人教版九年级下册第02讲方程与不等式思维拓展
文档属性
| 名称 | 人教版九年级下册第02讲方程与不等式思维拓展 |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 425.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-24 00:00:00 | ||
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文档简介
第02讲 方程与不等式思维拓展
【主要考点】解方程（组）、解不等式（组）、方程（组）的应用、根的判别式、韦达定理的运用、不等式应用
【考纲要求】
1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；
2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；
3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；
4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；
5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．
【知识网络】
牢记：概念，特征，性质，解法，规律，应用(热点）
【考点梳理】
考点一、一元一次方程
1.方 程： 含有未知数的等式叫做方程.
2.方程的解： 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.
3.等式的性质
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.
4.一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其
标准形式：，a是未知数x的系数，b是常数项.
5.一元一次方程解法的一般步骤
整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).
6.列一元一次方程解应用题
(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.
(2)画图分析法：多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得列方程的依据。
7.列方程解应用题常用的等量关系及题型：
(1)行程问题： 距离=速度×时间 ；
(2)工程问题： 工作量=工效×工时 ；
(3)比率问题： 部分=全体×比率 ；
(4)顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；
(5)商品价格问题： 售价=定价·折· ，利润=售价-成本， ；
(6)周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a，
S正方形=a2，S环形=π(R2-r2)，V长方体=abh ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥=πR2h.
考点二、二元一次方程（组）
1.二元一次方程
含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程;
一般形式: a1x+b2y=c1
a2x+b2y=c2 (a≠0，b≠0)
2.方程的解
使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.
3.二元一次方程组
两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
4.方程组的解
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.
5.方程组的解法
①代入消元法；②加减消元法.
6.三元一次方程（组）
（1）三元一次方程
把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.
（2）三元一次方程组
由三个（以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
要点诠释：
二元一次方程组的解法：
消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.
（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．
考点三、一元二次方程
1.一元二次方程
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.一般形式：
，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.
3.方程的解法
（1）直接开平方法
解形如的一元二次方程.根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根.
（2）配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式，注意：把二次项的系数化为1再配方，则有.
（3）公式法
公式法是用求根公式求方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.
求根公式：
（4）因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，它是解一元二次方程最常用的方法.
十字相乘法
十字相乘法求出方程的解的最快方法，它是解一元二次方程最简易的方法。
4.根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.
△ >0 方程有两个不相等的实数根；
△＝0 方程有两个相等的实数根；
△ <0 方程没有实数根．
上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．
要点诠释：
△≥0 方程有实数根.
5.根与系数的关系
如果方程的两个实数根是，那么，.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
要点诠释：
一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.
（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.
（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.
（3）用配方法时二次项系数要化1.
（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.
考点四、分式方程
1.分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程.一般形式：如,
2.分式方程的解法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：
①去分母，方程两边都乘以最简公分母；
②解所得的整式方程；
③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.
口诀：“一化二解三检验”.
3．分式方程的增根问题
(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根；
(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．
4．分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．
列分式方程解应用题的基本步骤：
(1)审——仔细审题，找出等量关系；
(2)设——合理设未知数；
(3)列——根据等量关系列出方程；
(4)解——解出方程；
(5)验——检验增根；
(6)答——答题．
考点五、一元二次方程、分式方程的应用.
1．二次方程常用的数量关系及题型：
(1)数字问题：(包括日历中的数字规律) 表示一个两位数或三位数，100a+10b+c
传染问题:传染源+第一次传染+第二次传染=传染总. 即：1+x+(1+x)x=a
增长率问题：基数a,两年增长后的值为b,设平均增长率为x，则：a(1+x)=b
单、双循环问题：设参赛有n个队，则单循环场次为:?n(n-1）双循环为n(n-1)
打折销售问题:利润＝售价-成本价(进价)，总利润=单个利润x总销售量；
2．分式方程常用的等量关系及题型：
①工程问题： 工作量=工效×工时 ；
②行程问题： 距离=速度×时间 ；
③比率问题： 部分=全体×比率 ；
3．解应用题的步骤
(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；
(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；
(3)列出方程；找出相等关系，依据关系列出；
(4)解方程求出题中未知数的值；
(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．
要点诠释：
常用思想方法：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想，用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．
注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意实际．
考点六、不等式（组）
1.不等式的概念
（1）不等式
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.
（2）不等式的解集
任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.
不等式的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.
求不等式的解集的过程，叫做解不等式.
2.不等式基本性质
（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；
（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
3.一元一次不等式
（1）一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.
（2）一元一次不等式的解法（步骤）：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.
4.一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的概念
几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.
当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.
（2）一元一次不等式组的解法
①分别求出不等式组中各个不等式的解集；
②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.
由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．
不等式组 （其中a＞b） 图示 解集 口诀
（大大取大）
（小小取小）
（大小小大取 中间）
无解 （空集） （大大、小小 找不到）
注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.
要点诠释：
用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.
（1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a，则a=b；④若a2≤0，则a=0；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号.
（2）任意实数a、b大小关系：①a-b＞Oa＞b；②a-b=Oa=b；③a-b＜Oa＜b．
不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可换为d≤c.
【典型例题】
类型一、解方程（组）解不等式（组）
1．用配方法解一元二次方程：
【思路点拨】 把二次项系数化为1，常数项右移，方程两边都加上一次项系数一半的平方，再用直接开平方法解出未知数的值.
【解析】解：移项，得
二次项系数化为1，得
配方
由此可得
，
【总结升华】用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则 判定此方程为无实数解.
举一反三：
【变式】用配方法解方程x2-7x-1=0．
【答案】原方程的根为 x=或x=．
2. （2018·广东广州·3分）方程 的解是________
【答案】x=2
【考点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x（x+6)得：
x+6=4x
∴x=2.
经检验得x=2是原分式方程的解.
故答案为：2.
【分析】方程两边同时乘以最先公分母x（x+6)，将分式方程转化为整式方程，解之即可得出答案.
解答与计算题：
（1） 解方程组： ?
【答案】解： ? ,由① 得：x=-2y ③
将③代入②得：3（-2y）+4y=6，
解得：y=-3,
将y=-3代入③得：x=6，
∴原方程组的解为：
(2)、解方程：2x2﹣4x﹣30=0
【分析】利用因式分解法解方程即可；
【解答】解：∵2x2﹣4x﹣30=0，
∴x2﹣2x﹣15=0，
∴（x﹣5）（x+3）=0，
∴x1=5，x2=﹣3．
【点评】本题考查一元二次方程的解法﹣因式分解法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法，属于中考基础题．
(3)、解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.
【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解:去分母得，5x-1<3（x+1），
去括号得，5x-1<3x+3，
移项得，5x-3x<3+1，
合并同类项得，2x<4，
把x的系数化为1得，x<2．
在数轴上表示为：．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
(4)、解不等式组：，并在数轴上表示其解集．
【分析】分别解不等式①、②求出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将其表示在数轴上，此题得解．
【解答】解：解不等式①，得：x≤2；
解不等式②，得：x＞1，
∴不等式组的解集为：1＜x≤2．
将其表示在数轴上，如图所示．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，通过解不等式组求出x的取值范围是解题的关键．
(5) 求不等式组的整数解，并在数轴上表示出来．
【答案】
解：，
由①得：x＞﹣2，
由②得：x≤6，
∴不等式组的解集是：﹣2＜x≤6．
∴整数解是：﹣1，0，1，2，3，4，5，6．
在数轴上表示出来为：
．
【变式】如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是______．
【答案】
解：设n为正整数，由题意得
解得
则n可取的最小正整数为11．
若x为奇数，即x＝21时，y＝105；
若x为偶数，即x＝22时，y＝101．
∴满足条件的最小正整数x是21．
类型二、方程的综合运用
1．如图所示，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是________．
【思路点拨】两图象的交点就是方程组的解.
【答案】
【解析】由图象可知y＝ax+b与y＝kx的交点P的坐标为(-4，-2)，
所以二元一次方程组的解为
【总结升华】
方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透，平时应加强这方面的练习与思考．
举一反三：
【变式】已知关于的一元二次方程．
（1）求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2，求关于的一元二次方程的解．
【答案】（1）证明：
∵不论取何值时，
∴，即
∴不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根..
（2）将代入方程，得
再将代入，原方程化为，解得．
举一反三：
【变式1】已知关于x的一元二次方程.
（1）若x=－2是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一个根；
（2）求证：对于任意实数m，这个方程都有两个不相等的实数根.
【分析】 1）一代入二还原即可； 2）证明即可
【答案】
（1）解：把x=－2代入方程，得，
即.解得，.
当时，原方程为，则方程的另一个根为.
当时，原方程为，则方程的另一个根为.
（2）证明：，
∵对于任意实数m，， ∴.
∴对于任意实数m，这个方程都有两个不相等的实数根.
【变式2】一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.
【解答】解：x2-10x+21=0，
因式分解得：（x-3）（x-7）=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的第三边是x2-10x+21=0的根，
∴三角形的第三边为3或7，
当三角形第三边为3时，3+3=6，不能构成三角形，舍去；
当三角形第三边为7时，三角形三边分别为3，6，7，能构成三角形，
则第三边的长为7．
∴三角形的周长为: 3+6+7=16.
故答案为：16.
类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用
4．如果关于x的方程的解也是不等式组的一个解，
求m的取值范围．
【思路点拨】
解方程求出x的值（是用含有m的式子表示的），再解不等式组求出x的取值范围，最后方程的解与不等式组的解结合起来求m的取值范围.
【答案与解析】
解方程，得x＝-m-2．
因为，
所以m≠-4且m≠0时，有．
所以方程的解为x＝-m-2．
其中m≠-4且m≠0．
解不等式组得x≤-2．
由题意，得-m-2≤-2，解得m≥0．
所以m的取值范围是m＞0．
【总结升华】方程与不等式的综合题，是中考考查的重点之一．
举一反三：
【变式】如果不等式组的解集是，那么的值为 ．
【答案】解不等式组得：，因为不等式组的解集是，所以 解得所以.
类型四、方程（组）与不等式（组）的实际应用
1. 某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有x个，小房间有y个．下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意可得等量关系：①大房间数+小房间数=70；②大房间住的学生数+小房间住的学生数=480，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设大房间有x个，小房间有y个，由题意得：
，
故选：A．
2. 九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（ ）
A．x（x﹣1）=28 B．x（x﹣1）/2=28 C．2x（x﹣1）=28 D．x（x+1）=28
【分析】赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x个班比赛总场数=x（x-1）÷2，即可列方求解．
【解析】解：设九年级共有x个班，每个班都要赛（x-1）场，但两班之间只有一场比赛，
故x（x-1）/2=28．故选B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×（队数-1）÷2，进而得出方程是解题关键。
3.某养鸡场突发流感疫情，一只带病毒的小鸡经过两天的传染后，使鸡场共有169只小鸡感染患病，在每一天的传染中平均一只小鸡传染了几只小鸡？
【解析】解：在每一天的传染中平均一只小鸡传染了X只小鸡
1＋x＋x(x＋1)＝169
1＋x＋x?＋x－169＝0
x?＋2x－168＝0
(x＋14)(x－12)＝0
x1＝-14 (舍） x2＝12
取x＝12
答：平均一只小鸡传染了12只小鸡.
【变式】有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人??
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。
第一轮被传染的人数：X
第二轮被传染的人数：(1+X) X
1+X+(1+X)X = 121
X^2+2X+1 =121
(X+1)^2=121
X+1=11
X=10
每轮传染中平均一个人传染10人?
4. 据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%假定2018年的平均增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（ ）
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】根据题意可知2017年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a万件，2018年我省有效发明专利数为（1+22.1%）?（1+22.1%）a，由此即可得.
【详解】由题意得：2017年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a万件，
2018年我省有效发明专利数为（1+22.1%）?（1+22.1%）a万件，即b=（1+22.1%）2a万件，故选B.
【点评】本题考查了增长率问题，弄清题意，找到各量之间的数量关系是解题的关键.
5. “绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为万平方米，
依题意得：﹣=30，即．
故选：C．
【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程．
6．甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
（1）问乙单独整理多少分钟完工？
（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
【答案与解析】
（1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意得：
解得x＝80，
经检验x＝80是原分式方程的解．
答：乙单独整理80分钟完工．
（2）设甲整理y分钟完工，根据题意，得
解得：y≥25
答：甲至少整理25分钟完工．
【总结升华】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．
（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；
（2）设甲整理y分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可．
举一反三：
【变式】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】
设走路线一时的平均速度为x千米/小时，
故选A．
7.甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？
【答案】设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，
由题意得：
答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵.
8．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？
【思路点拨】
设该产品的成本价平均每月降低率为x，那么两个月后的销售价格为625（1-20%）（1+6%），两个月后的成本价为500（1-x）2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果．
【答案与解析】
设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为x．
625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500
整理，得500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81．
1-x=±0.9，x=1±0.9，
x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%．
答：该产品的成本价平均每月应降低10%．
【总结升华】题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的售利润不变，即利润仍要达到125元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．
类型五、用不等式（组）解决决策性问题
1．为了美化家园，创建文明城市，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉的情况如下表所示；
造型 甲 乙
A 90盆 30盆
B 40盆 100盆
综合上述信息，解答下列问题：
(1)符合题意的搭配方案有哪儿种?
(2)若搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种选型的成本为1200元，试说明选用(1)中哪种方案成本最低?
【思路点拨】
本题首先需要从文字和表格中获取信息，建立不等式(组)，然后求出其解集，根据实际问题的意义，再求出正整数解，从而确定搭配方案．
【答案与解析】
解：(1)设搭配x个A种造型，则需要搭配(50-x)个B种造型，由题意，得
解得30≤x≤32．
所以x的正整数解为30，31，32．
所以符合题意的方案有3种，分别为：
A种造型30个，B种造型20个；
A种造型31个，B种造型19个；
A种造型32个，B种造型18个．
(2)由题意易知，三种方案的成本分别为：
第一种方案：30×1000+20×1200＝54000；
第二种办案：31×1000+19×1200＝53800；
第三种方案：32×1000+18×1200＝53600.
所以第三种方案成本最低．
【总结升华】实际问题的“最值问题”一般是指“成本最低”、“利润最高”、“支出最少”等问题．
举一反三：
【变式】某商场“家电下乡”指定型号冰箱，彩电的进价和售价如下表所示：
（1）按国家政策，购买“家电下乡”产品享受售价13％的政府补贴.若到该商场购买了冰箱，彩电各一台，可以享受多少元的补贴？
(2)为满足需求，商场决定用不超过85000元采购冰箱，彩电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的.
①请你帮助该商场设计相应的进货方案；
②用哪种方案商场获得利润最大？（利润=售价-进价），最大利润是多少？
【答案】
（1）（2420+1980）×13％=572（元）
（2）①设冰箱采购x台，则彩电采购（40-x）台，
解不等式组得，因为x为整数，所以x=19、20、21，
方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台，
方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台，
方案一：冰箱购买21台，彩电购买19台.
②设商场获得总利润为y元，则y=(2420-2320)x+(1980-1900)(40-x)=20x+3200
∵20＞0，∴y随x的增大而增大，
∴当x=21时，y最大=20×21+3200=3620（元）.
附：广东省近三年广州市中考数学试题
21.广州（12分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
21．广州（12分）友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台．最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台．
（1）当x=8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
（2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围．
21．广州（12分）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路20天．
（1）求乙队筑路的总公里数；
（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．
【主要考点】解方程（组）、解不等式（组）、方程（组）的应用、根的判别式、韦达定理的运用、不等式应用
【考纲要求】
1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；
2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；
3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；
4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；
5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．
【知识网络】
牢记：概念，特征，性质，解法，规律，应用(热点）
【考点梳理】
考点一、一元一次方程
1.方 程： 含有未知数的等式叫做方程.
2.方程的解： 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.
3.等式的性质
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.
4.一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其
标准形式：，a是未知数x的系数，b是常数项.
5.一元一次方程解法的一般步骤
整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).
6.列一元一次方程解应用题
(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.
(2)画图分析法：多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得列方程的依据。
7.列方程解应用题常用的等量关系及题型：
(1)行程问题： 距离=速度×时间 ；
(2)工程问题： 工作量=工效×工时 ；
(3)比率问题： 部分=全体×比率 ；
(4)顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；
(5)商品价格问题： 售价=定价·折· ，利润=售价-成本， ；
(6)周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a，
S正方形=a2，S环形=π(R2-r2)，V长方体=abh ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥=πR2h.
考点二、二元一次方程（组）
1.二元一次方程
含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程;
一般形式: a1x+b2y=c1
a2x+b2y=c2 (a≠0，b≠0)
2.方程的解
使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.
3.二元一次方程组
两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
4.方程组的解
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.
5.方程组的解法
①代入消元法；②加减消元法.
6.三元一次方程（组）
（1）三元一次方程
把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.
（2）三元一次方程组
由三个（以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
要点诠释：
二元一次方程组的解法：
消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.
（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．
考点三、一元二次方程
1.一元二次方程
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.一般形式：
，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.
3.方程的解法
（1）直接开平方法
解形如的一元二次方程.根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根.
（2）配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式，注意：把二次项的系数化为1再配方，则有.
（3）公式法
公式法是用求根公式求方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.
求根公式：
（4）因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，它是解一元二次方程最常用的方法.
十字相乘法
十字相乘法求出方程的解的最快方法，它是解一元二次方程最简易的方法。
4.根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.
△ >0 方程有两个不相等的实数根；
△＝0 方程有两个相等的实数根；
△ <0 方程没有实数根．
上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．
要点诠释：
△≥0 方程有实数根.
5.根与系数的关系
如果方程的两个实数根是，那么，.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
要点诠释：
一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.
（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.
（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.
（3）用配方法时二次项系数要化1.
（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.
考点四、分式方程
1.分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程.一般形式：如,
2.分式方程的解法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：
①去分母，方程两边都乘以最简公分母；
②解所得的整式方程；
③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.
口诀：“一化二解三检验”.
3．分式方程的增根问题
(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根；
(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．
4．分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．
列分式方程解应用题的基本步骤：
(1)审——仔细审题，找出等量关系；
(2)设——合理设未知数；
(3)列——根据等量关系列出方程；
(4)解——解出方程；
(5)验——检验增根；
(6)答——答题．
考点五、一元二次方程、分式方程的应用.
1．二次方程常用的数量关系及题型：
(1)数字问题：(包括日历中的数字规律) 表示一个两位数或三位数，100a+10b+c
传染问题:传染源+第一次传染+第二次传染=传染总. 即：1+x+(1+x)x=a
增长率问题：基数a,两年增长后的值为b,设平均增长率为x，则：a(1+x)=b
单、双循环问题：设参赛有n个队，则单循环场次为:?n(n-1）双循环为n(n-1)
打折销售问题:利润＝售价-成本价(进价)，总利润=单个利润x总销售量；
2．分式方程常用的等量关系及题型：
①工程问题： 工作量=工效×工时 ；
②行程问题： 距离=速度×时间 ；
③比率问题： 部分=全体×比率 ；
3．解应用题的步骤
(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；
(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；
(3)列出方程；找出相等关系，依据关系列出；
(4)解方程求出题中未知数的值；
(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．
要点诠释：
常用思想方法：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想，用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．
注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意实际．
考点六、不等式（组）
1.不等式的概念
（1）不等式
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.
（2）不等式的解集
任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.
不等式的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.
求不等式的解集的过程，叫做解不等式.
2.不等式基本性质
（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；
（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
3.一元一次不等式
（1）一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.
（2）一元一次不等式的解法（步骤）：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.
4.一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的概念
几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.
当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.
（2）一元一次不等式组的解法
①分别求出不等式组中各个不等式的解集；
②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.
由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．
不等式组 （其中a＞b） 图示 解集 口诀
（大大取大）
（小小取小）
（大小小大取 中间）
无解 （空集） （大大、小小 找不到）
注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.
要点诠释：
用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.
（1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a，则a=b；④若a2≤0，则a=0；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号.
（2）任意实数a、b大小关系：①a-b＞Oa＞b；②a-b=Oa=b；③a-b＜Oa＜b．
不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可换为d≤c.
【典型例题】
类型一、解方程（组）解不等式（组）
1．用配方法解一元二次方程：
【思路点拨】 把二次项系数化为1，常数项右移，方程两边都加上一次项系数一半的平方，再用直接开平方法解出未知数的值.
【解析】解：移项，得
二次项系数化为1，得
配方
由此可得
，
【总结升华】用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则 判定此方程为无实数解.
举一反三：
【变式】用配方法解方程x2-7x-1=0．
【答案】原方程的根为 x=或x=．
2. （2018·广东广州·3分）方程 的解是________
【答案】x=2
【考点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x（x+6)得：
x+6=4x
∴x=2.
经检验得x=2是原分式方程的解.
故答案为：2.
【分析】方程两边同时乘以最先公分母x（x+6)，将分式方程转化为整式方程，解之即可得出答案.
解答与计算题：
（1） 解方程组： ?
【答案】解： ? ,由① 得：x=-2y ③
将③代入②得：3（-2y）+4y=6，
解得：y=-3,
将y=-3代入③得：x=6，
∴原方程组的解为：
(2)、解方程：2x2﹣4x﹣30=0
【分析】利用因式分解法解方程即可；
【解答】解：∵2x2﹣4x﹣30=0，
∴x2﹣2x﹣15=0，
∴（x﹣5）（x+3）=0，
∴x1=5，x2=﹣3．
【点评】本题考查一元二次方程的解法﹣因式分解法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法，属于中考基础题．
(3)、解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.
【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解:去分母得，5x-1<3（x+1），
去括号得，5x-1<3x+3，
移项得，5x-3x<3+1，
合并同类项得，2x<4，
把x的系数化为1得，x<2．
在数轴上表示为：．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
(4)、解不等式组：，并在数轴上表示其解集．
【分析】分别解不等式①、②求出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将其表示在数轴上，此题得解．
【解答】解：解不等式①，得：x≤2；
解不等式②，得：x＞1，
∴不等式组的解集为：1＜x≤2．
将其表示在数轴上，如图所示．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，通过解不等式组求出x的取值范围是解题的关键．
(5) 求不等式组的整数解，并在数轴上表示出来．
【答案】
解：，
由①得：x＞﹣2，
由②得：x≤6，
∴不等式组的解集是：﹣2＜x≤6．
∴整数解是：﹣1，0，1，2，3，4，5，6．
在数轴上表示出来为：
．
【变式】如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是______．
【答案】
解：设n为正整数，由题意得
解得
则n可取的最小正整数为11．
若x为奇数，即x＝21时，y＝105；
若x为偶数，即x＝22时，y＝101．
∴满足条件的最小正整数x是21．
类型二、方程的综合运用
1．如图所示，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是________．
【思路点拨】两图象的交点就是方程组的解.
【答案】
【解析】由图象可知y＝ax+b与y＝kx的交点P的坐标为(-4，-2)，
所以二元一次方程组的解为
【总结升华】
方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透，平时应加强这方面的练习与思考．
举一反三：
【变式】已知关于的一元二次方程．
（1）求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2，求关于的一元二次方程的解．
【答案】（1）证明：
∵不论取何值时，
∴，即
∴不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根..
（2）将代入方程，得
再将代入，原方程化为，解得．
举一反三：
【变式1】已知关于x的一元二次方程.
（1）若x=－2是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一个根；
（2）求证：对于任意实数m，这个方程都有两个不相等的实数根.
【分析】 1）一代入二还原即可； 2）证明即可
【答案】
（1）解：把x=－2代入方程，得，
即.解得，.
当时，原方程为，则方程的另一个根为.
当时，原方程为，则方程的另一个根为.
（2）证明：，
∵对于任意实数m，， ∴.
∴对于任意实数m，这个方程都有两个不相等的实数根.
【变式2】一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.
【解答】解：x2-10x+21=0，
因式分解得：（x-3）（x-7）=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的第三边是x2-10x+21=0的根，
∴三角形的第三边为3或7，
当三角形第三边为3时，3+3=6，不能构成三角形，舍去；
当三角形第三边为7时，三角形三边分别为3，6，7，能构成三角形，
则第三边的长为7．
∴三角形的周长为: 3+6+7=16.
故答案为：16.
类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用
4．如果关于x的方程的解也是不等式组的一个解，
求m的取值范围．
【思路点拨】
解方程求出x的值（是用含有m的式子表示的），再解不等式组求出x的取值范围，最后方程的解与不等式组的解结合起来求m的取值范围.
【答案与解析】
解方程，得x＝-m-2．
因为，
所以m≠-4且m≠0时，有．
所以方程的解为x＝-m-2．
其中m≠-4且m≠0．
解不等式组得x≤-2．
由题意，得-m-2≤-2，解得m≥0．
所以m的取值范围是m＞0．
【总结升华】方程与不等式的综合题，是中考考查的重点之一．
举一反三：
【变式】如果不等式组的解集是，那么的值为 ．
【答案】解不等式组得：，因为不等式组的解集是，所以 解得所以.
类型四、方程（组）与不等式（组）的实际应用
1. 某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有x个，小房间有y个．下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意可得等量关系：①大房间数+小房间数=70；②大房间住的学生数+小房间住的学生数=480，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设大房间有x个，小房间有y个，由题意得：
，
故选：A．
2. 九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（ ）
A．x（x﹣1）=28 B．x（x﹣1）/2=28 C．2x（x﹣1）=28 D．x（x+1）=28
【分析】赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x个班比赛总场数=x（x-1）÷2，即可列方求解．
【解析】解：设九年级共有x个班，每个班都要赛（x-1）场，但两班之间只有一场比赛，
故x（x-1）/2=28．故选B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×（队数-1）÷2，进而得出方程是解题关键。
3.某养鸡场突发流感疫情，一只带病毒的小鸡经过两天的传染后，使鸡场共有169只小鸡感染患病，在每一天的传染中平均一只小鸡传染了几只小鸡？
【解析】解：在每一天的传染中平均一只小鸡传染了X只小鸡
1＋x＋x(x＋1)＝169
1＋x＋x?＋x－169＝0
x?＋2x－168＝0
(x＋14)(x－12)＝0
x1＝-14 (舍） x2＝12
取x＝12
答：平均一只小鸡传染了12只小鸡.
【变式】有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人??
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。
第一轮被传染的人数：X
第二轮被传染的人数：(1+X) X
1+X+(1+X)X = 121
X^2+2X+1 =121
(X+1)^2=121
X+1=11
X=10
每轮传染中平均一个人传染10人?
4. 据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%假定2018年的平均增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（ ）
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】根据题意可知2017年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a万件，2018年我省有效发明专利数为（1+22.1%）?（1+22.1%）a，由此即可得.
【详解】由题意得：2017年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a万件，
2018年我省有效发明专利数为（1+22.1%）?（1+22.1%）a万件，即b=（1+22.1%）2a万件，故选B.
【点评】本题考查了增长率问题，弄清题意，找到各量之间的数量关系是解题的关键.
5. “绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为万平方米，
依题意得：﹣=30，即．
故选：C．
【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程．
6．甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
（1）问乙单独整理多少分钟完工？
（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
【答案与解析】
（1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意得：
解得x＝80，
经检验x＝80是原分式方程的解．
答：乙单独整理80分钟完工．
（2）设甲整理y分钟完工，根据题意，得
解得：y≥25
答：甲至少整理25分钟完工．
【总结升华】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．
（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；
（2）设甲整理y分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可．
举一反三：
【变式】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】
设走路线一时的平均速度为x千米/小时，
故选A．
7.甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？
【答案】设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，
由题意得：
答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵.
8．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？
【思路点拨】
设该产品的成本价平均每月降低率为x，那么两个月后的销售价格为625（1-20%）（1+6%），两个月后的成本价为500（1-x）2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果．
【答案与解析】
设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为x．
625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500
整理，得500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81．
1-x=±0.9，x=1±0.9，
x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%．
答：该产品的成本价平均每月应降低10%．
【总结升华】题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的售利润不变，即利润仍要达到125元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．
类型五、用不等式（组）解决决策性问题
1．为了美化家园，创建文明城市，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉的情况如下表所示；
造型 甲 乙
A 90盆 30盆
B 40盆 100盆
综合上述信息，解答下列问题：
(1)符合题意的搭配方案有哪儿种?
(2)若搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种选型的成本为1200元，试说明选用(1)中哪种方案成本最低?
【思路点拨】
本题首先需要从文字和表格中获取信息，建立不等式(组)，然后求出其解集，根据实际问题的意义，再求出正整数解，从而确定搭配方案．
【答案与解析】
解：(1)设搭配x个A种造型，则需要搭配(50-x)个B种造型，由题意，得
解得30≤x≤32．
所以x的正整数解为30，31，32．
所以符合题意的方案有3种，分别为：
A种造型30个，B种造型20个；
A种造型31个，B种造型19个；
A种造型32个，B种造型18个．
(2)由题意易知，三种方案的成本分别为：
第一种方案：30×1000+20×1200＝54000；
第二种办案：31×1000+19×1200＝53800；
第三种方案：32×1000+18×1200＝53600.
所以第三种方案成本最低．
【总结升华】实际问题的“最值问题”一般是指“成本最低”、“利润最高”、“支出最少”等问题．
举一反三：
【变式】某商场“家电下乡”指定型号冰箱，彩电的进价和售价如下表所示：
（1）按国家政策，购买“家电下乡”产品享受售价13％的政府补贴.若到该商场购买了冰箱，彩电各一台，可以享受多少元的补贴？
(2)为满足需求，商场决定用不超过85000元采购冰箱，彩电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的.
①请你帮助该商场设计相应的进货方案；
②用哪种方案商场获得利润最大？（利润=售价-进价），最大利润是多少？
【答案】
（1）（2420+1980）×13％=572（元）
（2）①设冰箱采购x台，则彩电采购（40-x）台，
解不等式组得，因为x为整数，所以x=19、20、21，
方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台，
方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台，
方案一：冰箱购买21台，彩电购买19台.
②设商场获得总利润为y元，则y=(2420-2320)x+(1980-1900)(40-x)=20x+3200
∵20＞0，∴y随x的增大而增大，
∴当x=21时，y最大=20×21+3200=3620（元）.
附：广东省近三年广州市中考数学试题
21.广州（12分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
21．广州（12分）友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台．最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台．
（1）当x=8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
（2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围．
21．广州（12分）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路20天．
（1）求乙队筑路的总公里数；
（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．