(共26张PPT)
第4节 探索三角形相似的条件
第1课时
用角的关系判定两三角形相似
第四章 图形的相似
北师版 九年级上
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相等；成比例 (1)对应 (2)对应
A
A
D
C
两角；∠B′
A
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(1)证明见习题
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B
(1)证明见习题
(1)证明见习题
1．三角分别________、三边________的两个三角形叫做相似
三角形．因此，两个三角形相似，必须同时具备：
(1)三个角________相等；
(2)三条边________成比例．
相等
成比例
对应
对应
2 ．如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，则
∠B等于( )
A．40° B．60° C．80° D．100°
A
3．(2018·安徽)矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在矩形
ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若
△APD是等腰三角形，则PE的长为____________．
两角
∠B′
5．如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，
∠ABC的平分线交边AC于E，交AD于F，那么下列结论
中错误的是( )
A．△BDF∽△BEC B．△BFA∽△BEC
C．△BAC∽△BDA D．△BDF∽△BAE
A
6．如图，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是( )
C
7．(2018·临安区)如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD＝4，DB＝2，则DE：BC的值为( )
A
8．(2018·哈尔滨)如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是( )
D
A．6：2 ：1 B．3 ：2 ：1
C．6：3 ：2 D．4 ：3 ：2
【答案】B
10．(2018·杭州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上
的中线，DE⊥AB于点E.
(1)求证：△BDE∽△CAD；
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
又∵AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC.
∵DE⊥AB，∴∠BED＝∠ADC＝90°
∴△BDE∽△CAD.
(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．
11．(2018·雅安)如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行
四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC和CD于点P，Q.
(1)求证：△ABC≌△DCE；
证明：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD＝CE，AC＝DE.
在△ABC和△DCE中，
AB＝CD，BC＝CE，AC＝DE，
∴△ABC≌△DCE(SSS)
解：由(1)知C为BE的中点且CP∥RE，∴CP为△BER的线．
∴CP：RE＝1：2.又∵点R为DE的中点，∴RE＝DR.
∴CP：DR＝1：2.∵CP∥DR，
精彩一题
12．(2017·天水)△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角
形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC
的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.
精彩一题
(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：
△BPE≌△CQE.
精彩一题
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC.
∵AP＝AQ，∴BP＝CQ.
∵E是BC的中点，∴BE＝CE.
在△BPE和△CQE中，
BE＝CE，∠B＝∠C，BP＝CQ，
∴△BPE≌△CQE(SAS)．
精彩一题
(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求
△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长．
【思路点拨】证明(2)中的三角形
相似，关键是找出这两个三角形的
两组对应角相等，而求(2)中的线
段长的关键是正确找出已知线段和
所求线段的比例关系．
精彩一题
解：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°
∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，
即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，
∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°
精彩一题
精彩一题
(共30张PPT)
第4节 探索三角形相似的条件
第2课时
用边角关系判定两三角形相似
第四章 图形的相似
北师版 九年级上
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成比例 ；相等
C
4cm
△CDB
D
B
C
C
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(1)证明见习题
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C
(1)证明见习题
B
(2)20
(1)证明见习题
(2)四边形ADCE是正方形
1．两边________且夹角________的两个三角形相似．利用这种方法判定两个三角形相似时，寻找的条件必须满足“两边夹一角”，如果改为“两边成比例且一组对应角相等”，这两个三角形就不一定相似了．
相等
成比例
2．如图，下列三角形中，与△ABC相似的是( )
C
C
4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论一定正确的是( )
A．①和②相似 B．①和③相似
C．①和④相似 D．②和④相似
B
5．如图，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论成
立的是( )
A．△PAB∽△PCA B．△PAB∽△PDA
C．△ABC∽△DBA D．△ABC∽△DCA
C
6．(中考·荆州)如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( )
D
4cm
8．如图，△OPQ在边长为1个单位长度的方格
纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，
B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，
C，D，E中选取三个点所构成的三角形与
△OPQ相似，那么这个三角形是
_____________．
△CDB
9．(2018·莱芜)如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与
AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE＝90°，连接AF，
CF，CF与AB交于G，有以下结论：
①AE＝BC；②AF＝CF；③BF2＝FG·FC；
④EG·AE＝BG·AB，其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C
10．已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各
有一点E和F，把这两点分别与底边中点连接，并沿
着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角
形相似，剩余部分(四边形)的四条边的长度如图所
示，那么原等腰三角形的底边长为( )
【点拨】如图①，当点A为等腰三角形的顶点，点D为底边的中点时，设BD＝DC＝x，AB＝AC＝y，则BE＝y－2，CF＝y－4.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
又∵BD＝DC，BE≠CF，DE≠DF，
∴点B与点C、点E与点D、点D与点F为对应点．
则△BED∽△CDF.
【答案】B
(2)若正方形的边长为8，求BG的长．
13．(中考·扬州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C 顺时针旋转90°至CE的位置，连接AE.
(1)求证：AB⊥AE；
(2)若BC2＝AD·AB，求证：四边形ADCE是正方形．
精彩一题
14．如图，在平面直角坐标系中，A(0，6)，B(8，0)．动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t s.
(1)求直线AB对应的函数表达式；
精彩一题
【点拨】设直线AB对应的函数表达式为y＝kx＋b，用待定系数法求出k，b的值即可；
精彩一题
(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
【点拨】在△APQ和△AOB中，夹∠BAO的两边分别为AP，AQ和AO，AB，对应边的比有两种情况，因此可分类求出t的值．
精彩一题
(共21张PPT)
第4节 探索三角形相似的条件
第3课时
用三边关系判定两三角形相似
第四章 图形的相似
北师版 九年级上
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成比例；对应
C
B
C
A
B
A
C
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证明见习题
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B
(1)证明见习题
证明见习题
(1)△ACF∽△GCA
(2)45°
(2)△ABC∽△DEF
(3)△P2P4P5符合要求
1．三边________的两个三角形相似．这里必须注意的是“一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，这两个三角形才相似”，一定要讲究“________”关系．
成比例
对应
A
3．已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF
的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，
这两个三角形相似？( )
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm
C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm
C
B
5．一个三角形三边的长分别是3，5，7，另一个与它相似的
三角形的最长边是21，则其他两边的和是( )
A．19 B．17
C．24 D．21
C
6．如图，四个4×4的正方形网格(每个网格中的小正方形边
长都是1)，每个网格中均有一个“格点三角形”(三角形的
顶点在小正方形的顶点上)，是相似三角形的为( )
A．①③ B．①② C．②③ D．②④
A
7．(2018·临安区)如图，小正方形的边长均为1，则下列图中
的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
B
8．如图，在正方形网格上，若使△ABC与△PBD相似，则点
P应在( )
A．P1处 B．P2处 C．P3处 D．P4处
C
9．如图，正方形网格中有三个三角形，其中相
似的是( )
A．A与B B．A与C
C．B与C D．A，B，C都相似
B
10．如图，D，E，F分别是等边三角形ABC三边上的点，AE
＝BF＝CD.求证：△ABC∽△DEF.
11．如图，O为△ABC内一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点．求证：△DEF∽△ABC.
12．如图，四边形ABCD、四边形DCFE、四边形EFGH是大
小相同的正方形．
(1)△ACF与△GCA相似吗？说说你的理由．
(2)求∠1＋∠2的度数．
解：∵△ACF∽△GCA，
∴∠1＝∠CAF.
∴∠1＋∠2＝∠CAF＋∠2＝∠ACB＝45°.
精彩一题
13．(中考·菏泽)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，
△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，
P5是△DEF边上的5个格点．请按要求完成下列各题：
精彩一题
(1)求证：△ABC为直角三角形；
精彩一题
(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
精彩一题
(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，
P5中的3个格点且与△ABC相似，并说明理由．
(共16张PPT)
第4节 探索三角形相似的条件
第4课时 黄金分割
第四章 图形的相似
北师版 九年级上
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B
C
B
C
证明见习题
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(2)证明见习题
(3)点M为线段AD的黄金分割点
B
3．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式正确的是( )
A．AB2＝AC·BC B．BC2＝AC·AB
C．AC2＝BC·AB D．AC2＝2AB·BC
C
C
5．如图，乐器上一根弦固定在乐器面板上A，B两点，支撑
点C是AB靠近点B的黄金分割点，若AB＝80 cm，则AC＝
_______________．
6．某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处
最自然得体．如图，若舞台AB的长为20 m，C为AB的一个黄金分割点(AC＜BC)，则AC的长约为(结果精确到0.1 m)( )
A．6.7 m B．7.6 m
C．10.0 m D．12.4 m
B
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分
∠ACB交AB于点E.
(1)求证：点E为线段AB的黄金分割点；
(2)若AB＝4，求BC的长．
8．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
(1)求MA，DM的长；
(2)求证：AM2＝AD·DM；
(3)根据(2)的结论，请你找出图中的一个黄金分割点．
解：点M为线段AD的黄金分割点．
