(共11张PPT)
授课:李卫老师
人教版《数学》
八年级下册
[慕联教育同步课程]
课程编号：TS1705010202R8217010201LWJ
慕课联盟课程开发中心：www.moocun.com
17.1
勾股定理（2）
勾股定理的实际应用
学习目标
1、会用勾股定理解决简单的实际问题，树立数形结合的思想；
2、经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，体会勾股定理的应用价值.
1、勾股定理：
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边为c
那么，
知识回顾
巩固新知
例1：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
∵木板的宽2.2米大于1米，
∴
横着不能从门框通过；
∵木板的宽2.2米大于2米，
∴竖着也不能从门框通过
∴
只能试试斜着能否通过，对角线AC的长最大，因此需要求出AC的长，怎样求呢？
探究新知
A
B
C
1
m
2
m
解：在Rt△ABC中，根据勾股理，
AC2=___________=________=_____
AC=_____≈______
因为_____________所以木板
__从门框内通过.
AB2
+
BC2
12
+
22
5
2.24
2.24>2.2
能
例2：一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，
这时AO的距离为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.5m，
那么梯子底端B也外移0.5m吗？
O
B
D
Ｃ
A
分析：A下滑到C时，B右移至D，即：求BD的长度是否和AC相等.BD=OD-OB.
巩固新知
O
B
D
Ｃ
A
C
A
O
B
O
D
解：在Rt△AOB中，根据勾股定理，
OB2=__________=__________=__
OB=____;
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=_________=____________
=_____
OD=_____≈______
BD=OD-OB≈___________=_______
AB2
-
OA2
2.62
-
2.42
1
1
CD2
-OC2
2.62
-
(2.4-0.5)2
3.15
1.77
1.77-1
0.77
所以梯子顶端A沿墙下滑0.5m，梯子底端B并不是外移0.5m，而是外移约0.77m.
巩固新知
1、如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60m，AC=20m.求A、B两点间的距离（结果取整数）
A
B
C
解：如右图所示，在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AB2＝BC2-AC2
＝602-
202＝3200
,
AB≈56
∴A、B两点间的距离约为56m.
巩固新知
2、如图，在平面直角坐标系中有两点A（5,0）和B（0,4）.求这两点之间的距离.
O
4
B
A
y
x
5
∴AB2＝OA2+OB2＝52+42＝41
∴AB≈6
∴A、B两点间的距离约为6m。
解：由题意可知，在Rt△AOB中，∵OA=5，OB=4
巩固新知
将实际问题转化为直角三角形的数学模型过程，并能用勾股定理来解决此问题；
(1)将实际问题转化为数学问题,建立数学模型.
(2)运用勾股定理解决数学问题.
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤:
知识小结
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一个习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见！
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人教版数学八下17.1勾股定理（2）勾股定理的实际应用
1.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（）
A.
黄金分割
B.
垂径定理
C.
勾股定理
D.
正弦定理
2.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（）
A.25
B.19
C.13
D.169
下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（）
A.
刘徽
B.
赵爽
C.
祖冲之
D.
秦九韶
4.由四个全等的直角三角形如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，一个锐角为30°，则图中阴影部分的面积为（）
A.
1
B.
3
C.
4-2
D.
4+2
5.如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
6.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则a4+b4的值为（）
A. 35
B. 43
C. 89
D. 97
7.用四个边长均为a、b、c的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论中正确的是（）
A. c2=a2+b2
B. c2=a2+2ab+b2
C. c2=a2-2ab+b2
D. c2=(a+b)2
8.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图。观察图形，可以验证（）公式。
A. (a+b)(a-b)=a-b2
B. (a+b)2=a2 2ab+b2
C. c2=a2+b2
D. (a-b)2=a2-2ab+b2
9.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连接CC′.设AB=a,BC=b,AC=c,这样可以用来说明我们学习过的定理或者公式是()
A.
勾股定理
B.
平方差公式
C.
完全平方公式
D.
以上3个答案都可以
10.如图是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理，图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）
A.115
B.110
C.95
D.125
答案解析：
C
解析：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理。
故选：C
A
分析：根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．
解答：由条件可得：
a2+b2=13，
ab=
a>b>0
解之得：
a=3.
b=2
所以(a+b)2=25，
故选：A
B
解：用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是数学家赵爽
故选：B
C
分析：如图，阴影部分的面积=大正方形的面积-4个小直角三角形的面积．
解析：∵直角三角形斜边长为2，一个锐角围为30°，
∴该直角三角形的两直角边为1、
∴S阴影=22-4××1×=4-2．
故选：C
A
分析：根据小正方形、大正方形的面积可以列出方程组，解方程组即可求得a、b，求ab即可．
解答：由题意得：大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，
即a2+b2=9，a-b=1，
解得a=，b=，
则ab=4.
故选：A
6.
D
分析：根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积
和，从而不难求得a4+b4的值．
解析：依题意有：
a2+b2=大正方形的面积=13，
2ab=四个直角三角形的面积和=13-1=12，
ab=6，
则a4+b4
=(a2+b2)2-2a2b2
=(a2+b2)2-2(ab)2=132-2×62
=169-72
=97，
故选：D
7.
A
分析：四个一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其中小四边形也为正方形，大正方形的面积可以由边长的平方求出，也可以由四个直角三角形的面积与小正方形面积之和来求，两种方法得出的面积相等，利用完全平方公式展开，合并后即可得到正确的等式．
解析：由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其边长为c，
里边的小四边形也为正方形，边长为b-a，
则有c2=ab×4+(b-a)2，
整理得：c2=a2+b2.
故选：A
C
分析：利用两种方法表示出大正方形的面积，根据面积相等可以整理出c2=a2+b2．
解答：∵大正方形的面积表示为：c2
又可以表示为：ab×4+(b-a)2，
∴c2=ab×4+(b-a)2，
c2=2ab+b2-2ab+a2，
∴c2=a2+b2.
故选：C
A
分析：四边形BCC′D′的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示从组成来看，由三个直角三角形组成．应利用三角形的面积公式来进行表示．
解答：
证明：四边形BCC′D′为直角梯形，
∴S梯形BCC′D′=（BC+C′D′） BD′=
又∵∠AB′C′=90°，Rt△ABC≌Rt△AB′C′
∴∠BAC=∠B′AC′．
∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°；
∴S梯形BCC′D′=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′=ab+c2+ab=
∴2=
∴a2+b2=c2，
故选A．
B
分析：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
解析：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，如图所示：
则四边形OALP是矩形。
∵∠CBF=90°，
∴∠ABC+∠OBF=90°，
又∵Rt△ABC中,∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠OBF=∠ACB，
在△OBF和△ACB中，
∠BAC=∠BOF
∠ACB=∠OBF
BC=BF，
∴△OBF≌△ACB(AAS)，
∴AC=OB，
同理：△ACB≌△PGC，
∴PC=AB，
∴OA=AP，
∴矩形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，
∴KL=3+7=10，LM=4+7=11，
∴长方形KLMJ的面积为10×11=110.
故选：B.
