2020中考数学专题4——几何模型之隐圆问题学案（含答案）

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12
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【模型讲解】

2020 中考专题 4——几何模型之隐圆问题
班级 姓名 .

常见的隐圆模型有:（1）动点到定点的距离为定长；（2）四点共圆；（3）定边对定角（专题 3）等.

AD＝AC＝AB ∠ADB＝∠ACB 2∠ADB＝∠ACB ∠BAC＋∠BDC＝180°
【例题分析】
例 1.如图，已知 AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD 的度数为 .

例 1 图 例 2 图 例 3 图
例 2.在矩形 ABCD 中，已知 AB ? 2cm ， BC ? 3cm ，现有一根长为 2cm 的木棒 EF 紧贴着矩形的边
（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所围成的图形的面积为 cm2 ．
例 3.如图，定长弦 CD 在以 AB 为直径的⊙O 上滑动（点 C、D 与点 A、B 不重合），M 是 CD 的中
点，过点 C 作 CP⊥AB 于点 P，若 AB＝8，则 PM 的最大值是 。
例 4.如图，点 A 与点 B 的坐标分别是（1，0），（5，0），点 P 是该直角坐标系内的一个动点.
使∠APB＝30°的点 P 有 个；
若点 P 在 y 轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点 P 的坐标；
当点 P 在 y 轴上移动时，∠APB 是否存在最大值？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.


【巩固训练】
如图 1，矩形 ABCD 中， AB ? 2 ， AD ? 3 ，点 E 、F 分别 AD 、DC 边上的点，且 EF ? 2 ，点G 为 EF 的中点，点 P 为 BC 上一动点，则 PA ? PG 的最小值为 ．

图 1 图 2
如图 2，在矩形 ABCD 中， AB ? 4 ， AD ? 6 ， E 是 AB 边的中点， F 是线段 BC 边上的动点，将
?EBF 沿 EF 所在直线折叠得到△ EB?F ，连接 B?D ，则 B?D 的最小值是 ．
在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(3, 0) ，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且 AC ? 2 ．设tan ?BOC ? m ，则 m 的取值范围是 ．
如图 3，在Rt?ABC 中， ?C ? 90? ， AC ? 6 ， BC ? 8 ，点 F 在边 AC 上，并且CF ? 2 ，点 E 为
边 BC 上的动点，将?CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是 .

图 3 图 4 图 5
如图 4，四边形 ABCD 中， DC / / AB ， BC ? 1 ， AB ? AC ? AD ? 2 ．则 BD 的长为 .
如图 5，在四边形 ABCD 中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，则∠BDC＝ ，
∠DBC＝ .
足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门 AB 的张角大小时，张角越大，射门越好.如图 6 的正方形网格中，点 A，B，C，D，E 均在格点上，球员带球沿 CD 方向进攻，最好的射点在（ ）
点 C B.点 D 或点 E
C.线段 DE（异于端点）上一点 D.线段 CD（异于端点）上一点

图 6 图 7 图 8
如图 7，已知 AB 是⊙O 的直径，PQ 是⊙O 的弦，PQ 与 AB 不平行，R 是 PQ 的中点，作 PS⊥
PQ

AB，QT⊥AB，垂足分别为 S、T（S≠T），并且∠SRT＝60°，则

的值等于 .
AB


如图 8，若 PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC 与 PB 交于点 D，且 PB＝4，PD＝3，则 AD·DC＝ .

在平面直角坐标系中，已知点 A（4，0）、B（－6，0），点 C 是 y 轴上的一个动点，当∠BCA＝
45°时，点 C 的坐标为 .
如图 9，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点 D 在 AB 边上，点 E 是 BC 边上一点（不与点 B、C 重合），且 DA＝DE，则 AD 的取值范围是 .

图 9 图 10
如图 10，在平面直角坐标系的第一象限内有一点 B，坐标为（2，m）.过点 B 作 AB⊥y 轴，BC
⊥x 轴，垂足分别为 A、C，若点 P 在线段 AB 上滑动（点 P 可以与点 A、B 重合），发现使得∠OPC
＝45°的位置有两个，则 m 的取值范围为 .

在锐角△ABC 中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转得到△A′B′C′。
如图 11-1，当点 C1 在线段 CA 的延长线上时，求∠CC1A1 的度数；
如图 11-2，连接 AA1，CC1.若△ABA1 的面积为 4，求△CBC1 的面积；
如图 11-3，点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点 P 的对应点是点 P1，求线段 EP1 长度的最大值与最小值.


图 11-1 图 11-2 图 11-3



8
如图，抛物线 y＝－
3

x2－ 3
4


x＋3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点


C. （1）求点 A、B 的坐标；
（2）若直线 l 过点 E（4，0），M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式.










3
如图，直线 y＝－
4


x＋3 与 x 轴、y 轴分别交于 B、A 两点，点 P 是线段 OB 上的一动点，若能


在斜边 AB 上找到一点 C，使∠OCP＝90°，设点 P 的坐标为（m，0），求 m 的取值范围.



2020 中考专题 4——几何模型之隐圆问题 参考答案
例 1.【解答】解：∵AB＝AC＝AD，
∴B，C，D 在以 A 为圆心，AB 为半径的圆上，
∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，
∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，
∴∠CAD＝2∠BAC＝88°． 故答案为：88°．

例 2【解答】解：如图所示：由题意根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出 P 到 B 点距离始终为 1，
则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中的轨迹为分别以 A ， B ， C ， D 为圆心，1cm 为半径的弧，

故所围成的图形的面积为：矩形面积?4 个扇形面积?
故答案为： 6 ??．

?? 2
(
90
1
2
)6 ? 4 ? ? 6 ??(cm ) ．
360


例 3.【解答】解：连接 CO，MO，
∵∠CPO＝∠CMO＝90°，
∴C，M，O，P，四点共圆，且 CO 为直径（E 为圆心），
连接 PM，则 PM 为⊙E 的一条弦，当 PM 为直径时 PM 最大，所以
PM＝CO＝4 时 PM 最大．即 PMmax＝4．

例 4【解答】解：（1）以 AB 为边，在第一象限内作等边三角形 ABC，以点 C 为圆心，AC 为半径作⊙C，交 y 轴于点 P1、P2．
在优弧 AP1B 上任取一点 P，如图 1，则∠APB＝∠ACB＝ ×60°＝30°．
∴使∠APB＝30°的点 P 有无数个．故答案为：无数．

①当点 P 在 y 轴的正半轴上时， 过点 C 作 CG⊥AB，垂足为 G，如图 1．
∵点 A（1，0），点 B（5，0），∴OA＝1，OB＝5．
∴AB＝4．
∵点 C 为圆心，CG⊥AB，∴AG＝BG＝AB＝2．
∴OG＝OA+AG＝3．
∵△ABC 是等边三角形，∴AC＝BC＝AB＝4．
∴CG＝ ＝ ＝2 ．
∴点 C 的坐标为（3，2）．
过点 C 作 CD⊥y 轴，垂足为 D，连接 CP2，如图 1，
∵点 C 的坐标为（3，2），∴CD＝3，OD＝2．
∵P1、P2 是⊙C 与 y 轴的交点，∴∠AP1B＝∠AP2B＝30°．
∵CP2＝CA＝4，CD＝3，∴DP2＝ ＝ ．

∵点 C 为圆心，CD⊥P1P2，∴P1D＝P2D＝．
∴P2（0，2﹣）．P1（0，2+）．
②当点 P 在 y 轴的负半轴上时，
同理可得：P3（0，﹣2﹣）．P4（0，﹣2+）．综上所述：满足条件的点 P 的坐标有：
（0，2﹣）、（0，2+）、（0，﹣2﹣）、（0，﹣2+）．

当过点 A、B 的⊙E 与 y 轴相切于点 P 时，∠APB 最大．
理由：可证：∠APB＝∠AEH，当∠APB 最大时，∠AEH 最大． 由 sin∠AEH＝ 得：当 AE
最小即 PE 最小时，∠AEH 最大．所以当圆与 y 轴相切时，∠APB 最大．
①当点 P 在 y 轴的正半轴上时，
连接 EA，作 EH⊥x 轴，垂足为 H，如图 2．
∵⊙E 与 y 轴相切于点 P，∴PE⊥OP．
∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO＝∠POH＝∠EHO＝90°．
∴四边形 OPEH 是矩形．∴OP＝EH，PE＝OH＝3．∴EA＝3．
∵∠EHA＝90°，AH＝2，EA＝3，
∴EH＝ ＝ ＝
∴OP＝ ∴P（0，）．
②当点 P 在 y 轴的负半轴上时， 同理可得：P（0，﹣）．
理由：①若点 P 在 y 轴的正半轴上，
在 y 轴的正半轴上任取一点 M（不与点 P 重合），
连接 MA，MB，交⊙E 于点 N，连接 NA，如图 2 所示．
∵∠ANB 是△AMN 的外角，∴∠ANB＞∠AMB．
∵∠APB＝∠ANB，∴∠APB＞∠AMB．
②若点 P 在 y 轴的负半轴上， 同理可证得：∠APB＞∠AMB．
综上所述：当点 P 在 y 轴上移动时，∠APB 有最大值， 此时点 P 的坐标为（0，）和（0，﹣）．

【巩固训练】答案
解：? EF ? 2 ，点G 为 EF 的中点，? DG ? 1 ，
? G 是以 D 为圆心，以 1 为半径的圆弧上的点，
作 A 关于 BC 的对称点 A? ，连接 A?D ，交 BC 于 P ，交以 D 为圆心，以1 为半径的圆于G ，此时 PA ? PG 的值最小，最小值为 A?G 的长；
? AB ? 2 ， AD ? 3 ，? AA? ? 4 ，? A?D ? 5 ，
? A?G ? A?D ? DG ? 5 ? 1 ? 4 ；
? PA ? PG 的最小值为 4； 故答案为 4．

解：如图所示点 B? 在以 E 为圆心 EA 为半径的圆上运动，当 D 、 B? 、 E 共线时时，此时 B?D 的值最小，

根据折叠的性质， ?EBF ? △ EB?F ，
? EB? ? B?F ，
? EB? ? EB ，
? E 是 AB 边的中点， AB ? 4 ，
? AE ? EB? ? 2 ，
? AD ? 6 ，
(
6
2
?
2
2
) (
10
)? DE ? ? 2 ，

(
10
)? B?D ? 2 ? 2 ．
解：C 在以 A 为圆心，以 2 为半径作圆周上，只有当OC 与圆 A 相切（即到C 点）时， ?BOC 最小，
(
5
)AC ? 2 ， OA ? 3 ，由勾股定理得： OC ? ，
??BOA ? ?ACO ? 90? ，
??BOC ? ?AOC ? 90? ， ?CAO ? ?AOC ? 90? ，
??BOC ? ?OAC ，
tan ?BOC ? tan ?OAC ? OC ? 5 ，
AC 2
随着C 的移动， ?BOC 越来越大，
? C 在第一象限，? C 不到 x 轴点，

即?BOC ? 90? ，?tan ?BOC

5 ，故答案为： m 5 ．
2 2


解：如图所示：当 PE / / AB ．

在Rt?ABC 中，? ?C ? 90? ， AC ? 6 ， BC ? 8 ，
(
6
2
?
8
2
)? AB ? ? 10 ，
由翻折的性质可知： PF ? FC ? 2 ， ?FPE ? ?C ? 90? ．
? PE / / AB ，
??PDB ? 90? ．
由垂线段最短可知此时 FD 有最小值． 又? FP 为定值，
? PD 有最小值．
又??A ? ?A ， ?ACB ? ?ADF ，
??AFD∽?ABC ．

? AF ? DF ， 即 4

? DF ，解得： DF ? 3.2 ．

AB BC 10 8
? PD ? DF ? FP ? 3.2 ? 2 ? 1.2 ．

解：以 A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长 BA 交? A 于 F ，连接 DF ．
? DC / / AB ，? D?F ? B?C ，? DF ? CB ? 1 ， BF ? 2 ? 2 ? 4 ，


(
BF

2

?

DF

2
) (
15
)? FB 是? A 的直径，??FDB ? 90? ，? BD ? ? ．

【解答】解：法一：∵AB＝AC＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，∠ACB＝∠ABC，∠ADC＝∠ACD，
∵∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，
∴∠ACB＝（180°﹣25°）÷2＝77.5°，∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝100°，
∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣75°）÷2＝52.5°，
∴∠ADB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝52.5°﹣40°＝12.5°，
∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝52.5°+77.5°＝130°，
∴∠DBC＝180°﹣∠DCB﹣∠BDC＝180°﹣130°﹣12.5°＝37.5°．
∴∠BDC＝12.5°，∠DBC＝37.5°．

【解答】解：连接 BC，AC，BD，AD，AE，BE，

已知 A，B，D，E 四点共圆，同弧所对的圆周角相等，因而∠ADB＝∠AEB，然后圆同弧对应的“圆内角“大于圆周角，“圆外角“小于圆周角，因而射门点在 DE 上时角最大，射门点在 D 点右上方或点 E 左下方时角度则会更小．
故选：C．

【解答】解：连结 OP，OQ，OR，如图，
∵R 是 PQ 的中点，∴OR⊥PQ，
∵OP＝OQ，∴∠POR＝∠QOR，
∵PS⊥AB，∴∠PSO＝∠PRO＝90°，
∴点 P、S、O、R 四点在以 OP 为直径的圆上，∴∠PSR＝∠POR，
同理可得∠QTR＝∠QOR，∴∠PSR＝∠QTR，∴∠RST＝∠RTS，而∠SRT＝60°，
∴△RST 为等边三角形，∴∠RST＝60°，∠RTS＝60°，
∴∠RPO＝∠RSO＝60°，∠RQO＝∠RTO＝60°，∴△OPQ 为等边三角形，
∴PQ＝OP，∴AB＝2PQ，∴ ＝ ．故答案为 ．
解析：本题主要考查三点共圆判定和相交弦定理。
由 PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，可知：A，B，C 三点共圆，圆心为 P 半径为 PB。由相交弦定理可知：AD·DC＝（PB+PD）(PB-PD)=7

【解答】解：设线段 BA 的中点为 E，
∵点 A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB＝10，E（﹣1，0）．


如答图 1 所示，过点 E 在第二象限作 EP⊥BA，且 EP＝ AB＝5，则易知△PBA 为等腰直

角三角形，∠BPA＝90°，PA＝PB＝ ；
以点 P 为圆心，PA（或 PB）长为半径作⊙P，与 y 轴的正半轴交于点 C，
∵∠BCA 为⊙P 的圆周角，∴∠BCA＝∠BPA＝45°，即则点 C 即为所求． 过点 P 作 PF⊥y 轴于点 F，则 OF＝PE＝5，PF＝1，
在 Rt△PFC 中，PF＝1，PC＝，由勾股定理得：CF＝ ＝7，
∴OC＝OF+CF＝5+7＝12，
∴点 C 坐标为（0，12）；
如答图 2 所示，在第 3 象限可以参照（1）作同样操作，同理求得 y 轴负半轴上的点 C 坐标为（0，﹣12）．
综上所述，点 C 坐标为（0，12）或（0，﹣12）．故答案为：（0，12）或（0，﹣12）．
【解答】解：∵Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝ ＝5，以 D 为圆心，AD 的长为半径画⊙D，
①如图 1，当⊙D 与 BC 相切时，DE⊥BC 时，
设 AD＝x，则 DE＝AD＝x，BD＝AB﹣AD＝5﹣x，
∵∠BED＝∠C＝90°，∠B 是公共角，
∴△BDE∽△BAC，∴ ，即 ，解得：x＝ ；
②如图 2，当⊙D 与 BC 相交时，若交点为 B 或 C，则 AD＝AB＝ ，
∴AD 的取值范围是 ≤AD＜ ．


【解答】解：
如图 3 中，在 x 轴上方作△OKC，使得△OKC 是以 OC 为斜边的等腰直角三角形，作 KE⊥AB
于 E．
∵OC＝2，
∴OK＝KC＝ ，
当 EK＝KC＝ 时，以 K 为圆心，KC 为半径的圆与 AB 相切，此时 m
＝BC＝1+ ，在 AB 上只有一个点 P 满足∠OPC＝∠OKC＝45°， 当 BK＝ 时，在 AB 上恰好有两个点 P 满足∠OPC＝∠OKC＝45° 此时 m＝BC＝2，
综上所述，满足条件的 m 的值的范围为 2≤m＜1+． 故答案为 2≤m＜1+．

【解答】解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，
∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°，
∴∠CC1A1＝∠CC1B+∠A1C1B＝45°+45°＝90°．
（2）∵△ABC≌△A1BC1，
∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，

∴ ，∠ABC+∠ABC1＝∠A1BC1+∠ABC1，

∴∠ABA1＝∠CBC1，∴△ABA1∽△CBC1．

∴ ，

∵S△ABA1＝4，∴S△CBC1＝ ；
①如图 1，过点 B 作 BD⊥AC，D 为垂足，
∵△ABC 为锐角三角形，∴点 D 在线段 AC 上， 在 Rt△BCD 中，BD＝BC×sin45°＝，
当 P 在 AC 上运动，BP 与 AC 垂直的时候，△ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 在线段 AB
上时，EP1 最小，最小值为：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝﹣2；
②当 P 在 AC 上运动至点 C，△ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 在线段 AB 的延长线上时，
EP1 最大，最大值为：EP1＝BC+BE＝2+5＝7．


14.【解答】解：（1）令 y＝0，即 ＝0，

解得 x1＝﹣4，x2＝2，
∴A、B 点的坐标为 A（﹣4，0）、B（2，0）．


抛物线 y＝的对称轴是直线 x＝﹣ ＝﹣1， 即 D 点的横坐标是﹣1，
S△ACB＝ AB?OC＝9，
在 Rt△AOC 中，AC＝＝ ＝5，
设△ACD 中 AC 边上的高为 h，则有AC?h＝9，解得 h＝．
如答图 1，在坐标平面内作直线平行于 AC，且到 AC 的距离＝h＝，这样的直线有 2 条，分别是 l1 和 l2，则直线与对称轴 x＝﹣1 的两个交点即为所求的点 D．
设 l1 交 y 轴于 E，过 C 作 CF⊥l1 于 F，则 CF＝h＝，
∴CE＝ ＝ ．
设直线 AC 的解析式为 y＝kx+b，将 A（﹣4，0），C（0，3）坐标代入，得到 ，解得 ，
∴直线 AC 解析式为 y＝x+3．
直线 l1 可以看做直线 AC 向下平移 CE 长度单位（个长度单位）而形成的，
∴直线 l1 的解析式为 y＝x+3﹣ ＝ x﹣ ．
则 D1 的纵坐标为×（﹣1）﹣＝，∴D1（﹣1，）．
同理，直线 AC 向上平移个长度单位得到 l2，可求得 D2（﹣1，） 综上所述，D 点坐标为：D1（﹣1，），D2（﹣1，）．
如答图 2，以 AB 为直径作⊙F，圆心为 F．过 E 点作⊙F 的切线，这样的切线有 2 条． 连接 FM，过 M 作 MN⊥x 轴于点 N．

∵A（﹣4，0），B（2，0），
∴F（﹣1，0），⊙F 半径 FM＝FB＝3．又∵E（4，0），
∴FE＝5，
在 Rt△MEF 中，ME＝ ＝4，sin∠MFE＝ ，cos∠MFE＝ ． 在 Rt△FMN 中 ，MN＝MF?sin∠MFE＝3× ＝ ， FN＝MF?cos∠MFE＝3× ＝ ，则 ON＝，
∴M 点坐标为（， ）
直线 l 过 M（，），E（4，0），设直线 l 的解析式为 y＝kx+b，则有

，解得 ，

所以直线 l 的解析式为 y＝x+3．
同理，可以求得另一条切线的解析式为 y＝x﹣3．
综上所述，直线 l 的解析式为 y＝x+3 或 y＝x﹣3．

15.【解题方法提示】令 y=0 求出点 B 的坐标，过点 C 作 CD⊥x 轴于 D，设点 C 的横坐标为 a， 则 OD=a，PD=m-a，求出△OCD 和△CPD 相似，利用相似三角形对应边成比例列式表示出 m，然后求出 m 的最小值；再根据点 P 在线段 OB 上判断出 OC⊥AB 时，点 P、B 重合，m 最大，然后即可写出 m 的取值范围.
m 的取值范围是 3≤m≤4．