4月1日 高二数学分层作业
选择题
1.设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R)，若对于任意的x∈(0，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为 ( )
A.a>4 B.a≥4 C.a<4 D.a≤4
2.设函数f（x）=e1+x?11+x4，则使得f（2x）＜f（1-x）成立的x的取值范围是（ ）
A. (?1,13) B. (?∞,13) C. (?∞,?1) D. (?13,1)
3.若函数f(x)=x-+asin x在(-∞，+∞)上单调递增，则a的取值范围是 ( )
A.[-1，1] B. C. D.
4.若函数f(x)＝x3－ax2＋ax在(0,1)内有极大值，在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是( ) A. B. C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D.
二、填空题
5.奇函数在处有极值，则的值为 ．
6.若方程有且仅有一个实根，则的取值范围为 .
7.已知函数f(x)＝lnx－(m∈R)在区间[1,e]上的最小值为4，则m＝ ．
三、解答题
8.已知函数f(x)＝ln x＋x2－2ax＋a2，a∈R.
(1)若a＝0，求函数f(x)在[1，e]上的最小值；
(2)根据a的不同取值，讨论函数f(x)的极值点情况．
9.已知函数 (为实常数) ．
（1）当时，讨论方程根的个数．
（2）若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围．
四、选做题
10.函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2，对任意x∈R，f′(x)>2.则f(x)>2x+4的解集为 ( )
A.(-1，1) B.(-1，+∞) C.(-∞，-1) D.(-∞，+∞)
11.已知函数f(x)＝－1＋ln x，若存在x0>0，使得f(x0)≤0有解，则实数a的取值范围是( ) A．a>2 B．a<3 C．a≤1 D．a≥3
4月1日 高二数学分层作业答案
1.B 2.A 3.C 4..A f′(x)＝x2－2ax＋a，
由题意知，f′(x)＝0在(0,1)，(1,2)内都有根，且f′(0)>0，f′(1)<0，f′(2)>0，
由题意知，?1
5. 6.或 7.－3e
8.解 (1)当a＝0时，f(x)＝ln x＋x2，其定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2x＞0，
所以f(x)在[1，e]上是增函数，当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝1；
故函数f(x)在[1，e]上的最小值是1.
(2)f′(x)＝，g(x)＝2x2－2ax＋1，
(ⅰ)当a≤0时，在(0，＋∞)上g(x)＞0恒成立，
此时f′(x)＞0，函数f(x)无极值点；
(ⅱ)当a＞0时，若Δ＝4a2－8≤0，即0＜a≤时，在(0，＋∞)上g(x) ≥0恒成立，此时f′(x) ≥0，函数f(x)无极值点；
若Δ＝4a2－8＞0，即a＞时，易知
当＜x＜时，g(x)＜0，此时f′(x)＜0；
当0＜x＜或x＞时，
g(x)＞0，此时f′(x)＞0，
所以当a＞时，x＝是函数f(x)的极大值点，x＝是函数f(x)的极小值点，
综上，当a≤时，函数f(x)无极值点；a＞时，x＝是函数f(x)的极大值点，x＝是函数f(x)的极小值点．
9.解;（1）易知，故，方程根的个数等价于时，方程根的个数。 设=，
当时，，函数递减，当时，，函数递增。又，，作出与直线的图像，由图像知：
当时，即时，方程有2个相异的根；
当 或时，方程有1个根；
当时，方程有0个根；
（2）当时，在时是增函数，又函数是减函数，不妨设，则等价于
即，故原题等价于函数在时是减函数，
恒成立，即在时恒成立。
在时是减函数
10.选B.构造函数g(x)=f(x)-(2x+4)，
则g(-1)=2-(-2+4)=0，又f′(x)>2.
所以g′(x)=f′(x)-2>0，所以g(x)是R上的增函数.
所以f(x)>2x+4?g(x)>0?g(x)>g(-1).
所以x>-1.
11.C 函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，不等式－1＋ln x≤0有解，即a≤x－xln x在(0，＋∞)上有解，令h(x)＝x－xln x，可得h′(x)＝1－(ln x＋1)＝－ln x，令h′(x)＝0，可得x＝1，当00，当x>1时，h′(x)<0，可得当x＝1时，函数h(x)＝x－xln x取得最大值1，要使不等式a≤x－xln x在(0，＋∞)上有解，只要a小于等于h(x)的最大值即可，即a≤1.所以选C.
导数在研究函数中的应用（2）
教学目的：
1、熟练运用导数研究含参函数的单调性问题。
2、能熟练运用导数研究含参函数的最值等简单综合问题。
3、能利用导数证明不等式问题。
教学过程：
含参函数的单调性
例1.已知f(x)=aexx- x, x?∈(0,+∞),若? x?1, x?2∈(0,+∞),且x?1< x?2,恒有f(x1)x2-f(x2)x1<0,求实数a 的取值范围.
跟踪训练：已知函数f(x)=a x?+1- x?ln x的图象在点A(1,f(1))处的切线与直线x?-y=0平行.
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若? x?1, x?2∈(0,+∞),f(x1)-f(x2)x1-x2>m(x?1+ x?2),求实数m的取值范围.
导数在含参函数的最值的应用
例2.设fx=ax+xlnx,gx=x3?x2?3
(1)如果存在x1, x2∈[0,2]，使得g(x1)-g(x2)≥M，求满足上述条件的最大整数M；
(2)如果对于任意的s,t∈[12,2]，都有f(s) ≥g(t)成立，求实数a的取值范围。
思考1：（2）如果存在s,t∈[12,2]，有f(s) ≥g(t)成立，求实数a的取值范围。
思考2：（2）如果对于任意的s∈[12,2]，有f(s) ≥g(s)成立，求实数a的取值范围。
例3. 已知函数f(x)= ?ln x?mx(m∈R)在区间[1,e]的最小值为4，则m=??????????????????????
利用导数证明不等式
例4．已知a,b为实数，且b>a>e，其中e为自然对数的底数，求证：ab>ba
变式：已知a,b为实数，且b>a>e，其中e为自然对数的底数，求证：alnb?lna