2020春华师版九下数学 27.2.3切线第1课时课件(35张PPT)

课件35张PPT。第1课时 1.你能归纳切线的判定定理吗？
答：经过半径_____并且_____这条半径的_____是圆的切线.
【点拨】这个定理包含了两个条件：①直线经过半径的外端
点；②直线垂直于这条半径.这两个条件缺一不可. 外端垂直直线2.试说出判定一条直线是圆的切线的3种方法.
答：___________________________________
_______________________________________
_________________________________________________．
3.你能说出圆的切线的性质吗？
答：圆的切线_____于过_____的半径． ①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线垂直切点【预习思考】圆的切线的判定定理中的“半径”改为“直径”
可以吗？
提示：可以. 切线的判定
【例1】如图，在
△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，
交AC于点D，连结DB,过点D作DE⊥BC，垂
足为点E.
(1)求证:DE为⊙O的切线;
(2)求证：DB2=AB·BE.
特别提醒:有半径可证明直线过半径的外端点且垂直于半径！ 【规范解答】(1)连结OD,………………………………1分
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠BCA，…………………………………………2分
∵OA=OD,∴∠BAC=∠ODA，………………………………3分
∴∠BCA=∠ODA.…………………………………………4分
∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°，在直角三角形DCE中，
∠BCA+∠CDE=90°，
∴∠ODA+∠CDE=90°，即∠ODE=90°.…………………5分
∴DE是⊙O的切线.………………………………………6分(2)∵D为⊙O上一点，AB为直径,
∴∠ADB=90°.…………………7分
∵AB=BC，∴∠ABD=∠CBD，
∴△ABD∽△DBE，……………8分
∴DB2=AB·BE. ………………10分【规律总结】
证明直线与圆相切时作辅助线的两种方法
1.“连半径,证垂直”：已明确直线和圆有公共点,辅助线的作
法是连结圆心和公共点,即得“半径”,再证“直线与半径垂
直”．
2.“作垂直,证半径”：不明确直线和圆有公共点,辅助线的作
法是过圆心作直线的垂线,再证“圆心到直线的距离等于半
径”．【跟踪训练】
1.如图,AB是⊙O的直径,
BC交⊙O于点D,DE⊥AC于点E,要使DE是
⊙O的切线,还需补充一个条件,则补充
的条件不正确的是( )
(A)DE＝DO (B)AB＝AC
(C)CD＝DB (D)AC∥OD【解析】选A.由于D是圆上一点,所以要说明DE是切线,只需证明
OD⊥DE即可,又因为DE⊥AC,所以当AC∥OD时,可得OD⊥DE,进一
步当CD＝DB时,即D为BC的中点,而O为AB的中点,所以OD∥AC,当
AB=AC时,连结AD,因为AB是直径,所以AD⊥BC,所以CD=DB,因此
B、C、D条件均可以说明DE是⊙O的切线.2.矩形的两邻边长分别为2.5和5,若以较长一边为直径作半圆,
则矩形的各边与半圆相切的线段最多有( )
(A)0条 (B)1条
(C)2条 (D)3条
【解析】选D.以较长的边为直径作圆,半径正好与另一边相等,
所以如图可知,与半圆相切的线段有3条. 3.以等腰三角形顶角的顶点为圆心,顶角的平分线为半径的圆与
底边________.
【解析】根据等腰三角形的性质可得等腰三角形顶角平分线、
底边的中线以及底边上的高重合,以及切线的判定(经过半径的
外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线)可得到以等腰三角形
顶角的顶点为圆心,顶角的平分线为半径的圆必与底边相切.
答案：相切4.已知：如图所示,在△AOB中,OC⊥AB于C,∠AOC=∠B,AC=16,
BC=4,⊙O的半径等于8.求证：AB是⊙O的切线. 【证明】∵OC⊥AB于C,
∴∠ACO=∠OCB=90°.
∵∠AOC=∠B,
∴△AOC∽△OBC.
∴
∵AC=16,BC=4,
∴OC=8=⊙O的半径.
∴AB是⊙O的切线. 切线的性质
【例2】如图,AB为⊙O
的直径,BC为⊙O的切线,AC交⊙O于点E,
D为AC上一点,∠AOD=∠C.
(1)求证：OD⊥AC;
(2)若AE=8,tan A= ,求OD的长.【解题探究】(1)①试说出∠A与∠C的关系.
答：∵BC是⊙O的切线,AB为⊙O的直径,
∴∠ABC=90°,∴∠A+∠C=90°,
即∠A与∠C互余．
②由①知∠A+∠C=90°,又∠AOD=∠C,所以∠A+∠AOD=90°,即
∠ADO=90°,所以OD⊥AC．(2)①因为OD⊥AE,O为圆心,AE=8, 依据垂径定理可得：
D为AE的中点,所以AD=4．
②因为tan A= 所以OD=AD·tan A，
所以OD=【规律总结】
与切线有关的“五个”性质
1.切线与圆只有一个公共点；
2.切线和圆心的距离等于半径；
3.切线垂直于经过切点的半径；
4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心． 【跟踪训练】
5.如图,AB为⊙O的直径,
PD切⊙O于点C,交AB的延长线于点D,且
CO＝CD,则∠PCA＝( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)67.5°
【解析】选D. PD切⊙O于点C,∴OC⊥PD,又∵OC＝CD,
∴∠COD＝45°,∵AO＝CO,∴∠ACO＝22.5°,
∴∠PCA＝90°－22.5°＝67.5°．【变式训练】如图,PA为⊙O的切线,A为切点.
过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点
D,与PA的延长线交于点E．
(1)求证：PB为⊙O的切线；
(2)若tan ∠ABE= ,求sin E的值．【解析】(1)连结OA,∵PA为⊙O的切线,
∴∠PAO=90°,
∵OA＝OB,OP⊥AB于点C,
∴BC＝CA,PB＝PA,
∴△PBO≌△PAO,
∴∠PBO＝∠PAO＝90°,
∴PB为⊙O的切线.(2)方法一：连结AD,∵BD是直径,∠BAD＝90°,
由(1)知∠BCO＝90°,∴AD∥OP,
∴△ADE∽△POE,
由AD∥OC得AD＝2OC ,∵tan∠ABE=
∴ 设OC＝t,则BC＝2t,AD=2t，
由△PBC∽△BOC,得PC＝2BC＝4t,OP＝5t，
∴ 可设EA＝2m,EP=5m,
则PA=3m,∵PA=PB,∴PB=3m,
∴sin E=方法二：连结AD,则∠BAD＝90°,由(1)知∠BCO＝90°,
∵AD∥OC,∴AD＝2OC.
∵ 设OC＝t,BC＝2t,AB=4t,
由△PBC∽△BOC,得PC＝2BC＝4t,
∴PA＝PB＝ 过A作AF⊥PB于点F,
则AF·PB=AB·PC,∴AF= 进而由勾股定理得PF＝
∴sin E=sin ∠FAP=6.如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，
以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)若BE=2,BD=4，求⊙O的半径.【解析】(1)连结OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴OD⊥BC，又∵AC⊥BC，
∴OD∥AC，∴∠2=∠3；
∵OA=OD，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，
∴AD平分∠BAC；(2)∵BC与圆相切于点D．
∴∠ODB=90°,连结DE，即∠ODE+∠BDE=90°,
∵∠3+∠ODE=90°,
∴∠3=∠BDE=∠1.
又∵∠B=∠B,
∴△BED∽△BDA.
∴BD2=BE·BA，
∵BE=2，BD=4，∴BA=8，
∴AE=AB-BE=6，∴⊙O的半径为3．1.如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点
A， 则下列结论中不一定正确的是( )
(A)BA⊥DA (B)OC∥AE
(C)∠COE=2∠CAE (D)OD⊥AC【解析】选Ｄ．因为AD是⊙O的切线，所以BA⊥DA；由圆周角定
理得∠COE=2∠CAE，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，又因为
所以∠CAE=∠CAB，所以∠CAE=∠OCA，所以OC∥AE．2.如图,PA是⊙O的切线,切点为A,PA= ∠APO=30°,则⊙O的
半径为( )
(A)1 (B) (C)2 (D)4
【解析】选C.连结OA,∵PA是⊙O的切线,切点为A,
∴OA⊥PA,∵∠APO=30°,∴OA= 即⊙O的半径为2.3.如图,点A，B，D在⊙O上,∠A=25°,OD的延长线交直线BC于点
C,且∠OCB=40°,直线BC与⊙O的位置关系为________．【解析】∵∠BOC=2∠A=50°,∠OCB=40°,
∴在△OBC中,∠OBC=180°-50°-40°=90°．
∴直线BC与⊙O相切.
答案：相切4.如图,AC经过⊙O的圆心O,AB与⊙O相切于点
B,若∠A=50°,则∠C=________.
【解析】连结OB,则OB⊥AB,∴∠AOB=40°,
∴∠C=20°.
答案：20°5.如图,已知点E在△ABC的边AB上,∠C=90°,∠BAC的平分线交
BC于点D,且D在以AE为直径的⊙O上.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)已知∠B=28°,⊙O的半径为6,求线段AD的长.(结果精确到
0.1)【解析】(1)连结OD,
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC,
∵OA=OD,
∴∠BAD=∠ODA,
∴∠ODA=∠DAC,
∴AC∥OD,
∵∠C=90°,∴∠ODC=90°,
即BC是⊙O的切线.(2)连结DE.∵∠B=28°,∴∠BAC=62°,
即∠BAD=31°,∵AE为⊙O的直径,
∴∠ADE=90°,∵OA=6,∴AE=12,
∴cos ∠DAE=
∴AD=AE·cos 31°=12×0.86≈10.3.