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1 认识一元二次方程
第二章 一元二次方程
一元二次方程
答案显示
D
A
B
B
C
B
A
②
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见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
D
C
*2．如果方程(m－3)x －x＋3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为( )
A．±3 B．3
C．－3 D．无法确定
m2－7
A
3．把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，c的值分别是( )
A．1，－3，10 B．1，7，－10
C．1，－5，12 D．1，3，2
*4.若关于x的方程2x2＋mx＝4x＋2中不含x的一次项，则m等于( )
A．0 B．4 C．－4 D．±4
【点拨】方程2x2＋mx＝4x＋2整理得2x2＋(m－4)x－2＝0.∵不含x的一次项，故m－4＝0，m＝4.故选B.
B
B
5．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋|m|－1＝0的常数项为0，则m等于( )
A．1 B．－1 C．1或－1 D．0
6．【2019·遵义】新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2016年销量为50.7万辆，销量逐年增加，到2018年销量为125.6万辆，设年平均增长率为x，可列方程为( )
A．50.7(1＋x)2＝125.6 B．125.6(1－x)2＝50.7
C．50.7(1＋2x)＝125.6 D．50.7(1＋x2)＝125.6
【点拨】年平均增长率为x，则可列方程为50.7(1＋x)2＝125.6.故选A.
A
7．【2019·日照】某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展，某企业一月份的营业额是1 000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3 990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是( )
A．1 000(1＋x)2＝3 990
B．1 000＋1 000(1＋x)＋1 000(1＋x)2＝3 990
C．1000(1＋2x)＝3 990
D．1 000＋1 000(1＋x)＋1 000(1＋2x)＝3 990
【答案】B
【点拨】月平均增长率是x，则该企业二月份的营业额为
1000(1＋x)万元，三月份的营业额为1000(1＋x)2万元，依题意，得1000＋1000(1＋x)＋1 000(1＋x)2＝3990.故选B.
*8.【2019·宁夏】你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2＋5x－14＝0即x
(x＋5)＝14为例加以说明．数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图(如下面左图)中大正方形的面积是(x＋x＋5)2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14＋52，据此易得x＝2.那么在下面右边三个构图(矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上)中，能够说明方程x2－4x－
12＝0的正确构图是
________．(只填序号)
【答案】②
【点拨】∵x2－4x－12＝0即x(x－4)＝12，∴构图中大正方形的面积是(x＋x－4)2，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12＋42，据此易得x＝6.故答案为②.
9．若关于x的方程(k－3)x|k|－1－x－2＝0是一元二次方程，则不等式kx－2k＋6≤0的解集为______________．
错解：x≤0或x≥4
诊断：当方程是一元二次方程时，不仅要使未知数的最高次数是2，还要使二次项的系数不为0.本题就是忽视了二次项的系数k－3≠0这一条件，而导致错解．
正解：x≥4
10．已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0.
(1)k为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
11．结合题意列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式(不用求解)．
(1)【中考·梅州】用一条长40 cm的绳子围成一个面积为
64 cm2的矩形，求矩形的长；
解：设矩形的长为x cm，则x(20－x)＝64.化成一般形式为x2－20x＋64＝0.
(2)在元旦前夕，某班数学小组的同学互相赠送卡片，每两名同学之间都互相赠送一张，这样一共赠送了90张，求这个数学小组有多少名同学．
解： 设这个数学小组有y名同学，则y(y－1)＝90.化成一般形式为y2－y－90＝0.
你认为上面两位同学的解法是否正确？为什么？如果都不正确，请给出正确的做法.
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1 认识一元二次方程
第二章 一元二次方程
第2课时 一元二次方程的解
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8
C
D
D
A
C
D
C
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C
D
见习题
见习题
见习题
见习题
C
8
1．【2019·资阳】a是方程2x2＝x＋4的一个根，则代数式4a2－2a的值是________．
2．若一元二次方程x2－2kx＋k2＝0的一根为x＝－1，则k的值为( )
A．－1 B．0 C．1或－1 D．2或0
A
3．老师出示了一道题目(如图)后，小敏回答：“方程有一个根为－4.”小聪回答：“方程有一个根为3.”你认为( )
A．只有小敏回答正确
B．只有小聪回答正确
C．小敏、小聪回答都正确
D．小敏、小聪回答都不正确
C
4．下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程x2－x＝2的解是( )
A．x＝－1 B． x＝0
C．x＝2 D． x1＝－1，x2＝2
D
【答案】C
*6.【中考·温州】我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是( )
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3
C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3
【点拨】把方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0看作关于
2x＋3的一元二次方程，所以2x＋3＝1或2x＋3＝－3，所以x1＝－1，x2＝－3.故选D.
D
7．若正数x满足x2＝3，则下列正确的是( )
A．1.7＜x＜1.71 B．1.71＜x＜1.72
C．1.72＜x＜1.73 D．1.73＜x＜1.74
D
8．【中考·青岛】输入一组数据，按如图所示的程序进行计算，输出结果见下表：
分析表格中的数据，估计方程(x＋8)2－826＝0的一个正数解x的大致范围为( )
A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7
C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9
【答案】C
【点拨】根据表格中的数据，可以判断当(x＋8)2－826＝0时，x所在的范围．
9．方程x2＋2x－10＝0的一个近似解(结果精确到0.1)是( )
A．2.4 B．－4.2
C．－4.3 D．－4.4
C
10．根据下表中的对应值，判断一元二次方程x2－4x＋2＝0的解的取值范围是( )
A．0＜x＜0.5或3.5＜x＜4 B．0.5＜x＜1或2＜x＜2.5
C．0.5＜x＜1或3＜x＜3.5 D．1＜x＜1.5或3.5＜x＜4
【点拨】由一元二次方程解的估算方法，知当0.5＜x＜1和3＜x＜3.5时，每个取值范围的两端函数值的乘积都小于0，是方程两个解的所属范围，因此答案选C.
【答案】C
11．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝0，则a的值为( )
A．0 B．±1 C．1 D．－1
【点拨】∵关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－
1＝0有一个根为x＝0，∴a2－1＝0，且a－1≠0，
解得a＝－1.故选D.本题易忽略一元二次方程的二次项系数不能为0而致错．
D
解：由题意知a－2≥0，2－a≥0，故a＝2，∴b＝1，
∵方程的一个根是1，∴a＋b＋c＝0，∴c＝－3.
∴此一元二次方程为2x2＋x－3＝0.
13．一个三角形的两边长分别是2 cm和6 cm，第三条边的长是a cm(其中a为整数)，且a是方程x2－9x＋14＝0的一个根，求此三角形的周长．
【点拨】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可知4＜a＜8.又由于a是整数，所以a的可能取值为5，6，7，再逐个代入方程看哪个是方程的根．
解：由已知可得a的取值范围为4＜a＜8.又因为a为整数，所以a的可能取值为5，6，7.当a＝5时，将其代入方程的左边，得52－9×5＋14≠0，故5不是方程的根．同理可知，6也不是方程的根，7是方程的根，即三角形的第三条边的长为7 cm.所以三角形的周长是2＋6＋7＝15(cm)．
(1)已知方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍，则所求方程为________________；
(2)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
y2＋3y－9＝0
(3)已知关于x的方程x2－mx＋n＝0有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方．
15．某大学为改善校园环境，计划在一块长80 m，宽60 m的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3 500 m2.四周为宽度相等的人行走道，如图，若设人行走道宽为x m.
(1)请列出相应的方程．
解：由题意可知网球场的长和宽分别为
(80－2x)m，(60－2x)m，则可列方程(80－2x)
(60－2x)＝3 500，整理得x2－70x＋325＝0.
(2)x的值可能小于0吗？说说你的理由．
(3)x的值可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由．
解：x的值不可能小于0，因为人行走道的宽度不可能为负数．
x的值不可能大于40，也不可能大于30，因为当x＞30时，60－2x＜0，这是不符合实际的．当然x更不可能大于40.
(4)你知道人行走道的宽是多少吗？说说你的求解过程．
解： 人行走道的宽为5 m，求解过程如下：
显然，当x＝5时，x2－70x＋325＝0，故人行走道的宽为5 m.
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1 认识一元二次方程
第二章 一元二次方程
第3课时 一元二次方程的定义及
相关概念的五种常见应用
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见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
1．向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程(m＋1)x ＋(m－2)x－1＝0提出了下列问题：
(1)是否存在m，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并写出此方程；若不存在，请说明理由．
m2＋1
(2)是否存在m，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；若不存在，请说明理由．
解：将(2ax＋1)(x－a)＝a－2化为一般形式，得2ax2＋(1－2a2)x＋2－2a＝0.
所以该一元二次方程的二次项系数为2a，依题意，得2a＝－4，解得a＝－2.
2．若关于x的一元二次方程(2ax＋1)(x－a)＝a－2的二次项系数是－4，求a的值．
解：由题意可得(x＋1)×2x－(x＋2)(x－2)＝1，它是一元二次方程，写成一般形式为x2＋2x＋3＝0.
解：由题意得n2＋mn＋2n＝0，
∵n≠0，∴n＋m＋2＝0，
∴m＋n＝－2.
4．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋2n＝0的一个根，求
m＋n的值．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD.
(1)若∠A＝28°，求∠ACD的度数．
(2)设BC＝a，AC＝4.
①若AD＝EC，求a的值．
解：∵AD＝EC，AD＝AE，AC＝4，
∴AD＝EC＝AE＝2，
∵BC＝BD＝a，∴AB＝2＋a，
∵AB2＝BC2＋AC2，即(a＋2)2＝a2＋42，
∴a＝3.
②线段AD的长是方程x2＋2ax－16＝0的一个根吗？说明理由．
