定Y最值）
10.求直线与抛物线的交点
①抛物线与轴的交点：（令X=0， y=c 交点为(0, )
②抛物线与轴的交点：（令Y=0， ）
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.；由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
a有两个交点()抛物线与轴相交；
b有一个交点（顶点在轴上）()抛物线与轴相切；
c没有交点()抛物线与轴相离。
③平行于轴的直线m与抛物线的交点：（令Y=m，）
同②一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根。
④一次函数与二次函数图像的交点：( 联立
由方程组的解的个数来确定：
a方程组有两组不同的解时与有两个交点；
b方程组只有一组解时与只有一个交点；
c方程组无解时与没有交点。
⑤抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，则
【典型例题】
类型一、用函数的概念与性质解题
1.已知关于x的一元二次方程有实数根，k为正整数.
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿
x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两公共点时，b的取值范围.
【答案】
解：（1）由题意得，≥0 ．
≤3 ．
为正整数，
1，2，3．


（2） 当时，方程有一个根为零；
当时，方程无整数根；
当时，方程有两个非零的整数根．
综上所述，和不合题意，舍去；符合题意．
当时，二次函数为，把它的
图象向下平移8个单位得到的图象的解析式
为．
（3）设二次函数的图象与轴交于、
两点，则．
依题意翻折后的图象如图所示．
当直线经过A点时，可得；
当直线经过B点时，可得．
由图象可知，符合题意的b的取值范围
为．
【变式】在坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.
（1）求点A的坐标；
（2）当时，求m的值；
（3）已知一次函数，点P（n，0）是x轴上的一个动点，
在（2）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，
交二次函数的图象于N. 若只有当
时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式.


【答案】
（1）∵点A、B是二次函数（）的图象与轴交点，
∴令，即.
解得：，.
又∵点A在点B左侧且，
∴点A的坐标为（-1，0）.
(
A
B
C
)
（2）由（1）可知点B的坐标为（，0）
∵二次函数与轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，-3）.
∵∠ABC=45°，
∴=3.
∴m=1.
（3）由（2）得，二次函数解析式为.
依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为-2和2，
由此可得交点坐标为（-2，5）和（2，-3）.
将交点坐标分别代入一次函数解析式中，
(
得
)


(
解得
)

∴一次函数的解析式为.

(
A
B
C
P
M
N
)
类型二、函数与几何综合题
2．已知函数和y＝kx+1(k≠0)．
(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；
(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?
【思路点拨】
本题是一次函数，反比例函数的综合题．本题考查了函数解析式的求法和利用判别式判断函数图象交点个数．
【答案与解析】
解：(1)∵两函数的图象都经过点(1，a)，
∴ 解得
(2)将代入y＝kx+1，消去y，得．
∵k≠0，
∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可．
∵△＝1+8k．
∴1+8k≥0，解得k≥．
∴k≥且k≠0时这两个函数的图象总有公共点．
【总结升华】
两图象交点的个数常常通过建立方程组，进而转化为一元二次方程，利用根的判别式来判断．若△＞0，两图象有两个公共点；若△＝0，两图象有一个公共点；若△＜0，两图象没有公共点．

3.广州越秀（14分）已知如图，抛物线y＝x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．若A（﹣1，0），且OC＝3OA
（1）求抛物线的解析式
（2）若M点为抛物线上第四象限内一动点，顺次连接AC、CM、MB，求四边形MBAC面积的最大值
（3）将直线BC沿x轴翻折交y轴于N点，过B点的直线l交y轴、抛物线分别于D、E，且D在N的上方．若∠NBD＝∠DCA，试求E点的坐标．

【分析】（1）将A点和C点坐标代入y＝x2+mx+n中得到关于m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式；
（2）先解方程x2﹣2x﹣3＝0得到B（3，0），A（﹣1，0），设M（m，m2﹣2m﹣3），过点M作MQ∥y轴交BC于Q，如图1，则Q（m，m﹣3），用m表示出MQ，接着根据二次函数的性质得到当m＝时，MN有最大值，则S△BCM的最大值为，从而得到S四边形MBAC的最大值；
（3）作DH⊥BN于H，如图2，证明Rt△BDH∽Rt△C，利用相似比得到BH＝3DH，再证明△BON和△DHN为等腰直角三角形，则DH＝HN＝DN，所以3+DH＝3DH，解得DH＝，于是DN＝DH＝3，从而得到D（0，6），接下来利用待定系数法求出直线BD的解析式y＝﹣2x+6，然后解方程组即可得到E点坐标．

【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，OC＝3OA＝3， ∴C（0，﹣3），
将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+mx+n中，得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，

当△BCM的面积最大时，四边形MBAC的面积最大
设M（m，m2﹣2m﹣3），过点M作MQ∥y轴交BC于Q，则Q（m，m﹣3），
∴MQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
当m＝时，MN有最大值，
∴S△BCM的最大值为××3＝，∴S四边形MBAC的最大值为6+＝；

（3）作DH⊥BN于H，如图2，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3）， ∴OA＝1，OC＝3，
∵∠NBD＝∠DCA，
∴Rt△BDH∽Rt△CAO，
∴＝，即＝，即BH＝3DH，
∵直线BC沿x轴翻折交y轴于N点，
∴ON＝OC＝3，
∴△BON为等腰直角三角形，
∴BN＝3，∠BNO＝45°，
∴∠DNH＝45°
∴△DHN为等腰直角三角形，
∴DH＝HN＝DN，∴3+DH＝3DH，解得DH＝，∴DN＝DH＝3，
∴D（0，6），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
把D（0，6），B（3，0）代入得，解得，
∴直线BD的解析式y＝﹣2x+6，
解方程组，解得或，
∴E（﹣3，12）．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式；会利用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质．

2017广州（12分）已知抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A
（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．
（1）求y1的解析式；
（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；F5：一次函数的性质；FA：待定系数法求一次函数解析式；H3：二次函数的性质．
【分析】（1）根据题意求得顶点B的坐标，然后根据顶点公式即可求得m、n，从而求得y1的解析式；
分两种情况讨论：当y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x时，求得抛物线与x轴的交点坐标 ，y2随着x的增大而增大，求得y1与y2都经过x轴上的同一点（-2，0） ，然后根据待定系数法求得即可．
当y1=﹣x2+2x+8时，解﹣x2+2x+8=0求得抛物线与x轴的交点坐标，同理 可得。

【解答】解：
（1）∵抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．
∴B（﹣1，1）或（﹣1，9），
∴﹣=﹣1，=1或9，
解得m=﹣2，n=0或8，
∴y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x或y1=﹣x2﹣2x+8；
（2）①当y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴交点是（0.0）和（﹣2.0），
∵y2随着x的增大而增大，且过点A（﹣1，5），
∴y1与y2都经过x轴上的同一点，只能过（﹣2，0）点，
把（﹣1，5），（﹣2，0）代入得，解得，
∴y2=5x+10．
②当y1=﹣x2+2x+8时，解﹣x2+2x+8=0得x=﹣4或2，
∵y2随着x的增大而增大，且过点A（﹣1，5），
∴y1与y2都经过x轴上的同一点，只能过（﹣4，0）点，
把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得，解得 ；
∴y2=x+．
【点评】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，根据题意求得顶点坐标是解题的关键．

2018广州（14分）已知抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．
（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．
①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；
②若点C关于直线x=﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．

【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）令y=0，再求出判别式，判断即可得出结论；
（2）先求出OA=2，OB=m+2，OC=2（m+2），
①判断出∠OCB=∠OAF，求出tan∠OCB=，即可求出OF=1，即可得出结论；
②先设出BD=m，再判断出∠DCE=90°，得出DE是⊙P的直径，进而求出BE=2m，DE=m，即可得出结论．

【解答】解：（1）令y=0,∴x2+mx﹣2m﹣4=0, ∴△=m2﹣4[﹣2m﹣4]=m2+8m+16，
∵m＞0，∴△＞0，
∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

（2）令y=0，∴x2+mx﹣2m﹣4=0，∴（x﹣2）[x+（m+2）]=0，∴x=2或x=﹣（m+2），
∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），∴OA=2，OB=m+2，
令x=0，∴y=﹣2（m+2），∴C（0，﹣2（m+2）），∴OC=2（m+2），

①通过定点（0，1）理由：如图，
∵点A，B，C在⊙P上，∴∠OCB=∠OAF,
在Rt△BOC中，tan∠OCB===，
在Rt△AOF中，tan∠OAF===，
∴OF=1，∴点F的坐标为（0，1）；

②如图1，由①知，点D（0，1），
∵D（0，1），∴点D在⊙P上，
∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，
∴∠DCE=90°，∴DE是⊙P的直径，∴∠DBE=90°，
∵∠BED=∠OCB，∴tan∠BED= tan∠OCB =，(见1）
设BD=m，在Rt△BDE中，tan∠BED===，∴BE=2m，
根据勾股定理得，DE==m，
∴l=BD+BE+DE=（3+）m，r=DE=m， ∴ ==．

2019广州（14分）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．
（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．
（2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，﹣m﹣3），即x＝m+1，y＝﹣m﹣3，x+y＝﹣2即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．
（3）法一：求出抛物线恒过点B（2，﹣4），函数H图象恒过点A（2，﹣3），由图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间．
法二：联立函数H解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用x表示m的式子．由x与m的范围讨论x的具体范围，即求得函数H对应的交点P纵坐标的范围．
【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点
∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3
（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3
∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3
∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）
∴x＝m +1，y＝﹣m﹣3 （建立X，Y的关系）
∴x+y＝m +1﹣m﹣3＝﹣2
即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2
∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0 ∴x＞1 （找关于X的不等式）
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）
（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线
x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4
∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）
∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3
x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3
∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA （用图像法判断）
∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜yP＜﹣3
法二：
整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x
∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0
∴m＝＞0 （用代数法解答）
∵x＞1 ∴1﹣x＜0∴x（x﹣2）＜0∴x﹣2＜0∴x＜2即1＜x＜2
∵yP＝﹣x﹣2 ∴﹣4＜yP＜﹣3

【点评】本题考查求二次函数的最值，图像的平移，二次函数与一次函数的关系．解题关键是在无图的情况下运用二次函数性质解题，第（3）题结合图象解题体现数形结合的运用．