2020春华师版九下数学：几何的回顾反证法 课件（29张PPT）

课件29张PPT。反 证 法
课题学习 中点四边形1.叙述反证法的概念
证明命题时,不是直接从题设推出结论,而是从命题结论的_____
出发,引出_____,从而证明命题成立,这样的证明方法叫做反证
法反面矛盾2.总结反证法证明命题的一般步骤
(1)假设结论的_____是正确的；
(2)通过逻辑推理,推出与公理、已证的定理、定义或已知条件
_______；
(3)由矛盾说明假设_______,从而得到_______正确.反面相矛盾不成立原结论3.中点四边形
顺次连结任意四边形各边的_____所组成的四边形称为中点四边
形．
【点拨】中点四边形的每条边都是原四边形对角线的一半,且与
相应的对角线平行．中点 反证法
【例1】(8分)已知：△ABC中,AB＝AC，
求证：∠B,∠C必为锐角.
易错提醒:∠B与∠C必为锐角的反面是两角为直角或钝角！【规范解答】
∵AB＝AC,∴∠B=∠C,…………………………………………1分
假设∠B,∠C不是锐角,则可能有两种情况：
∠B=∠C=90°或∠B=∠C＞90°.……………………………3分
(1)若∠B=∠C=90°,则∠A＋∠B＋∠C＞180°,这与三角形内
角和定理矛盾.…………………………………………………5分(2)若∠B=∠C＞90°,则 ∠A＋∠B＋∠C＞180°, 这与三角
形内角和定理矛盾.……………………………………………7分
所以假设不能成立.故∠B,∠C必为锐角.……………………8分【互动探究】直接法与反证法的区别是什么？
提示：直接法是从已知出发,根据公理、定义、定理直接推断结
论正确性的方法,而反证法是由否定结论得出矛盾,从而推断结
论正确的方法．【规律总结】
适宜使用反证法的四种情况
1.结论本身是以否定形式出现的一类命题；
2.有关结论是以“至多……”或 “至少……”的形式出现的一
类命题；
3.关于唯一性,存在性的问题；
4.结论的反面是比原结论更具体更容易研究的命题．【跟踪训练】
1.用反证法证明“若⊙O的半径为r,点P与圆心的距离d大于r,则
点P在⊙O的外部”.首先应假设( )
(A)d＜r
(B)点P在⊙O外
(C)d≤r
(D)点P在⊙O上或点P在⊙O内【解析】选D.命题“若⊙O的半径为r,点P与圆心的距离d大于r,
则点P在⊙O的外部”的结论为：点P在⊙O的外部.若用反证法证
明该命题,则首先应假设命题的结论不成立,即点P在⊙O上或点P
在⊙O内.
【高手支招】反证法证明问题的关键是正确作出假设,并找到合
理的矛盾之处；有些命题的反面不止一种情况,证明时应考虑全
面,并分别推出矛盾．2.用反证法证明“若|a|≠|b|,则a≠b.”时,应假设________.
【解析】 a,b的等价关系有a=b,a≠b两种情况,因而a≠b的反面
是a=b,因此用反证法证明“a≠b”时,应先假设a=b．
答案：a=b 中点四边形
【例2】已知：如图,在四边形ABCD中,E为
AB上一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,
AB,BC,CD,DA的中点分别为P,Q,M,N,试判
断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你
的结论.【解题探究】
1.试说明MN和PQ的关系.
答：平行且相等.理由如下：
如图,连结AC，BD.∵PQ为△ABC的中位线,
∴PQ AC. 同理MN AC. ∴ MN PQ ．
2.由①知MN PQ,∴四边形PQMN为平行四边形．__________3.AC和BD相等吗？为什么？
答：AC和BD相等, 在△AEC和△DEB中,
∵∠AED=∠CEB=60°,
∴∠AED+∠DEC=∠CEB+∠DEC,
即∠AEC=∠DEB.又∵AE=DE,EC=EB,
∴△AEC≌△DEB，∴AC＝BD．4.MN和PN相等吗？为什么？
答：MN和PN相等,由①知MN= AC，同理可证PN= BD,
由③知AC＝BD,∴MN=PN.
5.结论：由②④可知四边形PQMN为菱形．【规律总结】
用对角线判断中点四边形
1.如果原四边形的对角线既不相等也不垂直,则其中点四边形为
平行四边形；
2.如果原四边形对角线互相垂直,则其中点四边形为矩形,如菱
形的中点四边形是矩形；3.如果原四边形对角线相等,则其中点四边形为菱形,如矩形的
中点四边形是菱形；
4.如果原四边形对角线互相垂直且相等,则其中点四边形为正方
形,如正方形的中点四边形是正方形.【跟踪训练】
3.顺次连结任意一个四边形的四边中点所
得的四边形一定是( )
(A)平行四边形 (B)矩形
(C)菱形 (D)正方形
【解析】选A.根据“顺次连结任意一个四边形的四边中点所得
的四边形是平行四边形”可知选A.4.如图,在梯形
ABCD中,AB∥CD,AD=BC,点E,F,G,H
分别是AB,BC,CD,DA的中点,则下列
结论一定正确的是( )
(A)∠HGF=∠GHE (B)∠GHE=∠HEF
(C)∠HEF=∠EFG (D)∠HGF=∠HEF【解析】选D.因为点E,F,G,H分别是等腰梯形的AB,BC,CD,DA的
中点,所以四边形EFGH为菱形,根据菱形的性质可以判断
∠HGF=∠HEF.5.观察探究，完成下面各题.
如图，四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中
点，顺次连结E,F,G,H，得到的四边形EFGH叫中点四边形.(1)请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是_______；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是_______ ；
当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是_______ ；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是_______ ；
(2)根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状是由原四边
形的什么决定的？
【解析】(1)填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形.
(2)中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系来决定的.1.证明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题可举反例的数字
为( )
(A)3 (B)4 (C)8 (D)6
【解析】选D.因为 3不是偶数,不符合条件,故错误；4是偶数,
且能被4整除,故错误；8是偶数,且是4的2倍,故错误；6是偶数,
但是不能被4整除,故选D.2.某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地(如图)，各边的中点
分别是E，F，G，H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为
40 m，则对角线AC=_______m.【解析】根据中位线定理易证中点四边形EFGH是平行四边形，
因为等腰梯形的对角线相等，即AC=BD，同时可推证EF=FG，所
以四边形EFGH是菱形.已知菱形EFGH的周长为40 m，所以边
EF=10 m.所以AC=2EF=20 m .
答案：203.已知命题“在△ABC中,若AC2+BC2≠AB2,则∠C≠90°”,要证
明这个命题是真命题,可用反证法,其步骤为：假设________,根
据________,一定有__________,但这与已知________相矛盾,因
此假设是错误的,于是可知原命题是真命题.
【解析】∠C≠90°的反面是∠C=90°,在直角三角形ABC中,依
据勾股定理可知AC2+BC2=AB2,这与已知AC2+BC2≠AB2相矛盾.
答案：∠C=90°勾股定理 AC2+BC2=AB2 AC2+BC2≠AB24.在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,如
果四边形EFGH为菱形,那么四边形ABCD是________(只要写出一
种即可)．
【解析】答案不唯一：只要是对角线相等的四边形均符合要求.
如：正方形、矩形、等腰梯形等．
答案：正方形(或矩形、等腰梯形，答案不唯一)5.已知一个数小于它的绝对值,求证这个数必是负数．
【解析】设这个数为a,假设a不是负数,则有两种情况：a为正数或a为0.当a为正数时,a的绝对值等于本身,与题设矛盾.当a=0时,0的绝对值等于0,这与题设相矛盾,所以假设不成立,故原结论是正确的．