2020中考数学专题8——最值问题之将军饮马学案（含答案）

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1
)




【模型解析】

2020 中考数学专题 8——最值问题之将军饮马
班级 姓名 .



总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决。 特点：①动点在直线上；②起点，终点固定；
方法：作定点关于动点所在直线的对称点。
【例题分析】
例 1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为(3， 3 )，

点 C 的坐标为(

1 ，0)，点
2

P 为斜边 OB 上的一动点，则 PA＋PC 的最小值为 ．



例 2.如图，在五边形 ABCDE 中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2， 在 BC、DE 上分别找一点 M、N．
(1)当△AMN 的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝ ； (2)求△AMN 的周长最小值．

例 3.如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 BC 上且 CE＝1，长为 2 的线段 MN 在 AC 上运动．
求四边形 BMNE 周长最小值；
当四边形 BMNE 的周长最小时，则 tan∠MBC 的值为 ．

例 4.在平面直角坐标系中，已知点 A(一 2，0)，点 B(0，4)，点 E 在 OB 上，且∠OAE＝∠OBA．如图，将△AEO 沿 x 轴向右平移得到△AE′O′，连接 A'B、BE'．当 AB＋BE'取得最小值时，求点 E'的坐标．
例 5.如图，已知正比例函数 y＝kx(k＞0)的图像与 x 轴相交所成的锐角为 70°，定点 A 的坐标为(0， 4)，P 为 y 轴上的一个动点，M、N 为函数 y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则 AM＋MP＋PN 的最小值为 ．

【巩固训练】
如图 1 所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD＋PE 的和最小，则这个最小值为 ．
图 1 图 2 图 3 图 4
如图 2，在菱形 ABCD 中，对角线 AC＝6，BD＝8，点 E、F、P 分别是边 AB、BC、AC 上的动点，PE＋PF 的最小值是 ．
如图 3，在边长为 2 的等边△ABC 中，D 为 BC 的中点，E 是 AC 边上一点，则 BE＋DE 的最小值为 ．
如图 4，钝角三角形 ABC 的面积为 9，最长边 AB＝6，BD 平分∠ABC，点 M、N 分别是 BD、BC
上的动点，则 CM＋MN 的最小值为 ．
如图 5，在△ABC 中，AM 平分∠BAC，点 D、E 分别为 AM、AB 上的动点， (1)若 AC＝4，S△ABC＝6，则 BD＋DE 的最小值为
若∠BAC＝30°，AB＝8，则 BD＋DE 的最小值为 ．
若 AB＝17，BC＝10，CA＝21，则 BD＋DE 的最小值为 ．
(
[
南瓜讲数学
]
系列之中考专题
)
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2
) (
图

5
)

(
3
)如图 6，在△ABC 中，AB＝BC＝4，S△ABC＝4一点，则 PK＋QK 的最小值为 ．

，点 P、Q、K 分别为线段 AB、BC、AC 上任意
(
[
南瓜讲数学
]
系列之中考专题
)
(
3
)


图 6 图 7 图 8 图 9
如图 7，AB 是⊙O 的直径，AB＝8，点 M 在⊙O 上，∠MAB＝20°，N 是弧 MB 的中点，P 是直径 AB 上的一动点，则 PM＋PN 的最小值为 ．
如图 8，在锐角△ABC 中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是
AD 和 AB 上的动点，则 BM＋MN 的最小值是 ．
如图 9，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
(
3
) cm．

如图 10，菱形 OABC 中，点 A 在 x 轴上，顶点 C 的坐标为(1，
OC、OB 上，则 CE＋DE＋DB 的最小值是 ．

)，动点 D、E 分别在射线



图 10 图 11 图 12 图 13
如图 11，点 A(a，1)、B(－1，b)都在双曲线 y＝－ 3 (x＜0)上，点 P、Q 分别是 x 轴、y 轴上
x
的动点，当四边形 PABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是 ．
如图 12，点 P 是∠AOB 内任意一点，OP＝5cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是 5cm，则∠AOB 的度数是 ．
如图 13，∠AOB＝30°，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM＝1，ON＝3，点 P、Q 分别在边 OB、OA 上，则 MP＋PQ＋QN 的最小值是 ．
如图 14，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 是 AB 边的中点，过 D 作 DE⊥BC 于点 E． (1)点 P 是边 BC 上的一个动点，在线段 BC 上找一点 P，使得 AP＋PD 最小，在下图中画出点 P； (2)在(1)的条件下，连接 CD 交 AP 于点 Q，求 AQ 与 PQ 的数量关系；

图 14

在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，G 为边 AD 的中点．
如图 1，若 E 为 AB 上的一个动点，当△CGE 的周长最小时，求 AE 的长．
如图 2，若 E、F 为边 AB 上的两个动点，且 EF＝4，当四边形 CGEF 的周长最小时，求 AF
的长．








如图，抛物线 y ? ? 1 x2 ? 2x ? 4 交y 轴于点B，点A 为x 轴上的一点，OA=2，过点A 作直线MN ? AB
2
交抛物线与 M、N 两点.
求直线 AB 的解析式；
将线段 AB 沿 y 轴负方向平移 t 个单位长度，得到线段 A1B1 ，求 MA1 ? MB1 取最小值时实数 t
的值.




2020 中考专题 8——最值问题之将军饮马 参考答案

(
3
) (
3
)例 1.解：作 A 关于 OB 的对称点 D，连接 CD 交 OB 于 P，连接 AP，过 D 作 DN⊥OA 于 N， 则此时 PA＋PC 的值最小，

∵DP＝PA，∴PA＋PC＝PD＋PC＝CD，∵B(3，

)，∴AB＝

，OA＝3，

(
3
)∵tan∠AOB＝ AB ＝ 3 ，∴∠AOB＝30°，∴OB＝2AB＝2 ，
OA 3
1 1 3 3

由三角形面积公式得：

×OA×AB＝
2

×OB×AM，∴AM＝
2

，∴AD＝2×
2

＝3，
2

∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°，

∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN＝ 1 AD＝
2

3 ，由勾股定理得：
2

DN＝ 3 3 ，
2


∵C(

1 ，0)，∴CN＝3﹣ 1 ﹣
2 2

3 ＝1，在 Rt△DNC 中，由勾股定理得：DC＝ ，
(
31
)2 2

即 PA＋PC 的最小值是 31 ．
2
例 2.解：作 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A′，A″，连接 A′A″，交 BC 于 M，交 ED 于 N，则 A′A″即为
△AMN 的周长最小值．
⑴作 EA 延长线的垂线，垂足为 H，∠BAE＝120°，∴∠AA′A″＋∠AA″A′＝60°，
∠AA′A″＝∠A′AM，∠AA″A′＝∠EAN，∴∠CAN＝120°－∠AA′A″－∠AA″A′＝60°， 也就是说∠AMN＋∠ANM＝180°－60°＝120°.
⑵过点 A′作 EA 延长线的垂线，垂足为 H，
(
3
)∵AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，∴AA′＝2BA＝2，AA″＝2AE＝4， 则 Rt△A′HA 中，∵∠EAB＝120°，∴∠HAA′＝60°，

∵A′H⊥HA，∴∠AA″H＝30°，∴AH＝ 1 AA′＝1，∴A′H＝
2

，A″H＝1＋4＝5，

(
7
)∴A′A″＝2 ，



(
2
)例 3.解：作 EF∥AC 且 EF＝ 于 P，

，连结 DF 交 AC 于 M，在 AC 上截取 MN＝

，延长 DF 交 BC

(
2
)作 FQ⊥BC 于 Q，作出点 E 关于 AC 的对称点 E′，则 CE′＝CE＝1，将 MN 平移至 E′F′处，

则四边形 MNE′F′为平行四边形，
当 BM＋EN＝BM＋FM＝BF′时，四边形 BMNE 的周长最小， 由∠FEQ＝∠ACB＝45°，可求得 FQ＝EQ＝1，
∵∠DPC＝∠FPQ，∠DCP＝∠FQP，∴△PFQ∽△PDC，

∴ PQ
PQ ? QE ? EC

＝ PQ ，∴
CD

PQ PQ ? 2

1
＝ ，解得：PQ＝
4

2 ，∴PC＝ 8 ，
3 3

由对称性可求得 tan∠MBC＝tan∠PDC＝ 2 ．
3



例 4.【提示】
将△AEO 向右平移转化为△AEO 不动，点 B 向左平移，则点 B 移动的轨迹为一平行于 x 轴的直线，所以作点 E 关于该直线的对称点 E1，连接 AE1，与该直线交点 F 即为最小时点 B 的位置，求出 BF长度即可求出点 E 向右平移的距离．



例 5.解：如图所示，直线 OC、y 轴关于直线 y＝kx 对称，直线 OD、直线 y＝kx 关于 y 轴对称，点
A′是点 A 关于直线 y＝kx 的对称点．
作 A′E⊥OD 垂足为 E，交 y 轴于点 P，交直线 y＝kx 于 M，作 PN⊥直线 y＝kx 垂足为 N，
∵PN＝PE，AM＝A′M，∴AM＋PM＋PN＝A′M＋PM＋PE＝A′E 最小(垂线段最短)， 在 RT△A′EO 中，∵∠A′EO＝90°，OA′＝4，∠A′OE＝3∠AOM＝60°，
(
4
2
?
2
2
) (
3
)∴OE＝ 1 OA′＝2，A′E＝ ＝2 ．
2
(
3
)∴AM＋MP＋PN 的最小值为 2 ．


【巩固训练】答案
解：连接 BD，
∵点 B 与 D 关于 AC 对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE 最小．

(
3
)∵正方形 ABCD 的面积为 12，∴AB＝2 又∵△ABE 是等边三角形，∴BE＝AB＝2

，
(
3
) (
3
)，故所求最小值为 2 ．




解：∵四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，
作 E 关于 AC 的对称点 E′，作 E′F⊥BC 于 F 交 AC 于 P，连接 PE，则 E′F 即为 PE＋PF 的最
小值，∵ 1 ?AC?BD＝AD?E′F，∴E′F＝ 24 ，∴PE＋PF 的最小值为 24 .
2 5 5
解：作 B 关于 AC 的对称点 B′，连接 BB′、B′D，交 AC 于 E，此时 BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D， 根据两点之间线段最短可知 B′D 就是 BE＋ED 的最小值，
∵B、B′关于 AC 的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形 ABCB′是平行四边形，
(
3
) (
3
)∵三角形 ABC 是边长为 2，D 为 BC 的中点，∴AD⊥BC，AD＝ ，BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝2 ，
(
3
)作 B′G⊥BC 的延长线于 G，∴B′G＝AD＝ ，
(
7
)在 Rt△B′BG 中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在 Rt△B′DG 中，B′D＝ ． 故 BE＋ED 的最小值为 7 ．







解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，交 BD 于点 M，过点 M 作 MN⊥BC 于 N，
∵BD 平分∠ABC，ME⊥AB 于点 E，MN⊥BC 于 N，∴MN＝ME，
∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN 是最小值．

∵三角形 ABC 的面积为 9，AB 即 CM＋MN 的最小值为 3．

＝6，∴ 1
2

×6?CE＝9，∴CE＝3．




提示：作点 E 关于 AM 的对称点 E′，BH⊥AC 于 H，易知 BD＋DE 的最小值即为 BH 的长. 答案：(1)3；(2)4；(3)8．

解：如图，过 A 作 AH⊥BC 交 CB 的延长线于 H，
(
3
) (
3
)∵AB＝CB＝4，S△ABC＝4 ，∴AH＝2 ，
∴cos∠HAB＝ AH ＝ 2 3 ＝ 3 ，∴∠HAB＝30°，∴∠ABH＝60°，∴∠ABC＝120°，
AB 4 2
∵∠BAC＝∠C＝30°，
作点 P 关于直线 AC 的对称点 P′，过 P′作 P′Q⊥BC 于 Q 交 AC 于 K， 则 P′Q 的长度＝PK＋QK 的最小值，
∴∠P′AK＝∠BAC＝30°，∴∠HAP′＝90°，∴∠H＝∠HAP′＝∠P′QH＝90°，
(
3
)∴四边形 AP′QH 是矩形，∴P′Q＝AH＝2 ，
(
3
)即 PK＋QK 的最小值为 2 ．

解：作点 N 关于 AB 的对称点 N′，连接 OM、ON、ON′、MN′，
则 MN′与 AB 的交点即为 PM＋PN 的最小时的点，PM＋PN 的最小值＝MN′，
∵∠MAB＝20°，∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，

∵N 是弧 MB 的中点，∴∠BON＝ 1
2

∠MOB＝

1 ×40°＝20°，
2

由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，∴∠MON′＝∠MOB＋∠N′OB＝40°＋20°＝60°，
∴△MON′是等边三角形，∴MN′＝OM＝OB＝ 1 AB＝ 1 ? 8 ＝4，
2 2
∴PM＋PN 的最小值为 4，




解：如图，作 BH⊥AC，垂足为 H，交 AD 于 M′点，过 M′点作 M′N′⊥AB，垂足为 N′，则 BM′＋ M′N′为所求的最小值．
∵AD 是∠BAC 的平分线，∴M′H＝M′N′，∴BH 是点 B 到直线 AC 的最短距离，
(
2
)∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BH＝AB?sin45°＝4× 2 ＝2 ．
2
(
2
)∵BM＋MN 的最小值是 BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝2 ．
解：沿过 A 的圆柱的高剪开，得出矩形 EFGH，
过 C 作 CQ⊥EF 于 Q，作 A 关于 EH 的对称点 A′，连接 A′C 交 EH 于 P，连接 AP， 则 AP＋PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，

∵CQ＝

1 ×18
2

cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm＋4cm＝12cm，

在 Rt△A′QC 中，由勾股定理得：A′C＝15cm，故答案为：15．

解：连接 AC，作 B 关于直线 OC 的对称点 E′，连接 AE′，交 OC 于 D，交 OB 于 E，此时 CE＋ DE＋BD 的值最小，
∵四边形 OCBA 是菱形，∴AC⊥OB，AO＝OC，即 A 和 C 关于 OB 对称，
∴CE＝AE，∴DE＋CE＝DE＋AE＝AD，
∵B 和 E′关于 OC 对称，∴DE′＝DB，∴CE＋DE＋DB＝AD＋DE′＝AE′，
(
3
) (
3
)过 C 作 CN⊥OA 于 N，∵C(1， )，∴ON＝1，CN＝ ，
由勾股定理得：OC＝2，即 AB＝BC＝OA＝OC＝2，∴∠CON＝60°，∴∠CBA＝∠COA＝60°，
∵四边形 COAB 是菱形，∴BC∥OA，∴∠DCB＝∠COA＝60°，
∵B 和 E′关于 OC 对称，∴∠BFC＝90°，∴∠E′BC＝90°﹣60°＝30°，

(
3
)∴∠E′BA＝60°＋30°＝90°，CF＝ 1 BC＝1，由勾股定理得：BF＝
2

＝E′F，

在 Rt△EBA 中，由勾股定理得：AE′＝4，即 CE＋DE＋DB 的最小值是 4．



11.解：把点 A(a，1)、B(﹣1，b)代入 y＝﹣ 3 (x＜0)得 a＝﹣3，b＝3，则 A(﹣3，1)、B (﹣1，
x
3)，作 A 点关于 x 轴的对称点 C，B 点关于 y 轴的对称点 D，所以 C 点为(﹣3，﹣1)，D 点为(1，
3)，连结 CD 分别交 x 轴、y 轴于 P 点、Q 点，此时四边形 PABQ 的周长最小，
(
?
) (
?
)设直线 CD 的解析式为 y＝kx＋b，则??3k ? b ? ?1 ，解得?k ? 1 ，


所以直线 CD 的解析式为 y＝x＋2．

?k ? b ? 3

?b ? 2




12.解：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD，分别交 OA、OB 于点 M、N， 连接 OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点 P 关于 OA 的对称点为 D，关于 OB 的对称点为 C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠ POA；
∵点 P 关于 OB 的对称点为 C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，

∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝

1 ∠COD，
2

∵△PMN 周长的最小值是 5cm，∴PM＋PN＋MN＝5，∴DM＋CN＋MN＝5，即 CD＝5＝OP，
∴OC＝OD＝CD，即△OCD 是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°；

13 解：作 M 关于 OB 的对称点 M′，作 N 关于 OA 的对称点 N′， 连接 M′N′，即为 MP＋PQ＋QN 的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，
(
10
) (
10
)∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′＝90°，

∴在 Rt△M′ON′中，M′N′＝

．故答案为 ．




解：(1)作点 A 关于 BC 的对称点 A′，连 DA′交 BC 于点 P.
(
3
)(2)由(1)可证得 PA 垂直平分 CD，∴AQ＝ CQ＝3PQ


解：(1)∵E 为 AB 上的一个动点，
∴作 G 关于 AB 的对称点 M，连接 CM 交 AB 于 E，那么 E 满足使△CGE 的周长最小；
∵在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，G 为边 AD 的中点，∴AG＝AM＝4，MD＝12，
而 AE∥CD，∴△AEM∽△DCM，∴AE：CD＝MA：MD，∴AE＝ CD ? MA ＝2；
MD
(2)∵E 为 AB 上的一个动点，
∴如图，作 G 关于 AB 的对称点 M，在 CD 上截取 CH＝4，然后连接 HM 交 AB 于 E，接着在 EB 上截取 EF＝4，那么 E、F 两点即可满足使四边形 CGEF 的周长最小．
∵在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，G 为边 AD 的中点，
∴AG＝AM＝4，MD＝12，而 CH＝4，∴DH＝2，

而 AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝ HD ? MA
MD

＝ 2 ，
3


∴AF


＝4＋

2 ＝ 14 ．
3 3




16.解：（1）依题意，易得 B（0，4），A（2，0），则 AB 解析式： y ? ?2x ? 4
（2）∵AB⊥MN
∴直线 MN： y ? 1 x ? 1
2
? y ? ? 1 x2 ? 2x ? 4

?
与抛物线联立可得： ?
(
?
)? y ?
?

2
1 x ? 1
2

解得：M（-2，-2）
将 AB 向负方向平移 t 个单位后，A1（2，-t），B1（0，4-t）则 A1 关于直线 x=-2 的对称点 A2 为（-6，-t）
当 A2、M、B1 三点共线时， MA1 ? MB1 取最小值
∴ t ? 14
3