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第1节 用树状图或表格求概率
第1课时 用树状图法求概率
第三章 概率的进一步认识
北师版 九年级上
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D
B
A
B
C
D
B
C
B
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C
1．同时掷两枚质地均匀的硬币一次，两枚硬币都是正面朝上的概率是( )
D
B
2．(2017·济宁)将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是( )
3．(2018·山西)在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到黄球的概率是( )
A
4．(2017·泰安)袋内装有标号分别为1，2，3，4的4个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为( )
B
5．(2017·威海)甲、乙两人用如图所示的两个转盘(每个转盘被分成面积相等的3个扇形)做游戏，游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．甲获胜的概率是( )
C
6．(中考·荆门)在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球(记为第一次传球)，则经过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是( )
B
7．(中考·包头)同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是( )
D
8．(2018·无锡)如图是一个沿3×3正方形方格纸的对角线AB剪下的图形，一质点P由A点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P由A点运动到B点的不同路径共有( )
A．4条 B．5条
C．6条 D．7条
【点拨】如图①，将各格点分别记为1，2，3，4，5，6，7，8.画树状图如图②所示．由树状图可知点P由A点运动到B点的不同路径共有5条．
9．如图，一个小球从入口A往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且两种可能性相等，则小球最终从出口E落出的概率为( )
C
10．(2017·永州)已知从n个人中，选出m个人按照一定的顺序排成一行，所有不同的站位方法有n×(n－1)×…×(n－m＋1)种．现某校九年级甲、乙、丙、丁4名同学和1位老师共5人在毕业前合影留念(站成一行)．若老师站在中间，则不同的站位方法有( )
A．6种 B．20种 C．24种 D．120种
C
11．(中考·岳阳)已知不等式组
(1)求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；
解：由①得x>－2，由②得x≤2，
∴不等式组的解集为－2∴它的所有整数解为－1，0，1，2.
(2)在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图的方法求积为正数的概率．
解：画树状图如图所示．
由树状图可知共有12种等可能的结果，其中积为正数的有2种，
∴积为正数的概率为
12．(2018·巴彦淖尔)小美周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏，游戏设计者提供了一只兔子和一个有A，B，C，D，E五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的．规定：①玩家只能将小兔从A，B两个出入口放入；②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开，则可获得一只价值4元的小兔玩具，否则应付费3元．
(1)请用画树状图的方法，列举出该游戏的所有可能情况．
解：画树状图如图所示．
(2)小美得到小兔玩具的机会有多大？
解：由树状图知，共有10种等可能的结果，其中从开始进入的出入口离开的结果数为2.
所以小美玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率为
(3)假设125人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元．
解：125×0.8×3－125×0.2×4＝200(元)．
估计游戏设计者可赚200元．
13．体育课上，小明、小强、小华三人在踢足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次．
(1)如果从小强开始踢，经过两次踢球后，足球踢到小华处的概率是多少？
解：画树状图如图所示．
由树状图易知P(足球踢到小华处)＝
(2)如果踢三次后，足球踢到小明处的可能性最小，应从谁开始踢？请说明理由．
解：应从小明开始踢．理由如下：
画树状图如图所示．
同理，若从小强开始踢，P(足球踢到小明处)＝ ；
若从小华开始踢，P(足球踢到小明处)＝ ，
故应从小明开始踢．
由树状图可知，若从小明开始踢，P(足球踢到小明处)＝
14．(2018·曲靖)数学课上，李老师准备了四张背面看上去无差别的卡片A，B，C，D，每张卡片的正面标有字母a，b，c表示三条线段(如图)，把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张．
解：画树状图如图所示．
共有12种等可能的结果．
(1)用树状图表示所有可能出现的结果；
(2)求抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．
解：∵共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的有2种结果，
∴抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率为
(共25张PPT)
第1节 用树状图或表格求概率
第2课时 用枚举法和列表法求概率
第三章 概率的进一步认识
北师版 九年级上
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有限；相等
A
A
B
B
两；多
D
A
B
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C
D
1．在一次试验中，若可能出现的结果只有________个，且各种结果出现的可能性大小________，可用列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率．
有限
相等
2．(2017·张家界)某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的机会是( )
A
3．(2018·贵阳)如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是( )
A
4．(中考·自贡)如图，随机闭合开关 中的两个，则能让灯泡 发光的概率是( )
B
5．(2018·聊城)小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是( )
B
6．(2017·淄博)在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n.如果m，n满足|m－n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是( )
B
7．列表法求概率：当一次试验涉及______个因素，并且可能出现的结果数目较________时，为了不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法．
两
多
8．(2018·大连)一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，两次摸出的小球标号的和是偶数的概率是( )
D
9．已知一次函数y＝kx＋b，k从2，－3中随机取一个值，b从1，－1，－2中随机取一个值，则该一次函数的图象经过第二、三、四象限的概率为( )
A
10．(2018·武汉)一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1，2，3，4.随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是( )
C
11．(2017·海南)如图，两个转盘分别自由转动一次，当停止转动时，两个转盘的指针都指向2的概率为( )
D
12．(2018·苏州)如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3.
(1)小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为________；
(2)小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率(用画树状图或列表等方法求解)．
解：列表如下：
由表可知，所有等可能的情况有9种，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种，
所以这两个数字之和是3的倍数的概率为
? 1 2 3
1 (1，1) (2，1) (3，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3)
13．(2018·长春)剪纸是中国传统的民间艺术，它画面精美，风格独特，深受大家喜爱，现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“金鱼”，另外一张卡片的正面图案为“蝴蝶”，卡片除正面剪纸图案不同外，其余均相同．
将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图(或列表)的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率．(图案为“金鱼”的两张卡片分别记为 图案为“蝴蝶”的卡片记为B)
由表可知，共有9种等可能结果，其中抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的结果有4种，
所以抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率为
解：列表如下：
? A1 A2 B
A1 (A1，A1) (A2，A1) (B，A1)
A2 (A1，A2) (A2，A2) (B，A2)
B (A1，B) (A2，B) (B，B)
14．(2017·荆门)荆冈中学决定在本校学生中，开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球四种活动．为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，学校随机调查了该校m名学生，看他们喜爱哪一种活动(每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择一种)，现将调查的结果绘制成如下不完整的统计图．
枚举法
(1)m＝________，n＝________；
100
15
(2)请补全条形统计图；
解：喜爱篮球的有100×35%＝35(人)．
补全条形统计图如图所示．
(3)根据抽样调查的结果，请估算全校1 800名学生中，大约有多少人喜爱踢足球；
(4)在抽查的m名学生中，喜爱打乒乓球的有10名同学 (其中有4名女生，包括小红、小梅)，现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练，且女生每组分两人，求小红、小梅能分在同一组的概率．
解：记四名女生分别为A(小红)，B(小梅)，C，D，则出现的所有可能结果是(AB，CD)，(AC，BD)，(AD，BC)．
∴小红、小梅能分在同一组的概率是
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第1节 用树状图或表格求概率
第3课时 用概率判断游戏规则的公平性
第三章 概率的进一步认识
北师版 九年级上
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公平
1．(2018·巴中)在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．
(1)“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是________事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是________事件．
(2)从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是_______．
必然
不可能
(3)学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球，若两球同色则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．
解：如图所示．
则选择乙的概率为
由树状图可得：一共有20种等可能的情况，两球同色的情况有8种，故选择甲的概率为
故此规则不公平．
2．(2017·营口)如图，有四张背面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．
解：共有4张牌，牌面图形是中心对称图形的情况有3种，所以摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是
(1)从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率．
解：公平．列表如下：
(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法(或树状图)说明理由(纸牌用A，B，C，D表示)．
共产生12种结果，每种结果出现的可能性相等，其中两张牌面图形都是轴对称图形的有6种，
所以P(两张牌面图形都是轴对称图形)＝
所以P(小明胜)＝P(小亮胜)＝ 因此这个游戏公平．
? A B C D
A ? (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) ? (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) ? (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) ?
3．(2017·通辽)小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜(指针指在分界线时重转)，这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．
∴P(和小于4)＝
∴这个游戏对双方公平．
解：这个游戏对双方公平．理由如下：
画树状图如图所示．
一共有6种等可能的情况，和小于4的有3种，
4．“五一”假期，某公司组织部分员工分别到A，B，C，D四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车票．如图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：
(1)若去D地的车票数量占全部车票数量的10%，请求出去D地车票的数量，并补全统计图．
解：设去D地的车票有x张，
则x＝(x＋20＋40＋30)×10%，
解得x＝10，即去D地的车票有10张．
补全统计图如图所示．
(2)在(1)的前提下，若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀)，那么员工小胡抽到去A地的概率是多少？
(3)若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定这张车票的归属，具体规则是：每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否则给小李．试用列表法或树状图法分析，这个规则公平吗？
解：列表如下：
共有16种等可能的结果，其中小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小的有6种，分别为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．
