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5 二次函数与一元二次方程
第2章 二次函数
BS版 九年级下
第1课时 二次函数与一元二次方程
之间的关系
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见习题
D
A
1
2
3
4
C
5
C
6
7
8
C
B
9
A
B
10
11
12
13
见习题
见习题
见习题
见习题
1．观察图象(如图)填空：
(1)二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有________个交点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式Δ_____0；
夯实基础
两
>
(2)二次函数y＝x2－6x＋9的图象与x轴有________个交点，则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式Δ________0；
夯实基础
一
＝
(3)二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴________公共点，则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式Δ________0.
夯实基础
没有
<
2．【中考?柳州】小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图所示，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( )
A．无解
B．x＝1
C．x＝－4
D．x＝－1或x＝4
夯实基础
D
3．【2019?梧州】已知m＞0，关于x的一元二次方程
(x＋1)(x－2)－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是( )
A．x1＜－1＜2＜x2 B．－1＜x1＜2＜x2
C．－1＜x1＜x2＜2 D．x1＜－1＜x2＜2
夯实基础
【点拨】关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解x1，x2，可以看作二次函数y＝(x＋1)(x－2)的图象与直线y＝m(m＞0)交点的横坐标．∵二次函数y＝(x＋1)(x－2)的图象与x轴的交点坐标为(－1，0)，
(2，0)，∴当m＞0时，就是抛物线位于x轴上方的部分，此时x＜－1或x＞2.又∵x1＜x2，∴x1＜－1＜
2＜x2.
夯实基础
【答案】 A
4．【2019?岳阳】对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2＋2x＋c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是( )
夯实基础
B
5．【2019?杭州】在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝(x＋a)(x＋b)的图象与x轴有M个交点，函数y＝(ax＋1)(bx＋1)的图象与x轴有N个交点，则( )
A．M＝N－1或M＝N＋1
B．M＝N－1或M＝N＋2
C．M＝N或M＝N＋1
D．M＝N或M＝N－1
夯实基础
【点拨】∵y＝(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，
a≠b，∴Δ＝(a＋b)2－4ab＝(a－b)2＞0.
∴函数y＝(x＋a)(x＋b)的图象与x轴有2个交点，
即M＝2.∵函数y＝(ax＋1)(bx＋1)＝abx2＋(a＋b)x＋1，∴当ab≠0时，Δ＝(a＋b)2－4ab＝(a－b)2＞0，此时函数y＝(ax＋1)(bx＋1)的图象与x轴有2个交点，即N＝2，则M＝N；
夯实基础
当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，此时函数y＝(ax＋1)(bx＋1)＝bx＋1为一次函数，其图象与x轴有1个交点，即N＝1，则M＝N＋1.综上可知，
M＝N或M＝N＋1.
夯实基础
【答案】 C
6．【2019?荆门】抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
夯实基础
C
7．【2018?天津】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)经过点(－1，0)，(0，3)，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：
①抛物线经过点(1，0)；②方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等的实数根；③－3＜a＋b＜3.
其中，正确结论的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
夯实基础
C
8．【2018?大庆】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)、点B(3，0)、点C(4，y1)，若点D(x2，y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：
①二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小值为－4a；
②若－1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；
③若y2＞y1，则x2＞4；
夯实基础
夯实基础
【点拨】抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)，
即y＝ax2－2ax－3a，∴y＝a(x－1)2－4a，
∴当x＝1时，二次函数有最小值－4a，①正确；
当x＝4时，y＝5a，∴若－1≤x2≤4，则－4a≤y2≤5a，
②错误；
∵点C(4，5a)关于直线x＝1的对称点为(－2，5a)，
∴若y2＞y1，则x2＞4或x2＜－2，③错误；
夯实基础
夯实基础
【答案】 B
【点拨】根据函数与坐标轴有三个交点，可得Δ＝
(－1)2－4b＞0，解得b＜1.但本题易忽略与x轴的交点不能在原点上，即b≠0.否则将与坐标轴只有两个交点，故选A.
9．【中考?徐州】若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )
A．b＜1且b≠0 B．b＞1
C．0＜b＜1 D．b＜1
夯实基础
A
10．【2019?黑龙江】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(3，0)、点B(－1，
0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式；
整合方法
(2)过点D(0，3)作直线MN∥x轴，点P在直线MN上且S△PAC＝S△DBC，直接写出点P的坐标．
整合方法
解：点P的坐标为(4，3)或(8，3)．
整合方法
整合方法
(2)求抛物线的对称轴；
解：∵点A与点B关于直线x＝1对称，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
整合方法
整合方法
12．【2019?荆州】若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的顶点在一次函数y＝kx＋t(k≠0)的图象上，则称y＝
ax2＋bx＋c(a≠0)为y＝kx＋t(k≠0)的伴随函数，如：
y＝x2＋1是y＝x＋1的伴随函数．
(1)若y＝x2－4是y＝－x＋p的伴随函数，求直线
y＝－x＋p与两坐标轴围成的三角形的面积；
探究培优
探究培优
(2)若函数y＝mx－3(m≠0)的伴随函数y＝x2＋2x＋n的图象与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
探究培优
探究培优
(1)求直线BC的表达式；
探究培优
探究培优
(2)当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
探究培优
探究培优
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5 二次函数与一元二次方程
第2章 二次函数
BS版 九年级下
第2课时 利用二次函数的图象
解一元二次方程
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D
B
C
1
2
3
4
见习题
5
见习题
6
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8
见习题
B
9
见习题
D
10
11
12
见习题
见习题
见习题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为( )
A．x1＝1，x2＝－3
B．x1＝x2＝－1
C．x1＝x2＝3
D．x1＝－1，x2＝3
夯实基础
D
2．二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解是x1＝3，另一个解x2是( )
A．1 B．－1
C．－2 D．0
夯实基础
B
3．已知二次函数y＝x2＋2x－10，小明利用计算器列出了下表：
那么方程x2＋2x－10＝0的一个近似根是( )
A．－4.1 B．－4.2 C．－4.3 D．－4.4
夯实基础
x －4.1 －4.2 －4.3 －4.4
x2＋2x－10 －1.39 －0.76 －0.11 0.56
C
4．【中考?包头】已知一次函数y1＝4x，二次函数y2＝2x2＋2，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为y1与y2，则下列关系正确的是( )
A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2
夯实基础
夯实基础
【答案】 D
5．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，
0)，B(2，0)．
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为
_________________；
(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为
______________；
(3)不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为____________．
夯实基础
x1＝－1，x2＝2
－1＜x＜2
x≤－1或x≥2
6．【2019?济宁】如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2＋mx＋c＞n的解集是_______________．
夯实基础
x＜－3或x＞1
7．【中考?咸宁】如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝
ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是
_______________．
夯实基础
x<－1或x>4
夯实基础
夯实基础
夯实基础
【答案】 B
夯实基础
10．【2019?天门】在平面直角坐标系中，已知抛物线
C：y＝ax2＋2x－1(a≠0)和直线l：y＝kx＋b，点A
(－3，－3)，B(1，－1)均在直线l上．
(1)若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
整合方法
(2)当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值；
整合方法
整合方法
解：根据题意可得抛物线C：y＝－x2＋2x－1.
∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1.
当y＝－4时，有－x2＋2x－1＝－4，解得x＝－1或
x＝3.①在直线x＝1左侧，y随x的增大而增大，
∴x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4，则m＝－3；
②在直线x＝1右侧，y随x的增大而减小，∴x＝m＝3
时，y有最大值－4.综上所述，m＝－3或m＝3.
(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
整合方法
整合方法
11．【2019?云南】已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋
k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
(1)求k的值；
解：∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，
∴k2＋k－6＝0，解得k1＝－3，k2＝2.
又∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k与x轴有两个交点，
∴Δ＝0－4×1×3k＝－12k＞0，即k＜0.∴k＝－3.
整合方法
(2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标．
解：由(1)得抛物线y＝x2－9.
∵点P在抛物线y＝x2－9上，且P到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标为2或－2.
当x＝2时，y＝－5；当x＝－2时，y＝－5，
∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5)．
12．【2019?威海】在画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：
乙写错了常数项，列表如下：
探究培优
x … －1 0 1 2 3 …
y甲 … 6 3 2 3 6 …
x … －1 0 1 2 3 …
y乙 … －2 －1 2 7 14 …
通过上述信息，解决以下问题：
(1)求原二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的表达式；
探究培优
探究培优
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x______时，y的值随x的值增大而增大；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
探究培优
解：若方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，即x2＋2x＋3－k＝0有两个不相等的实数根，
则Δ＝4－4(3－k)＞0，解得k＞2.
≥－1
(共10张PPT)
5 二次函数与一元二次方程
第2章 二次函数
BS版 九年级下
第3课时 二次函数图象信息题的
四种常见类型
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D
B
D
1
2
3
4
x1＝0，x2＝2
5
D
6
7
见习题
A
1．【2018?毕节】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②2a＋b＞0；
③b2－4ac＞0；④a－b＋c＞0.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
整合方法
D
2．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A
(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1A．y1≤y2 B．y1＜y2
C．y1≥y2 D．y1＞y2
整合方法
B
3．【中考?黄石】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则当函数值y＞0时，x的取值范围是( )
A．x＜－1
B．x＞3
C．－1＜x＜3
D．x＜－1或x＞3
D
整合方法
4．如图，一次函数y1＝kx＋n与二次函数y2＝ax2＋
bx＋c的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为( )
A．－1≤x≤9
B．－1≤x＜9
C．－1＜x≤9
D．x≤－1或x≥9
整合方法
A
5．【中考?阜新】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么关于x的一元二次方程ax2＋bx＝0的根是________________．
x1＝0，x2＝2
整合方法
6．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所
示，则函数y＝ax＋b的图象正确的是( )
D
整合方法
7．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数
y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象上．
(1)求m的值和二次函数的表达式；
整合方法
(2)设二次函数的图象交y轴于点C，求△ABC的面积．
整合方法
(共21张PPT)
5 二次函数与一元二次方程
第2章 二次函数
BS版 九年级下
第2课时 二次函数在学科内的综合应用
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见习题
见习题
见习题
1
2
3
4
见习题
1．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴只有一个公共点P，与y轴的交点为Q.过Q点的直线y＝2x＋m与x轴交于点A，与这个二次函数的图象的另一个交点为B.若S△BPQ＝3S△APQ，求这个二次
函数的表达式．
整合方法
整合方法
【点拨】本题用待定系数法求函数表达式时，根据图象的几何性质寻找待定系数所满足的条件，列方程或方程组求解．解题时还必须根据题目条件对结果进行检验，舍去不符合题意的解．
整合方法
整合方法
整合方法
整合方法
整合方法
解：∵P(m，m2－4)，A(－2，0)，
∴直线AP对应的函数表达式为
y＝(m－2)x＋(2m－4)．
∴CO＝2m－4.
整合方法
整合方法
3．已知关于x的二次函数y＝x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4.
(1)探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数；
整合方法
整合方法
(2)设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A(x1，0)，B(x2，0)，且x21＋x22＝5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM对应的函数表达式．
整合方法
整合方法
整合方法
4．【中考?黔西南州】在平面直角坐标系中，?ABOC按如图所示的方式放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到?A′B′OC′，抛物线y＝－x2＋2x＋3经过A，C，A′三点．
(1)求A，A′，C三点的坐标．
整合方法
解：当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝－1.
∴C(－1，0)，A′(3，0)．当x＝0时，y＝3.∴A(0，3)．
(2)求?ABOC和?A′B′OC′重叠部分(△C′OD)的面积．
整合方法
整合方法
(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，
问点M在何处时，△AMA′的面积最
大？最大面积是多少？并写出此时
点M的坐标．
整合方法
整合方法
