人教高中数学选修1-1 第二章2.1.1椭圆定义 课件（50张ppt）

(共52张PPT)
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？
生活中的椭圆
——仙女座星系
星系中的椭圆
——“传说中的”飞碟

动画演示：太阳系行星的运动
一、合作探究，形成概念：
1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个什么图形？笔尖（动点）满足什么几何条件？
2.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的又是什么图形？这一过程中，笔尖（动点）满足什么几何条件？
请同学们用事先准备好的学习用具小组内共同完成一下任务，并思考相应问题。
思考
数学实验
(1)取一条细绳，
(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2
(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的
图形
1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？
2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？
请你归纳出椭圆的定义,它应该包含几个要素
F
2
F
1
M
(1)由于绳长固定，所以点M到两个定点的距离和是个定值
（2）点M到两个定点的距离和要大
于两个定点之间的距离
（一）椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数
（2a）
（大于|F1F2
|）的点的轨迹叫椭圆。
定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。
椭圆定义的文字表述：
椭圆定义的符号表述：
(2a>2c)
M
F2
F1
2a=2c
椭圆的定义
|
F1F2
|=2c
,
|
MF1
|+|M
F2
|=2a
2a<2c
结论：若常数大于|F1F2|,则点M的轨迹是（
）
若常数等于|F1F2|，则点M的轨迹是（
）
若常数小于|F1F2|，则点M的轨迹（
）
思考:当点M到F1、F2的距离之和不大于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？
椭圆
线段F1F2
不存在
小结：椭圆的定义需要注意以下几点
1.平面上----这是大前提
2.动点M到两定点F1，F2的距离之和是常数2a
3.常数2a要大于焦距2C

探讨建立平面直角坐标系的方案
O
x
y
O
x
y
O
x
y
M
F1
F2
方案一
F1
F2
方案二
O
x
y
M
O
x
y
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)
(对称、“简洁”)
椭圆的方程的推导
建
设
现（限）
以经过椭圆焦点
F1，F2
的直线为
x
轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系xoy。
设
M（x，y）是椭圆上任一点，
设椭圆的焦距为
2c，点M与两焦点的距离之和为常数
2a。
故椭圆的两焦点坐标分别为
F1(-c,0)
和
F2(c,0)
由椭圆的定义得
（a
>
c）
2a
代
化
两边同时除以
，得
移项，得
平方化简，得
再平方化简，得
则方程可化为
观察左图，
和同桌讨论你们能从中找出表示c
、
a
的线段吗？
a2-c2
有什么几何意义？
由两点间的距离公式，可知：
设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(0,-c)，F2(0,c)，
又由椭圆
的定义可得：
|MF1|+
|MF2|=2a
（请大家比较一下上面两式的不同，独立思考后回答椭圆的标准方程。）
焦点在Y轴
焦点在X轴
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式
焦点在y轴：
焦点在x轴：
椭圆的标准方程
1
o
F
y
x
2
F
M
1
2
y
o
F
F
M
x
图
形
方
程
焦
点
F(±c，0)
F(0，±c)
a,b,c之间的关系
c2=a2-b2
MF1+MF2=2a
(2a>2c>0)
定
义
1
2
y
o
F
F
M
x
1
o
F
y
x
2
F
M
两类标准方程的对照表
注:
共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
不同点：焦点在x轴的椭圆
项分母较大.
焦点在y轴的椭圆
项分母较大.
椭圆方程有特点
系数为正加相连
分母较大焦点定
右边数“1”记心间
一、二、二、三
一个概念；
二个方程；
三个意识：求美意识，
求简意识，
猜想的意识。
二个方法：
去根号的方法；求标准方程的方法
|MF1|+|MF2|=2a
练习1：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指
明a2、b2，写出焦点坐标
答：在
X
轴（-3，0）和（3，0）
答：在
y
轴（0，-5）和（0，5）
答：在y
轴。（0，-1）和（0，1）
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
焦点在分母大的那个轴上。
1.口答：下列方程哪些表示椭圆？
若是,则判定其焦点在何轴？
并指明
，写出焦点坐标.

练习：
则a＝
，b＝
；
则a＝
，b＝
；
5
3
4
6
口答：
则a＝
，b＝
；
则a＝
，b＝
．
3
0练习：
a>3
练习：
1.方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则k的范围是
.
是
.
(0,4)
3.已知方程
表示焦点在x轴
上的椭圆，则m的取值范围是
.
变式：已知方程
表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范
围是
.
(0,4)
(1,2)
2、
已知椭圆的方程为：
，请填空：
(1)
a=__，b=__，c=__，焦点坐标为___________，焦距等于__.
(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，
并且CF1=2,则CF2=___.
变题：
若椭圆的方程为
,试口答完成（1）.
若方程
表示焦点在y轴上的椭圆，
求k的取值范围;
探究:
若方程表示椭圆呢
5
4
3
6
(-3,0)、(3,0)
8
例1、填空：
(1)已知椭圆的方程为：
，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则 F2CD的周长为________
例题
5
4
3
(3,0)、(-3,0)
6
２0
F1
F2
C
D
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
焦点在分母大的那个轴上。
|CF1|+|CF2|=2a
练习
1
椭圆　　　　　上一点P到一个焦点的距离为5，
则P到另一个焦点的距离为（
）
A.5
B.6
C.4
D.10
A
2.已知椭圆的方程为
，焦点在X轴上，
则其焦距为（
）
A
2
B
2
C
2
D
2
A
例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
1
2
小结:先定位(焦点)再定量(a,b,c)
椭圆的焦点位置不能确定时,椭圆的标准方程一般有两种情形,必须分类求出
例1：平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离之和是10的动点的轨迹方程。
解：这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点，用F1、F2表示，取过点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y
轴建立直角坐标系。
∵2a=10
2c=8
∴a=5
c=4
b2=a2 c2=9,
b=3
因此这个椭圆的标准方程是：
y
o
B
C
A
x
定义法求轨迹方程。
变题1:已知△ABC的一边BC固定，长为8，周长为18，求顶点A的轨迹方程。
.
解：以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系。
根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭圆，且焦点在轴上，所以可设椭圆的标准方程为
：
y
o
B
C
A
x
∵
2a=10,
2c=8
∴
a=5,
c=4
∴
b2=a2－c2=52－42=9
∴所求椭圆的标准方程为:
注意：求出曲线的方程后，要注意检查一下
方程的曲线上的点是否都是符合题意。
例1
已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),
(2,0),
并且经过点
.求它的标准方程.
解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知
所以
又因为
,所以
因此,
所求椭圆的标准方程为
例题
演练
解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为:
①
②
联立①②,
因此,
所求椭圆的标准方程为:
又∵焦点的坐标为
求椭圆标准方程的解题步骤：
（1）确定焦点的位置；
（2）设出椭圆系数法确定a、b的值，
写出椭圆的标准方程.
的标准方程；
（3）用待定
注意
：
求出曲线的方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都是符合题义。
例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)
a
=4，b=1，焦点在
x
轴上；
(2)
a
=4，b=1，焦点在坐标轴上；
(3)
两个焦点的坐标是（
0
，-2）和（
0
，2），并且经
过点P（
-1.5
，2.5）.
解：
因为椭圆的焦点在y轴上，
设它的标准方程为
∵
c=2，且
c2=
a2
-
b2
∴
4=
a2
-
b2
……①
又∵椭圆经过点
∴
……②
联立①②可求得：
∴椭圆的标准方程为
(法一)
x
y
F1
F2
P
或
(法二)
因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的
标准方程为
由椭圆的定义知，
所以所求椭圆的标准方程为
练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(2)焦点为F1(0,－3),F2(0,3),且a=5.
答案：
(1)a=
,b=1,焦点在x轴上;
(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；
(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).
小结：求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴；
②定量：求a,
b的值.
例1
：
已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一
个椭圆，
它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为
3m，求这个椭圆的标准方程．
解：
以两焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为
y
轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，则这个椭圆的标准
方程可设为
根据题意有
即
因此，这个椭圆的标准方程为
x
y
O
F1
F2
3.
例题
回顾小结
求椭圆标准方程的方法
一种方法：
二类方程:
解：
例1
：将圆x2+y2
=
4上的点的横坐标保持不变，
纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，
并说明它是什么曲线？
y
x
o
设所的曲线上任一点的坐标为（x，y）,圆
＝４上的对应点的坐标为（x’，y’），由题意可得：
因为　　　　　　＝４
所以
即
1）将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆。
2）利用中间变量求点的轨迹方程
的方法是解析几何中常用的方法；
练习
(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。
(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。
(3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。
解
(1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。
(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F2)。
1、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’，延长P’P至
M,使P’M=2
P’P，求点M的轨迹。
2、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’。求线段PP’上使PM=2MP’的点M的轨迹。
3、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP’。
求PP’上PP’=-3P’M的点M的轨迹。
练习
例2
已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一
定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心
P的轨迹方程．
解：设｜PB｜＝r．
∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10．
∴两圆的圆心距｜PA｜＝10－r，
即｜PA｜＋｜PB｜＝10(大于｜AB｜)．
∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆．
∴2a＝10，
2c＝｜AB｜＝6，
∴a＝5，c＝3．
∴b2＝a2－c2＝25－9＝16．
即点P的轨迹方程为
＝1．
4、三角形ABC的三边a、b、c
成等差数列，
A、C的坐标分别为（-1，0），（1，0），
求顶点B的轨迹。
5、一动圆过点B（-3，0），
内切，求该动圆圆心M
的轨迹方程。
而且与圆
3
-3
x
y
M
A
B
C
8.在⊿ABC中，BC=24,AC、AB边上的中线之和为39，求⊿ABC的重心的轨迹方程．
y
x
o
E
F
G
A
C
B
x
y
O
P
F1
F2
练习
已知F1、F2是椭圆
的焦点，P为椭圆上
一点，且
，则
的面积为_____.