江西省靖安中学2019-2020学年高二4月线上考试数学（文）试题 Word版含答案解析

高二下学期第一次测试数学试卷（文科）
时间：90分钟 分值：100分
一、单选题（每小题4分，共36分）
1．若则一定有（ ）
A． B． C． D．
2．“，”的否定是　　
A．， B．，
C．， D．，
3．己知{an}是等差数列，且a3+a4=-4，a7+a8=-8，则这个数列的前10项和等于（ ）
A．-16 B．-30 C．-32 D．-60
4．已知a∈R，则“a＜1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．设是实数，且，则的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．8
6．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，，，，则（ ）
A．2 B．5 C．2或5 D．3或5
7．若x，y满足 则x + 2y的最大值为( )
A．1 B．3
C．5 D．9
8．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数，若函数至多有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共12分）
10．已知函数，则______．
11．已知两个正实数x、y满足，并且恒成立，则实数m的取值范围是______．
12．已知抛物线的焦点为，，为抛物线上的动点，则的最小值为____________.
三、解答题（17题12分，其余每题10分，共52分）
13.已知函数，.
（1）若时，解不等式；
（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.
14．已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，证明：.
15．已知在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小：
（2）若，．求的面积．
16．已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右焦点为，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，且点在轴的上方，过作的垂线交于点，求与的面积之比．
17．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在上存在两个极值点，，且，证明.

高二下学期第一次测试数学试卷（文科）
命题人：吴山秀 时间：90分钟 分值：100分
一、单选题（每小题4分，共36分）
1．
【答案】D
【解析】
本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选
2．
【答案】D
【解析】
【分析】
通过命题的否定的形式进行判断．
【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，故“， ”的否定是“， ”.
故选D.
【点睛】
本题考查全称命题的否定，属基础题.
3．
【答案】B
【解析】
【分析】
计算，然后根据等差数列的性质，可得，最后根据等差数列的前项公式，计算，并结合，可得结果.
【详解】
由题可知：
数列{an}是等差数列且
则，又
所以
由，且
所以
故选：B
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质，在等差数列中，若，则，熟练使用性质，以及对基本公式的记忆，属基础题.
4．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据a＜1，不一定能得到（如a=-1时）；但当，一定能推出a＜1，从而得到答案．
【详解】
解：由a＜1，不一定能得到（如a=-1时）；
但当时，有0＜a＜1，从而一定能推出a＜1，
则“a＜1”是“”的必要不充分条件，
故选：B．
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
5．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接用均值不等式化简即可．
【详解】
由题，当时取最小值．故选B．
【点睛】
本题主要考查均值不等式，以及指数运用．
6．
【答案】D
【解析】
【分析】
先由已知确定出，然后再利用余弦定理即可解决.
【详解】
∵，∴，，由余弦定理得，解得或5.
故选：D.
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.
7．
【答案】D
【解析】
试题分析：如图，画出可行域，
表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.
【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如.求这类目标函数的最值时常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于截距形式.
8．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.
【详解】
设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得 ， ，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D．
【点睛】
本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.
9．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先画出函数的图象，转化为与函数图象至多有2个零点时，求的取值范围.
【详解】
解析：由，得，

，当时，，
当时，，函数单调递减，
当时， ，函数单调递增，
所以时，函数的最小值，且
，，
，当时，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以时，函数的最小值，
作出函数与的图象，观察他们的交点情况，可知，或时，至多有两个交点满足题意，
故选：B.
【点睛】
本题考查根据函数零点个数求参数的取值范围，重点考查利用导数判断函数的单调性和最值，并能数形结合分析问题的能力，属于中档题型.
二、填空题（每小题4分，共12分）
10．【答案】-2
【解析】
【分析】
利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则求出导函数，令即可求解.
【详解】
根据题意，函数，则，
令可得：，解可得；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，需熟记公式与运算法则，属于基础题.
11．【答案】(－1,4)
【解析】
【分析】
由题意首先求得的最小值，然后结合恒成立的结论得到关于m的不等式，求解不等式即可确定实数m的取值范围.
【详解】
两个正实数满足
恒成立，
，
求解出的范围.
则实数的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值的方法，恒成立问题的处理方法，二次不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．【答案】
【解析】
【分析】
设点在准线上的射影为，由抛物线的定义把问题转化为求的最小值，同时可推断出当D，P，A三点共线时，最小，答案可得．
【详解】
设点A在准线上的射影为D，在抛物线内部，
由抛物线的定义可知，
抛物线，，
要求的最小值，即求的最小值，
只有当D，P，A三点共线时，最小，且最小值为?（准线方程为）.
故答案为：.
【点睛】
本题考查抛物线知识的应用，解题关键是根据抛物线的定义将求的最小值的问题转化为求的最小值的问题，考查逻辑思维能力和转化能力，属于中档题.
三、解答题(17题12分，其余每题10分，共52分）
13．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）零点分段法，分，，讨论即可；
（2）当时，原问题可转化为：存在，使不等式成立，即.
【详解】
解：（1）若时，，
当时，原不等式可化为，解得，所以，
当时，原不等式可化为，解得，所以，
当时，原不等式可化为，解得，所以，
综上述：不等式的解集为；
（2）当时，由得，
即，
故得，
又由题意知：，
即，
故的范围为.
【点睛】
本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立求参数，考查学生的运算能力，是一道容易题.
14．
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．
【详解】
解：（1）设等差数列的公差为，
因为，所以，
所以，
所以数列的通项公式为：.
（2）由（1）知：，
所以.
【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
15．
【答案】（1）（2）4
【解析】
分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据求出，即可确定出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，把a，b，cosA的值代入求出c的值，再由b，sinA的值，利用三角形面积公式求出即可．
详解：在中，由正弦定理得．
即，又角为三角形内角，，
所以，即，
又因为，所以．
（2）在中，由余弦定理得：，
则． 即．
解得（舍）或．
所以．·
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
16．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由条件得出即可
（2）先分别求出点的坐标，然后联立直线和直线的方程求出点的纵坐标，然后利用求出答案即可.
【详解】
（1）设椭圆的方程为，
由题意，得，
解得，
所以，
所以椭圆的方程为．
（2）因为为椭圆的右焦点，所以点的坐标为．
由，解得，或．
因此，，的坐标分别为，．
所以直线的斜率为．
又因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即．
直线的方程为，即．
由，解得点的纵坐标为．
又的面积为，
的面积为，
所以，
所以与的面积之比为．
【点睛】
解析几何中的面积问题要善于观察图形的特点，将面积进行等价转化是解题的关键.
17．
【答案】（1）若，则在定义域内递增；若，则在上单调递增，在上单调递减（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1），分，讨论即可；
（2）由题可得到，故只需证，，即，采用换元法，转化为函数的最值问题来处理.
【详解】
由已知，，
若，则在定义域内递增；
若，则在上单调递增，在上单调递减.
（2）由题意，
对求导可得
从而，是的两个变号零点，因此
下证：，
即证
令，即证：，
对求导可得，，，因为
故，所以在上单调递减，而，从而
所以在单调递增，所以，即
于是
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式，考查学生逻辑推理能力、转化与化归能力，是一道有一定难度的压轴题.