4月2日 高二数学分层作业
选择题
1.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6时到9时,车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出:y=-18t3-34t2+36t-6294.则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是( ) A.6时 B.7时 C.8时 D.9时
2.以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为（ ）
A．10 B．15 C．25 D．50
3.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数:y1=17x2(x>0),生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数:y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,应生产( )
A.6千台 B.7千台
C.8千台 D.9千台
4.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则其高为( )
A.203 cm B.10 cm C.15 cm D.2033 cm
二、填空题
5.若函数f(x)＝kx－lnx，在区间(1,＋∞)上单调递增，则k的取值范围是___________．
6.如图所示,某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,当砌墙壁所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为 .?
7.某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x的关系是R(x)=-x3900+400x,0≤x≤390,90 090,x>390,则当总利润最大时,每年生产产品的单位数是 .?
三、解答题
8.用总长14.8 m的钢条作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.
9.如图，有一块抛物线形状的钢板，计划将此钢板切割成等腰梯形 的形状，使得都落在抛物线上，点关于抛物线的对称轴对称且，抛物线的顶点到底边AB的距离是，记，梯形面积为．以抛物线的顶点为坐标原点，其对称轴为轴，建立平面直角坐标系．
（1）求出钢板轮廓所在抛物线的方程；
（2）求面积关于的函数解析式，并写出其定义域；
（3）求面积的最大值．
四、选做题
10.定义在上的函数,其导函数满足,且,则关于的不等式的解集为________.
11.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴．
(1)确定a与b的关系；
(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性．
4月2 日 高二数学分层作业答案
1.C解析:y'=-38t2-32t+36,令y'=0解得t=8或t=-12(舍),
当0
0;当t>8时,y'<0,∴t=8为函数的最大值点.
∴t=8时,通过该路段用时最多.
2.C
3.A解析:设利润为y,则y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x>0),
∴y'=-6x2+36x=-6x(x-6).
令y'=0,解得x=0或x=6,经检验知x=6既是函数的极大值点又是函数的最大值点.
4.D解析:设圆锥的高为x cm,则底面半径为202-x2 cm,
其体积V=13πx(202-x2)(0V'=π3(400-3x2),令V'=0得x1=2033,x2=-2033(舍去).
又当00;2033∴当x=2033 cm时,V取最大值.
5.[,＋∞)
6.解析:要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短,设场地宽为x米,则长为512x米,因此新墙壁总长度L=2x+512x(x>0),则L'=2-512x2.
令L'=0,得x=±16.
∵x>0,∴x=16.
当x=16时,Lmin=64,此时堆料场的长为51216=32(米).
答案:32和16
7.解析:由题意得,总利润
P(x)=-x3900+300x?20 000,0≤x≤390,70 090?100x,x>390,
当0≤x≤390时,P'(x)=-x2300+300,令P'(x)=0,解得x=300;
当0≤x≤300时,P'(x)>0;
当300所以当x=300时,P(x)max=40 000,而当x>390时,P(x)<40 000,
因此当x=300时利润最大.
答案:300
8.解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为（x+0.5） m，高为
=3.2－2x（m）.
由3.2－2x>0和x>0得0设容器的容积为y m3，
则有y=x（x+0.5）（3.2－2x）（0整理，得y=－2x3+2.2x2+1.6x.
∴y′=－6x2+4.4x+1.6.
令y′=0，有－6x2+4.4x+1.6=0，即15x2－11x－4=0.
解得x1=1或x2=－（不合题意，舍去）.
从而在定义域（0，1.6）内只有在x=1处使得y′=0.
因此，当x=1时，y取得最大值且ymax=－2+2.2+1.6=1.8，这时，高为3.2－2×1=1.2.
9.（1）设钢板轮廓所在抛物线的方程为：，
由图得抛物线过点，代入，得，
所钢板轮廓所在抛物线的方程为．
（2）由，故可设，梯形高为，
梯形的面积，
又由得，故其定义域为．
（3）由（2）知，，
令得，
+
0
－
↗
极大值
↘
列表如下：
由上表知面积在时取到极大值，又在只有一个极值点，
故极大值也为最大值，此时．
10.
11.解析 (1)依题意得g(x)＝ln x＋ax2＋bx，
则g′(x)＝＋2ax＋b.
由函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴得：
g′(1)＝1＋2a＋b＝0，∴b＝－2a－1.
(2)由(1)得
g′(x)＝＝.
∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴当a＝0时，g′(x)＝－.
由g′(x)＞0得0＜x＜1，由g′(x)＜0得x＞1，
即函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当a＞0时，令g′(x)＝0得x＝1或x＝，
若＜1，即a＞，由g′(x)＞0得x＞1或0＜x＜，
由g′(x)＜0得＜x＜1，
即函数g(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减；
若＞1，即0＜a＜，由g′(x)＞0得x＞或0＜x＜1，由g′(x)＜0得1＜x＜，
即函数g(x)在(0，1)，上单调递增，在上单调递减；
若＝1，即a＝，在(0，＋∞)上恒有g′(x)≥0，
即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
综上可得：当a＝0时，函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当0当a＝时，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞时，函数g(x)在上单调递增，在上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增．
导数在实际生活中的应用（1）导学案
例1．在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
例2．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时,它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
例3．在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为E，外电阻R为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？
