2020中考数学专题7——最值问题之垂线段最短学案（含答案）

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1
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【模型解析】

2020 中考数学专题 7——最值问题之垂线段最短
班级 姓名 .




如图，直线 l 外一点 P 与直线上的点的所有连线段中，PB 线段长度最短．
【例题分析】

例 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E， PF⊥AC 于 F，M 为 EF 中点，则 AM 的取值范围是 ．


例 2.已知点 D 与点 A(8，0)，B(0，6)，C(a，－a)是一平行四边形的四个顶点，则 CD 长的最小值为 ．









例 3.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CA．、 CB 分别相交于点 P、Q，则线段 PQ 长度的最小值是 ．

【巩固训练】
如图 1，已知在△ABC 中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点 P 是 AB 上(不与 A、B 重合)，过 P 作 PE
⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是 E、F，连结 EF，M 为 EF 的中点，则 CM 的最小值为 ．
图 1 图 2
如图，线段 AB 的长为 10，C 为 AB 上的一个动点，分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角△ACD 和△BCE，那么 DE 长的最小值是 ．

如图，已知平行四边形 OABC 的顶点 A、C 分别在直线 x＝1 和 x＝4 上，O 是坐标原点，则对角线 OB 长的最小值为 ．
图 3 图 4
在平面直角坐标系中，己知平行四边形 ABCD 的点 A(0，－2)、点 B(3m，4m＋1)(m≠－1)，点C(6，2)，则对角线 BD 的最小值是 ．
如图 5，等边△ABC 的边长是 2cm，将边 AC 沿射线 BC 的方向平移 2cm，得到线段 DE，连接AD、CE．
求证：四边形 ACED 是菱形；
将△ABC 绕点 C 旋转，当 CA′与 DE 交于一点 M，CB′与 AD 交于一点 N 时，点 M、N 和点 D 构成△DMN，试探究△DMN 的周长是否存在最小值？如果存在，求出该最小值；如果不存在，请说明理由．


图 5


2020 中考专题 7——最值问题之垂线段最短 参考答案
例 1.解：连接 AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴四边形 AEPF 是矩形，∴AP＝EF，
∵∠BAC＝90°，M 为 EF 中点，∴AM＝ 1 EF＝ 1 AP，
2 2


(
AB
2
?

AC
2
)∵在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝

＝5，


当 AP⊥BC 时，AP 值最小，此时 S

BAC＝ 1 ×3×4＝ 1 ×5×AP，

(
△
)2 2
∴AP＝ 12 ，即 AP 的范围是 AP≥ 12 ，∴2AM≥ 12 ，∴AM 的范围是 AM≥ 6 ，

5

∵AP＜AC，∴AP＜4，∴AM

5
＜2，∴ 6
5

5 5

≤AM＜2．



例 1 图 例 2 图
例 2.解：有两种情况：
①CD 是平行四边形的一条边，那么有 AB＝CD＝10
②CD 是平行四边形的一条对角线，
设对角线交点为 E，则 CD=2CE,E 为 AB 中点，易得 E 点坐标为（4,3）.因为 C 坐标为(a，－a)， 所以易得 C 点在直线 y=-x 上。所以当 CE 垂直于直线 y=-x 时，CE 最小，即 CD 最小。作 CF∥y

(
7 2
)轴交直线 y=-x 于点 F,则 F(4，-4),所以 EF=7，易得△CEF 为等腰直角三角形，所以 CE= ,
2

(
2
)所以 CD 的最小值为7


例 3.解：如图，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，

∴AB2＝AC2＋BC2，∴∠ACB＝90°，∴PQ 是⊙F 的直径，

设 QP 的中点为 F，圆 F 与 AB 的切点为 D，连接 FD，连接 CF，CD，则 FD⊥AB．

∴FC＋FD＝PQ，∴CF＋FD＞CD，

∵当点 F 在直角三角形 ABC 的斜边 AB 的高上 CD 时，PQ＝CD 有最小值

∴CD＝BC?AC÷AB＝4.8．

【巩固训练】

解：如图，连接 CP．
∵AC＝3，BC＝4，AB＝5∴∠ACB＝90°，

∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°，∴四边形 CFPE 是矩形，∴EF＝CP， 由垂线段最短可得 CP⊥AB 时，线段 EF 的值最小，则 CM 最小，

此时，S

ABC＝ 1 BC?AC＝ 1 AB?CP，即 1 ×4×3＝ 1 ×5?CP，解得 CP＝2.4．

(
△
)2 2 2 2
∴EF＝2.4，∵M 为 EF 中点，∴CM＝1.2


解：设 AC＝x，BC＝10﹣x，
∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD＝ 2 x，CD′＝ 2 (10﹣x)，
2 2
∵∠ACD＝45°，∠BCD′＝45°，∴∠DCE＝90°，

∴DE2＝CD2＋CE2＝ 1 x2＋ 1
2 2

(10﹣x)2＝x2﹣10x＋50＝(x﹣5)2＋25，

∴当 x 取 5 时，DE 取最小值，最小值为：5，

解：过点 B 作 BD⊥直线 x＝4，交直线 x＝4 于点 D，过点 B 作 BE⊥x 轴，交 x 轴于点 E，直线 x
＝1 与 OC 交于点 M，与 x 轴交于点 F，直线 x＝4 与 AB 交于点 N，如图：
∵四边形 OABC 是平行四边形，∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，
∵直线 x＝1 与直线 x＝4 均垂直于 x 轴，∴AM∥CN，∴四边形 ANCM 是平行四边形，
∴∠MAN＝∠NCM，∴∠OAF＝∠BCD，∵∠OFA＝∠BDC＝90°，∴∠FOA＝∠DBC，
??FOA ? ?DBC
(
?
)在△OAF 和△BCD 中， ?OA ? BC ，∴△OAF≌△BCD．
(
?
)??OAF ? ?BCD


(
OE

2

?

BE

2
)∴BD＝OF＝1，∴OE＝4＋1＝5，∴OB＝ ．
由于 OE 的长不变，所以当 BE 最小时(即 B 点在 x 轴上)，OB 取得最小值，最小值为 OB＝OE
＝5．


4.解：如图，∵点 B(3m，4m＋1)，

(
?
)∴令?3n ? x

，∴y＝ 4 x＋1，∴B 在直线 y＝ 4 x＋1 上，∴当 BD⊥直线 y＝ 4 x＋1 时，BD 最小，



?4m ?1 ? y 3 3 3
∵平行四边形对角线交于一点，且 AC 的中点一定在 x 轴上，∴F 是 AC 的中点，
∵A(0，﹣2)，点 C(6，2)，∴F(3，0)．

设直线 BF 的解析式为 y＝﹣ 3 x＋b
4

，则﹣

3 ×3＋
4

b＝0，解得 b＝ 9 ，
4

则直线 BF 的解析式为 y＝﹣ 3 x＋ 9 ，
4 4

∴4m

＋1＝﹣

3 ×3m＋ 9
4 4

，解得 m＝ 1
5

，∴B( 3
5

， 9 )，
5

(
?
3
?
2

?

9
?
2
?

3

?

5

?

?

?

5

?
?
?
?

?
)∴BF＝ ＝3，∴BD＝2BF＝6，则对角线 BD 的最小值是 6．


5.证明：(1)由平移可得：AD∥CE，AD＝CE，
∴四边形 ACED 是平行四边形，又∵AD＝2cm＝AC，∴□ACED 是菱形； (2)连接 CD，
∵∠ACD＝∠B'CA'＝60°即∠ACN＋∠NCD＝∠NCD＋∠DCA'＝60°，∴∠ACN＝∠DCM，
??NAC ? ?MDC

(
?
)在△ACN 和△DCM 中， ? AC ? CD
(
?
)??ACN ? DCM
∴AN＝DM，同理，CN＝CM，

，∴△ACN≌△DCM(ASA)，

∵∠NCD＋∠DCM＝60°，∴△CMN 是等边三角形，∴MN＝CN＝CM，则 AN＋DN＝AD＝2．
∴△DMN 的周长即为 DN＋DM＋MN＝AD＋CN，
(
3
) (
3
)当 CB′⊥AD 时，(CN)最小＝ ，即△DMN 的周长的最小值是 2＋ ．