人教版九年级上册第05讲三角形与四边形之精讲

第05讲 三角形与四边形之精讲
（一）. 三角形
【主要考点】性质、全等、相似、平行四边形、矩形、中垂线、勾股定理、正方形综合。。。
【考纲要求】
1.理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定；会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．
2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；
3. 善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，灵活选择适当的方法判定两个三角形全等.
4.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．
【知识网络】





【考点梳理】（一般三角形）

考点一、三角形的概念及其性质
1．三角形的概念
　　由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2．三角形的分类 （见上图）
3．三角形的内角和外角
　　(1)三角形的内角和等于180°.
　　(2)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
4．三角形三边之间的关系
　　三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
5．三角形内角与对边对应关系
　　在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边.
6．三角形具有稳定性.
7.三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.
8.等边三角形面积公式:
要点诠释：
三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.
中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

考点二、等腰三角形
1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
2.性质：
　　(1)具有三角形的一切性质.
　　(2)两底角相等(等边对等角)
　　(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)
　　(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.
3.判定：
　　(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
　　(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
　　(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
　要点诠释：
　　(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
　　(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.
考点三、直角三角形
1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
2性质：
　(1)直角三角形中两锐角互余.
　(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.
　(3)直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
　(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
　(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
解决直角三角形的实际问题（锐角三角函数）
3.判定：
　(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.
　(2)一边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这三角形是直角三角形.
　(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.

【考点梳理】（全等三角形）
考点一、基本概念
1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
2.全等三角形的性质：
（1）全等三角形对应边相等；
（2）全等三角形对应角相等.
要点诠释：
全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.
3.全等三角形的判定：
（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).
考点二、灵活运用定理
三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．
全等的判别方法注意以下几点：
1. 条件充足时直接应用判定定理
要点诠释：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．
2. 条件不足，会增加条件用判定定理
要点诠释：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．
3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理
要点诠释：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．
常见的几种辅助线添加：
①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；
②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；
③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；
④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；
⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．

【考点梳理】（相似三角形）

考点一、基本概念
1.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.
2.相似三角形的性质：
　　(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
　　(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线 的比相等，都等于相似比.
　　(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
【要点诠释】
结合两个图形相似，得出对应角相等，对应边的比相等，这样可以由题中已知条件求得其它角的度数和线段的长.对于复杂的图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理.
3.相似三角形的判定：
　　(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
　　(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
　　(3)如果两三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两三角形相似；
　　(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么两个三角形相似.
　　(5)如果一个直角三角形的斜边和直角边与另一个三角形的斜边和直角边的比对应相 等，那么这两个三角形相似.

考点二、位似图形
1.位似图形的定义：
　　两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.
2.位似图形的分类：
　　(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.
　　(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.
3.位似图形的性质
　　位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
　　位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
　　位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
【要点诠释】
位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
4.作位似图形的步骤
　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
　　第二步：作位似中心与各关键点连线；
　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
　　第四步：顺次连接截取点.
【要点诠释】
　　在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

（二）四边形知识
【考纲要求】
1.探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念.
2.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.
3.探索并掌握平行四边形的有关性质和判定四边形是平行四边形的条件.
4.探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和判定四边形是矩形、菱形、正方形的条件.
5.探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件.
6.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面， 并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.
【知识网络】

【考点梳理】
考点一、四边形的相关概念
1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形；
2.多边形的性质：(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°；
　　 (2)推论：多边形的外角和是360°；
　 (3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；
　　 (4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.
3.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形；
4.四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是360°； (2)推论：四边形的外角和是360°.
考点二、特殊的四边形
平行四边形及特殊的平行四边形的性质

2. 平行四边形及特殊的平行四边形的判定

3. 特殊四边形面积公式：
S平行四边形 =ah(a为平行四边形的边，h为a上的高）.
S矩形=ab （a为长 b为宽）；S正方形= a2= b2（b为正方形的对角线）
S菱形 =ab=ch（a、b为菱形的对角线,c为菱形的边长，h为c边上的高）.

考点三、梯形
1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
　　(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.
　　(2)不平行的两边叫做梯形的腰.
　　(3)梯形的四个角都叫做底角.
2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.
3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.
4.等腰梯形的性质：
　 (1)等腰梯形的两腰相等； (2)等腰梯形同一底上的两个底角相等. (3)等腰梯形的对角线相等.
5.等腰梯形的判定方法：
　　(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；
　　(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
　　(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.
6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.
7.面积公式： S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).
考点四、平面图形
1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌（又称密铺.）。
2.平面图形镶嵌的条件：
(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.
(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：
①n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；
②n个正多边形的边长相等，或其中一个边长是另一个正多边形的边长的整数倍.


【三角形典型例题】
类型一、三角形
1．（2014?怀化模拟）三角形三边长分别是6，2a﹣2，8，则a的取值范围是（　　）
A．1＜a＜2 B．＜a＜2 C．2＜a＜8 D．1＜a＜4
【思路点拨】本题考查了三角形的三边关系．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
【答案】C.
【解析】解：由于在三角形中任意两边之和大于第三边，
∴2a﹣2＜6+8，即a＜8，
任意两边之差小于第三边，
∴2a﹣2＞8﹣6，即a＞2，
∴2＜a＜8，
故选：C．
【总结升华】涉及到三角形三边关系时，尽可能简化运算，注意运算的准确性.
举一反三：
【变式】已知a，b，c为△ABC的三条边，化简得_________.
【答案】∵a，b，c为△ABC的三条边 ∴a-b-c＜0， b-a-c＜0
　　　　　∴=(b+c-a)+(a+c-b)=2c.

类型二、等腰三角形
2．如图，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )
　　A.顶角的2倍 　　　B.顶角的一半 　　　C.顶角 　　　D.底角的一半
　　　　　
【思路点拨】等角的余角相等.
【答案】B.
【解析】如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，所以∠ABC=∠C，∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C=
90°-(180-∠A)= ∠A，
【总结升华】本题适用于任何一种等腰三角形,可以试着证明在钝角三角形中结论一样成立；总结规律，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于顶角的一半.
举一反三：
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）A．5个 　　　B．4个　　　 C．3个　　　 D．2个

【答案】A．
类型三、直角三角形
3．将一张矩形纸片如图所示折叠，使顶点落在点.已知，，则折痕的长为( )
A. 　　　B.　　　 C. 　　　D.
　　　　　　　
【思路点拨】直角三角形是常见的几何图形，在习题中比较多的利用数形结合解决相应的问题.常用的是两锐角互余，三边满足勾股定理和直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半.
【答案】C.
【解析】由折叠可知，∠CED=∠C′ED =30°，因为在矩形ABCD中，∠C等于90°，CD=AB=2，
　　　　所以在Rt△DCE中，DE=2CD=4.故选C.　　
【总结升华】折叠题型一定要注意对应的边相等，对应的角相等.

举一反三：
如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为( )．　
A.　　　 B. 　　　C.　　　 D.5
　 　
【答案】B.
解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB， ∴BE=AB
　　　 设BD为x，则CD=8-x
　　　 ∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2
　　 　∴AB2=42+82=80，∴AB=，∴BE=
　　　在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2 ，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5
　　　在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，即()2+DE2=52，∴DE=， 故选B.

类型五、全等三角形
1.如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=50°则∠BDC的大小是（　　）
A．30° B．75° C．15° D．25°




2.如图，△ABC是等边三角形，点D为AC边上一点，以BD为边作等边△BDE，连接CE，若CD=1，CE=4，则BC=___．

【答案】解：∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABC-∠CBD=∠DBE-∠CBD，即∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
AB=BC∠ABD=∠CBEBD=BE


∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD=CE，
∵CD=1，CE=4，∴AC=AD+CD=CE+CD=4+1=5，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=5．
3.△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA=2，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，则P1P的长等于（ ）
A．2 B． C． D．1

【答案】

4.如图，已知点P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数

【答案】解：∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，如图，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．

5.如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．求S△ABP+S△BPC


6.如图，△ABD为等边三角形，∠BCA=60°，求证：AC=BC+CD

【分析】在AC上截取AE=BC，连接DE，根据圆内接四边形性质得出∠DAE=∠CBD，证出△DAE≌△DBC，推出∠ADE=∠CDB，求出∠CDE=∠ADB=60°，得出△CDE是等边三角形，推出DE=DC=CE即可．
证明：在AC上截取AE=BC，连接DE，

∵△ABD是等边三角形，∠ACB=60°，
∴∠ADB=∠ACB=60°，AD=BD，
∴A、D、C、B四点共圆，
∴∠CBD=∠DAE，
在△DAE和△DBC中，
AD=BD ∠DAE=∠DBC AE=BC


∴△DAE≌△DBC（SAS），
∴∠ADE=∠CDB，
∴∠ADE+∠BDE=∠CDB+∠BDE，
∴∠CDE=∠ADB=60°，
∵DE=DC，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE=DC=CE，
∴AC=AE+CE=BC+CD．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是正确作出辅助线后推出△DAE≌△DBC．辅助线:作截长补短和辅助圆是关键
7.（12分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作等边三角形BPM，连结CM.

（1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；
（2）若PA:PB:PC=1::，试判断△PMC的形状，并说明理由.

【答案】解：（１）AP=CM.
证明: 因为△ABC是等边三角形,所以AB=BC, ∠ABC＝60°,而△PBM也是等边三角形,所以PB=MB, ∠PBM＝60°,则∠ABP＝∠MBC.所以△ABP≌△CBM．所以AP＝CM.
(2) △PMC是直角三角形.
因为 PA:PB:PC=1::,设PA=k, PB=k, PC=k.
因为△PBM是等边三角形,所以PM= PB=k.又因为由(1)知AP=CM,所以CM=PA=k.则,,?,,且,即.所以△PMC是直角三角形.且∠PMC＝90°.
类型五、相似三角形

1. （2018年四川省南充市）如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F．若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=　　．

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KJ：等腰三角形的判定与性质．
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质和平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠F=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠FBC，
∴∠F=∠DBF，
∴DB=DF，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
解得：DE=，
∵DF=DB=2，
∴EF=DF﹣DE=2﹣，
故答案为：
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC．
2. 如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？

答案：2秒｜0.8秒
解答：设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，则AP=2t，BP=8-2t，BQ=4t，
∵∠PBQ=∠ABC，
∴当时，△BPQ∽△BAC，
即，解得t=2（s）；
当时，△BPQ∽△BCA，
即，解得t=0.8（s）；
综合上述，经过2秒或0.8秒时，△QBC与△ABC相似．
分析：设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，则AP=2t，BP=8-2t，BQ=4t，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当时，△BPQ∽△BAC；当时，△BPQ∽△BCA．

【四边形典型例题】
1. （2018·浙江宁波·4分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】多边形的外角和定理
【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．
【答案】解：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，
则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．
2. （2018四川省泸州市3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则 ?ABCD的周长为（　　）

A．20 B．16 C．12 D．8
【分析】首先证明：OE=BC，由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE=EB，
∴OE=BC，
∵AE+EO=4，
∴2AE+2EO=8，
∴AB+BC=8，
∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．
3. 在平行四边形ABCD中，∠B=60°，那么下列各式中，不能成立的是（　　）
A．∠D=60° B．∠A=120° C．∠C+∠D=180° D．∠C+∠A=180°
【考点】平行四边形的性质；多边形内角与外角．
【专题】压轴题．
【分析】由于平行四边形中相邻内角互补，对角相等，而∠A和∠C是对角，而它们和∠B是邻角，∠D和∠B是对角，由此可以分别求出它们的度数，然后可以判断了．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
而∠B=60°，
∴∠A=∠C=120°，∠D=60°．
所以D是错误的．
故选D．
【点评】本题主要利用了平行四边形的角的性质解决问题．
4．（3分）如图，?ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（　）

A．EH＝HG
B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD
D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
【考点】K3：三角形的面积；L7：平行四边形的判定与性质．
【分析】根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在?ABCD中，AB＝2，AD＝4，
∴EH＝AD＝2，HG＝AB＝1，
∴EH≠HG，故选项A错误；
∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
∴EH＝，
∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；
由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；
∵点E、F分别为OA和OB的中点，
∴EF＝，EF∥AB，
∴△OEF∽△OAB，
∴，
即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，
5．（3分）如图，CE是?ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：
①四边形ACBE是菱形；
②∠ACD=∠BAE；
③AF：BE=2：3；
④S四边形AFOE：S△COD=2：3．
其中正确的结论有　 　．（填写所有正确结论的序号）

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵EC垂直平分AB，
∴OA=OB=AB=DC，CD⊥CE，
∵OA∥DC，
∴===，
∴AE=AD，OE=OC，
∵OA=OB，OE=OC，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵AB⊥EC，
∴四边形ACBE是菱形，故①正确，
∵∠DCE=90°，DA=AE，
∴AC=AD=AE，
∴∠ACD=∠ADC=∠BAE，故②正确，
∵OA∥CD，
∴==，
∴==，故③错误，
设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积=△AOE的面积=3a，
∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a
∴S四边形AFOE：S△COD=2：3．故④正确，
故答案为①②④．


6 .如图，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，.
（1）求∶的值；
（2）延长交正方形外角平分线，试判断的大小关系，并说明理由；
（3）在图13-2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）如图1
∵AE⊥EF，
∴∠2+∠3=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∴△ABE∽△ECF，
∴AB：CE=BE：CF，
∴EC：CF=AB：BE=5：2

（2）如图（二），在AB上取点M，使BM=BE，连接EM，
∵ABCD为正方形，∴AB=BC，
∵BE=BM，∴AM=EC，
∵∠1=∠2，∠AME=∠ECP=135°，
∴△AME≌△ECP，∴AE=EP；


（3）存在．顺次连接DMEP．在AB取点M，使AM=BE，
∵AE⊥EF，
∴∠2+∠3=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠BCD=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠DAM=∠ABE=90°，DA=AB，

∴△DAM≌△ABE（SAS），
∴DM=AE，
∵AE=EP，
∴DM=PE，
∵∠1=∠5，∠1+∠4=90°，∴∠4+∠5=90°，
∴DM⊥AE，∴DM∥PE
∴四边形DMEP是平行四边形．