6.1.1平方根课件（34张ppt）
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文档简介
(共34张PPT)
6.1.1平方根
1、我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是？
答：加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算。
加法与减法互逆；乘法与除法互逆。
2、乘方有没有逆运算？
知识回顾
掌握平方根与算术平方根的概念，能通过开方运算求一个非负数的平方根及算术平方根，理解平方与开平方互为逆运算。
【学习目标】
【学习重点】
【学习难点】
平方根和算术平方根的概念和性质
平方根与算术平方根的区别与联系
新知导入
为了趣味接力比赛,要在运动场上圈出一个面积为100平方米的正方形场地,这个正方形场地的边长为多少?
10米
因为
请你说一说解决问题的思路．
新知讲解
问题1、装修房屋，选用了某种型号的正方形地砖，这种地砖4块正好铺1，如图，问这种地砖一块的边长是多少？
设一块正方形地砖的边长为xm，根据题意，有
怎么求x呢？
新知讲解
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根.
例如，由于102=100，（ -10）2=100，所以100的平方根是+10和-10（可以合写为±10）.
新知讲解
1.16的平方根是什么？
2.0的平方根是什么？
3.-9有没有平方根？
交流(课本第2页）
因为，所以16的平方根是
因为，所以0的平方根是
因为不存在一个数的平方等于-9，所以-9没有平方根
让我们一起来表示一个数的平方根
正的平方根用来表示，（读做“根号a”）
即：正数a的平方根表示为±（读做“正、负根号a” ）
如：49的平方根表示为 ，
即= ±7
对于正数a
负的平方根用 “-”表示（读做“负根号a” ）
其中a叫做被开方数。
新知讲解
①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
②0只有一个平方根，它就是0本身；
③负数没有平方根.
平方根的性质：
新知讲解
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
开平方
(求平方根）
平方
平方运算与开平方运算互为逆运算.
新知讲解
1、我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是？
答：加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算。
加法与减法互逆；乘法与除法互逆。
2、乘方有没有逆运算？
解决问题
答：开方。
例题解析
(1) 25 (2) (3) 0.0169 (4) -64
例1 判断下列各数是否有平方根？为什么？
解：因为正数和0都有平方根，负数没有平方根，所以25， ，0.0169都有平方根，-64没有平方根。
考查知识——平方根的性质：
①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
②0只有一个平方根，它就是0本身；
③负数没有平方根.
正数的平方根有两个，同学们能发现这两个数之间的关系吗？
正数的两个平方根互为相反数，
例：a的一个平方根是5，则另一个平方根是 ，a= .其中______ 是算术平方根.
-5
25
我们把正数的正的平方根叫做算术平方根.
5
新知讲解
一个正数x的平方等于a,即 x2＝ a，这个正数x叫做a的算术平方根.
a的算术平方根记为，读作“根号a”
x2 = a (x为正数)
规定0的算术平方根是0，记作
也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数；负数不存在算术平方根，
即当a<0时，无意义.
新知讲解
新知讲解
例2 求下列各数的平方根和算术平方根。
(1) 1 (2) 81 (3) 64 (4) (-3)2
解：(1) ∵（±1）?=1
(2) ∵（±9）?=81
∴1的平方根是，即，1的算术平方根是1
∴81的平方根是，即，81的算术平方根是±9
新知讲解
(3) ∵（±8）?=64
(4) ∵（-3）?=9
∴64的平方根是，即，64的算术平方根是8
∴9的平方根是，即的平方根是±3，即，的算术平方根是3
平方根与算术平方根的联系与区别
联系：
1.算术平方根是平方根的一种；
2.只有非负数才有算术平方根和平方根；
3.0的算术平方根和平方根都是0.
新知讲解
区别 平方根 算术平方根
定义不同
个数不同
表示法不同
取值范围不同
如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根
正数有两个平方根
非负数a的非负平方根叫a的算术平方根
正数的算术平方根只有一个
正数的平方根一正一负，互为相反数
正数的算术平方根只有一个.
新知讲解
练一练:课本第5页“练习”
1.填空：
（1）一个正数有两个平方根，而且这两个平方根
（2） 有且只有一个平方根，它的平方根就是
（3） 数没有平方根。
互为相反数。
0
0
负
考查知识：平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根；
2. 判断是非：
（1）4是16的算术平方根。 （ ）
（2） 是 的一个平方根。 （ ）
（3） 的平方根是-5。 （ ）
（4）4是16的算术平方根。 （ ）
√
√
√
×
考查知识：平方根和算术平方根的定义。
3.下列各式是否有意义，并说明理由：
（1） （2） （3） （4）
考查知识：只有正数和0有平方根，负数没有平方根。
解：（1）有意义
（2）无意义
（3）有意义
（4）有意义
4.求下列各数的平方根、算术平方根，并用式子
表示。
（1）49 (2)25
解：（1）49的平方根是：
49的算术平方根是：
（2）25的平方根是：
25的算术平方根是：
例3、利用计算器求下列各式的值(精确到0.01)
(1)；(2) (3) (4)
解：(1)在计算器上依次键入2=，显示结果
是1.414213562，精确到0.01，得
例题讲解
(2)
(3)-
(4)在计算器上依次键入(5÷7)=，即可得
第二宇宙速度是指使人造卫星脱离地球引力作用范围飞向太阳，并围绕太阳运动所需的最小发射速度
新知讲解
本章引言中提到的速度是第二宇宙速度，，其中g取9.8m/，r取6.4×m，用计算器可求得
(m/s)=11.2(km/s)
例题讲解
例4、如图，跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度的动作.如果不考虑空气阻力等其他因素影响.弹跳到最高点后，人体下落到水面所需要的时间t与下落的高度h之间应遵循下面的公式：
,其中h的单位是m，t的单位是s，g=9.8m/.假设跳板的高度是3m，运动员在跳板上跳起至高出跳板1.2m处开始下落，那么运动员下落到水面约需要多长时间？
解：设运动员下落到水面约需ts，根据题意，得：
3+1.2=
t≈0.93s
例题讲解
1.判断下列说法是否正确：
(1) ±1的平方根是1. ( )
(2) 1的平方根是1. . ( )
(3) －25的平方根是±5. ( )
(4) ＝±18. ( )
(5) 9是－9 的算术平方根. ( )
(6) －5是25的平方根. ( )
课堂练习
2. 9的算术平方根是（ ）
A．-3 B．3 C．±3 D．81
3．下列说法正确的是( )
A.任何数都有平方根 B.一个正数的平方根有两个,它们互为倒数
C.只有非负数才有平方根 D.不是正数就没有平方根
课堂练习
B
C
课堂练习
4. 的平方根是_______
5.用计算器计算:≈_______．
6.自由落体公式：（g是重力加速度，它的值约为9.8m/ ），若物体降落的高度S=300m ，用计算器算出降落的时间T = （精确到0.1s ）
6.403
7.8s
7. 求下列各数的平方根
（1）100；（2）0；（3）；（4）0.09
解：(1)∵所以100的平方根是±10
(2)∵所以0的平方根是0
(3)∵所以的平方根是±
(4)∵所以0.09的平方根是±0.3
课堂练习
一个正数的平方根是2a+3和a-6你能知道a是多少吗？这个正数是几？
拓展提高
解：由平方根的意义知道
(2a+3)+(a-6)=0
得 a=1
这个正数是25.
中考链接
1.(2016. 江苏省秦州市)4的平方根是( )
A.±2 B.-2 C.2 D.±
2.(2018.株洲市)9的算术平方根是( )
A.3 B.9 C.±3 D.±9
A
A
课堂小结
平方根
定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根
性质：
开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方
1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数
2.0的平方根是0
3.负数没有平方根
课堂总结
开平方与平方是互为逆运算。
2.性质：
板书设计
1.定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根
(1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数
(2)0的平方根是0
(3)负数没有平方根
3.开平方的定义：
求一个数的平方根的运算，叫做开平方
6.1.1平方根
1、我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是？
答：加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算。
加法与减法互逆；乘法与除法互逆。
2、乘方有没有逆运算？
知识回顾
掌握平方根与算术平方根的概念，能通过开方运算求一个非负数的平方根及算术平方根，理解平方与开平方互为逆运算。
【学习目标】
【学习重点】
【学习难点】
平方根和算术平方根的概念和性质
平方根与算术平方根的区别与联系
新知导入
为了趣味接力比赛,要在运动场上圈出一个面积为100平方米的正方形场地,这个正方形场地的边长为多少?
10米
因为
请你说一说解决问题的思路．
新知讲解
问题1、装修房屋，选用了某种型号的正方形地砖，这种地砖4块正好铺1，如图，问这种地砖一块的边长是多少？
设一块正方形地砖的边长为xm，根据题意，有
怎么求x呢？
新知讲解
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根.
例如，由于102=100，（ -10）2=100，所以100的平方根是+10和-10（可以合写为±10）.
新知讲解
1.16的平方根是什么？
2.0的平方根是什么？
3.-9有没有平方根？
交流(课本第2页）
因为，所以16的平方根是
因为，所以0的平方根是
因为不存在一个数的平方等于-9，所以-9没有平方根
让我们一起来表示一个数的平方根
正的平方根用来表示，（读做“根号a”）
即：正数a的平方根表示为±（读做“正、负根号a” ）
如：49的平方根表示为 ，
即= ±7
对于正数a
负的平方根用 “-”表示（读做“负根号a” ）
其中a叫做被开方数。
新知讲解
①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
②0只有一个平方根，它就是0本身；
③负数没有平方根.
平方根的性质：
新知讲解
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
开平方
(求平方根）
平方
平方运算与开平方运算互为逆运算.
新知讲解
1、我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是？
答：加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算。
加法与减法互逆；乘法与除法互逆。
2、乘方有没有逆运算？
解决问题
答：开方。
例题解析
(1) 25 (2) (3) 0.0169 (4) -64
例1 判断下列各数是否有平方根？为什么？
解：因为正数和0都有平方根，负数没有平方根，所以25， ，0.0169都有平方根，-64没有平方根。
考查知识——平方根的性质：
①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
②0只有一个平方根，它就是0本身；
③负数没有平方根.
正数的平方根有两个，同学们能发现这两个数之间的关系吗？
正数的两个平方根互为相反数，
例：a的一个平方根是5，则另一个平方根是 ，a= .其中______ 是算术平方根.
-5
25
我们把正数的正的平方根叫做算术平方根.
5
新知讲解
一个正数x的平方等于a,即 x2＝ a，这个正数x叫做a的算术平方根.
a的算术平方根记为，读作“根号a”
x2 = a (x为正数)
规定0的算术平方根是0，记作
也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数；负数不存在算术平方根，
即当a<0时，无意义.
新知讲解
新知讲解
例2 求下列各数的平方根和算术平方根。
(1) 1 (2) 81 (3) 64 (4) (-3)2
解：(1) ∵（±1）?=1
(2) ∵（±9）?=81
∴1的平方根是，即，1的算术平方根是1
∴81的平方根是，即，81的算术平方根是±9
新知讲解
(3) ∵（±8）?=64
(4) ∵（-3）?=9
∴64的平方根是，即，64的算术平方根是8
∴9的平方根是，即的平方根是±3，即，的算术平方根是3
平方根与算术平方根的联系与区别
联系：
1.算术平方根是平方根的一种；
2.只有非负数才有算术平方根和平方根；
3.0的算术平方根和平方根都是0.
新知讲解
区别 平方根 算术平方根
定义不同
个数不同
表示法不同
取值范围不同
如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根
正数有两个平方根
非负数a的非负平方根叫a的算术平方根
正数的算术平方根只有一个
正数的平方根一正一负，互为相反数
正数的算术平方根只有一个.
新知讲解
练一练:课本第5页“练习”
1.填空：
（1）一个正数有两个平方根，而且这两个平方根
（2） 有且只有一个平方根，它的平方根就是
（3） 数没有平方根。
互为相反数。
0
0
负
考查知识：平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根；
2. 判断是非：
（1）4是16的算术平方根。 （ ）
（2） 是 的一个平方根。 （ ）
（3） 的平方根是-5。 （ ）
（4）4是16的算术平方根。 （ ）
√
√
√
×
考查知识：平方根和算术平方根的定义。
3.下列各式是否有意义，并说明理由：
（1） （2） （3） （4）
考查知识：只有正数和0有平方根，负数没有平方根。
解：（1）有意义
（2）无意义
（3）有意义
（4）有意义
4.求下列各数的平方根、算术平方根，并用式子
表示。
（1）49 (2)25
解：（1）49的平方根是：
49的算术平方根是：
（2）25的平方根是：
25的算术平方根是：
例3、利用计算器求下列各式的值(精确到0.01)
(1)；(2) (3) (4)
解：(1)在计算器上依次键入2=，显示结果
是1.414213562，精确到0.01，得
例题讲解
(2)
(3)-
(4)在计算器上依次键入(5÷7)=，即可得
第二宇宙速度是指使人造卫星脱离地球引力作用范围飞向太阳，并围绕太阳运动所需的最小发射速度
新知讲解
本章引言中提到的速度是第二宇宙速度，，其中g取9.8m/，r取6.4×m，用计算器可求得
(m/s)=11.2(km/s)
例题讲解
例4、如图，跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度的动作.如果不考虑空气阻力等其他因素影响.弹跳到最高点后，人体下落到水面所需要的时间t与下落的高度h之间应遵循下面的公式：
,其中h的单位是m，t的单位是s，g=9.8m/.假设跳板的高度是3m，运动员在跳板上跳起至高出跳板1.2m处开始下落，那么运动员下落到水面约需要多长时间？
解：设运动员下落到水面约需ts，根据题意，得：
3+1.2=
t≈0.93s
例题讲解
1.判断下列说法是否正确：
(1) ±1的平方根是1. ( )
(2) 1的平方根是1. . ( )
(3) －25的平方根是±5. ( )
(4) ＝±18. ( )
(5) 9是－9 的算术平方根. ( )
(6) －5是25的平方根. ( )
课堂练习
2. 9的算术平方根是（ ）
A．-3 B．3 C．±3 D．81
3．下列说法正确的是( )
A.任何数都有平方根 B.一个正数的平方根有两个,它们互为倒数
C.只有非负数才有平方根 D.不是正数就没有平方根
课堂练习
B
C
课堂练习
4. 的平方根是_______
5.用计算器计算:≈_______．
6.自由落体公式：（g是重力加速度，它的值约为9.8m/ ），若物体降落的高度S=300m ，用计算器算出降落的时间T = （精确到0.1s ）
6.403
7.8s
7. 求下列各数的平方根
（1）100；（2）0；（3）；（4）0.09
解：(1)∵所以100的平方根是±10
(2)∵所以0的平方根是0
(3)∵所以的平方根是±
(4)∵所以0.09的平方根是±0.3
课堂练习
一个正数的平方根是2a+3和a-6你能知道a是多少吗？这个正数是几？
拓展提高
解：由平方根的意义知道
(2a+3)+(a-6)=0
得 a=1
这个正数是25.
中考链接
1.(2016. 江苏省秦州市)4的平方根是( )
A.±2 B.-2 C.2 D.±
2.(2018.株洲市)9的算术平方根是( )
A.3 B.9 C.±3 D.±9
A
A
课堂小结
平方根
定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根
性质：
开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方
1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数
2.0的平方根是0
3.负数没有平方根
课堂总结
开平方与平方是互为逆运算。
2.性质：
板书设计
1.定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根
(1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数
(2)0的平方根是0
(3)负数没有平方根
3.开平方的定义：
求一个数的平方根的运算，叫做开平方