(共13张PPT)
授课:李卫老师
人教版《数学》
八年级下册
[慕联教育同步课程]
课程编号：TS1709010202R8218020301LWJ
慕课联盟课程开发中心：www.moocun.com
18.2.3
正方形
学习目标
1．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概念之间的联系和区别；
2．能用正方形的定义、性质和判定进行推理与计算．
平行四边形与矩形、菱形有什么联系？
一个角
是直角
一组邻
边相等
平行四边形
矩形
菱形
探究新知
除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形吗？
正方形
定义：四个角都是直角，四条边都相等的四边形叫正方形．
在小学，什么样的四边形是正方形？
探究新知
正方形与矩形和菱形分别有什么关系？
你能用一张矩形纸片，折出一个正方形吗？说说折出的四边形是正方形的依据．
探究新知
A
C
B
D
如图，某一拉门在完全关闭时，其相应的菱形变成正方形．请说说图中∠1的变化过程．
1
1
探究新知
正方形既是矩形又是菱形．
一个角是
直角
一组邻边
相等
平行四
边形
矩形
菱形
一组邻边
相等
一个角是
直角
正方形
探究新知
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形有哪些性质？
拥有菱形和矩形的所有性质
四条边都相等且对边平行;
两条对角线互相垂直平分且相等,并且每一条对角线平分一组对角.
四个角都是直角;
1.边：
2.
角:
3.对角线:
学习目标
怎样判定一个矩形是正方形？怎样判定一个菱形是正方形？
怎样判定一个平行四边形是正方形？
既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
探究新知
一个角是
直角
一组邻边
相等
平行四
边形
矩形
菱形
一组邻边
相等
一个角是直角
正方形
例5 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
O
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AC=BD,AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.
∴△ABO,△BCO,△CDO，△DAO都是
等腰直角三角形，并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO
巩固新知
练习1：如图，ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在AB上取定了一点E，测量知，EC=30m,EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？
A
B
C
D
E
解：连接AC，
∵ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC
又∵EC=30m,EB=10m.
由勾股定理得：
BC=
，
∴对角线长为AC=
.
巩固新知
+邻边相等
正方形
矩形
+90°角
菱形
正方形
平行
四边形
正方形
+邻边相等
+90°角
正方形
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，正方形拥有矩形，菱形的所有性质.
正方形的判定：
课堂小结
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一个习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见！
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人教版数学八下18.2.3正方形
1.如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．30
B．34
C．36
D．40
2.正方形四边中点的连线围成的四边形（最准确的说法）一定是（ ）
A．矩形
B．菱形
C ．正方形
D．平行四边形
3.矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（ ）
A．邻边相等
B．四个角都是直角
C．对角线相等
D．对角线互相平分
4.如图，四边形ABCD是边长为的正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则DM的长为（ ）
A.+1
B.+1
C.2
D.2-
5.用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（ ）
A．①④⑤
B．②⑤⑥
C ．①②③
D．①②⑤
6.如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF=（ ）
A．35°
B．45°
C．55°
D．60°
7.下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．一组对边相等一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线垂直且相等的四边形是正方形
D．一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形
8.关于 ABCD的叙述，正确的是（ ）
A．若AC⊥BD，则 ABCD是正方形
B．若AC=BD，则 ABCD是正方形
C．若AB⊥BC，则 ABCD是菱形
D．若AB=BC，则 ABCD是菱形
9.如图，从下列四个条件①AB=BC，②AC⊥BD，③∠ABC=90°，④AC=BD中选两个作为补充条件，使 ABCD成为正方形，下列四种选法错误的是（ ）
①②
①③
②③
D．①④
10.给出下列判断：①四个角相等的四边形是正方形．②对角线相等的四边形是矩形．③对角形互相垂直且相等的四边形是正方形．④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．其中不正确的有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
答案解析：
1.
B
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90 ，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG.
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
AE=BF=CG=DH
∠A=∠B=∠C=∠D
AH=BE=CF=DG，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS)，
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90 ，
∴∠BEF+∠AEH=90 ，
∴∠HEF=90 ，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，
∴EH=FE=GF=GH==
∴四边形EFGH的面积是：×=34
故选：B
2.
C
解析：连接AC、BD，交于O，
∵正方形ABCD，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∵E是AD的中点，H是CD的中点，F是AB的中点，G是BC的中点，
∴EH∥AC，FG∥AC，EF∥BD，GH∥BD，EF=BD，EH=AC，
∴EF=EH，EF⊥EH，四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是正方形．
故选：C．
3.
D
解析：A、矩形的邻边不相等，错故选项误，
B、菱形的四个角不是直角，故选项错误，
C、菱形的对角线不相等，故选项错误，
D、三个图形中，对角线都互相平分，故选项正确．
故选D．
4.
C
解析：
∵四边形ABCD是正方形，△CDE为等边三角形，
∴CD=CE=CB,∠DCE=60 ,∠DCB=90 ，
∴∠BCE=150 ，
∴∠CBE=15 ，
∴∠ABM=90 15 =75 ，
过B作BF⊥AC于点F，如图，
∵∠BAC=45 ，
∴BF=AB=，
∴∠MBF=75 45 =30 ，
∴=cos30 =，
∴BM=2，
∵M在AC上，
∴DM=BM=2，
故选：C
5.
D
解析：根据题意，能拼出平行四边形、矩形和等腰三角形．
故选：D
6.
B
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AE=AB，
∴AE=AB=AD，
∴∠ABE=∠AEB，∠AED=∠ADE，∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°，∠AED+∠ADE+∠DAE=180°，
∵∠BAE+∠DAE=∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠AEB+∠AED+∠ADE=270°，
∴∠AEB+∠AED=135°，
即∠BED=135°，
∴∠BEF=180°﹣135°=45°．
故选：B
7.
D
解析：
A、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故不一定是矩形，故A不正确；
B、一组对边相等一组对边平行的四边形可能是等腰梯形，故B不正确；
C、对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可能是等腰梯形，故C不正确；
D、由条件一组对边平行，一组对角相等，则可求得另一组对角也相等，故可判断其为平行四边形，故D正确；
故选D．
8.
D
解析：∵ ABCD中，AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项C错误；
∵ ABCD中，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项A错误；
∵ ABCD中，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，选项B错误；
∵ ABCD中，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，选项D正确；
故选：D．
9.
A
解析：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②AC⊥BD时，菱形ABCD不一定正方形，故此选项错误，符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
当③∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当②AC⊥BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当④AC=BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选A
10.
B
解析：①四个角相等的四边形是正方形，不正确，故此选项符合题意；
②对角线相等的四边形是矩形，不正确，故此选项符合题意；
③对角形互相垂直且相等的四边形是正方形，不正确，故此选项符合题意；
④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，此说法是正确的，不符合要求；
故选：B
