2020届三轮冲刺 上海高考数学基础知识回顾辅导讲义：第五讲解析几何 教案（教师版）

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2020上海高考数学基础知识回顾：
解析几何



一、直线与方程
★1、直线的倾斜角及斜率：
（1）倾斜角：轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为，因此，倾斜角的范围是.
（2）斜率：①倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，即（时，直线斜率不存在）；②过两点的直线斜率公式：.
★2、直线的方程：点方向式：（过点，方向向量）
点法向式：（过点，法向量）
斜截式：，直线斜率为，直线在轴上的截距为
点斜式：直线斜率，且过点
两点式：（）直线两点，
截矩式：（与轴交于点，与轴交于点）
一般式：（，不全为）
★★3、直线与直线的位置关系：（1）平行直线系：与；（2）垂直直线系：与；（3）直线平行与垂直的充要条件：①当，时，；；②当，时，；
★★4、直线的夹角公式：（1）对直线，，；（2）对直线，，
★★5、点到直线的距离：（1）点到直线的距离：点到直线的距离为；（2）点在直线的同侧或异侧的问题：令，当两点在直线的同侧，则它们的同号；当两点在直线的异侧，则异号；（3）两平行线间的距离公式：与为
★6、线性规划：①设出所求的未知数；②列出约束条件（即不等式组）；③建立目标函数；④作出可行域；⑤运用图解法求出最优解．
二、圆与方程
★1、圆的方程：（1）标准方程，圆心，半径为；（2）一般方程，圆心，半径，能形成圆的充要条件是；（3）参数方程：，圆心，半径为．
★2、点与圆的位置关系：点与圆的位置关系通过代入圆的方程，若，点在圆内；若等于0，点在圆上；大于0，点在圆外．
★★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有与相离；与相切；相交；
（2）设直线，圆，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有与相离；与相切；与相交．
★★★4、过圆上一点的切线方程：①圆，圆上一点为，则过此点的切线方程为 ；②圆，圆上一点为，则过此点的切线方程为．
★★5、圆与圆的位置关系：设圆，，为两圆的圆心距，当时两圆外离，此时有公切线四条；当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当时，两圆内含；当时，为同心圆．
三、圆锥曲线
1、椭圆：
★（1）定义：平面内到两定点的距离的和为常数（）的动点的轨迹叫椭圆．（长轴长，短轴长，长半轴，短半轴，焦距，）
★（2）方程：①标准方程：焦点在轴上时： ；焦点在轴上时：
；②参数方程：（焦点在轴上）
★（3）椭圆的的内外部：①点在椭圆的内部；
②点在椭圆的外部
★★★（4）椭圆中的相关结论：①若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是；②若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是；③椭圆 ()的左右焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为；④是椭圆的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即；⑤已知椭圆，直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的任一点，且，均存在，则．
2、双曲线：
★（1）定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（）的动点的轨迹叫双曲线．（实轴长，虚轴长，实半轴，虚半轴，）
★（2）标准方程：焦点在轴上时：，渐近线；
焦点在轴上时：，渐近线
★（3）共轭双曲线和等轴双曲线：与互为共轭双曲线；形如的双曲线叫等轴双曲线
★★★（4）双曲线中的相关结论：①若在双曲线（）上，则过的双曲线的切线方程是；②若在双曲线（）外 ，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是；③双曲线（）的左右焦点分别为，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为；④是双曲线（）的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即；⑤已知双曲线，直线交双曲线于，两点，点是双曲线上异于，的任一点，且，均存在，则．
3、抛物线：
★（1）定义：到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹．（定点不在定直线上）
★（2）标准方程：①，焦点(,0)，准线；②，焦点(-,0)，准线；③，焦点(0, )，准线；④，焦点(0,-)，准线
（3）抛物线的相关结论：①设抛物线方程（），F为其焦点，AB为过F的弦，，．则（），()，．
②抛物线在点的切线方程为：．
四、解析几何综合问题
★★1、直线与圆锥曲线的位置关系：①把曲线方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式来讨论位置关系，方程解的个数为交点个数；②利用区域划分的图形效果，用数形结合的方式讨论；③椭圆与直线相切的条件是，双曲线与直线相切的条件是，抛物线与直线相切的条件是．
★★2、弦长公式：=
=
★★★3、距离问题：（1）点与圆锥曲线的距离：一般通过两点间距离公式，转化为二次函数问题来解决，注意变量范围．特殊的，当该点为焦点时，椭圆这侧的长轴顶点到该点的距离最小，双曲线这侧的实轴顶点到该点的距离最小．抛物线一般转化为到准线的距离解决．（2）到定直线的距离：一般是通过作定直线的平行线与圆锥曲线相切来解决．另外，通过参数方程也可以解决．（3）到圆上点的距离：一般转化为到圆心的距离加减半径．
★★★4、弦中点问题：（1）解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．（2）点差法：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”．利用点差法解题一般需要验算直线与圆锥曲线是否相交.






一、直线的相关问题
对直线方程的考查主要涉及：倾斜角和斜率的求解、两直线的位置关系的判断、距离问题、对称问题等，大都是结合定义和公式利用数形结合的方法来解决。
【例1】直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是
【难度】★
【答案】

【例2】已知点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为
【难度】★★
【答案】

【例3】若直线与平行，则实数的值为
【难度】★★
【答案】或

【例4】已知点在直线上运动，则的最小值为
【难度】★★
【答案】

【例5】已知直线：，则直线：关于直线的对称直线的方程为
【难度】★★
【答案】

【巩固训练】
1．直线的倾斜角的取值范围是
【难度】★
【答案】

2．已知直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围为
【难度】★★
【答案】

3．已知直线：和：，则的充要条件是
【难度】★★
【答案】

4．若直线被两平行线：与：所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是
【难度】★★
【答案】或

5．直线：关于点对称的直线的方程为
【难度】★★
【答案】

二、圆的相关问题
圆的方程及圆中的位置关系的判断一般利用点和圆心的距离、圆心到直线的距离与半径作比较来进行判断，也可以利用几何意义、垂直定理等相关性质来快速求解。
【例6】自点引圆：的两条切线，切点分别为，，则的外接圆的方程为
【难度】★★
【答案】

【例7】已知圆：，直线：，下面四个命题：
①对任意实数与，直线与圆相切；
②对任意实数与，直线与圆有公共点；
③对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切；
④对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切
其中真命题的序号是
【难度】★★
【答案】②④

【例8】已知圆：和两点，.若圆上存在点，使得，则的最大值为
【难度】★★
【答案】6

【例9】过作圆：的两条切线，切点分别为，，则弦的长为
【难度】★★
【答案】

【例10】若方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为
【难度】★★
【答案】或

【巩固训练】
1．圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线所截得的弦长为，则圆的方程为
【难度】★★
【答案】或

2．已知圆，直线与该圆的位置关系是
【难度】★★
【答案】相切

3．如果圆与圆总相交，则的取值范围是
【难度】★★
【答案】

4．在平面直角坐标系中，已知圆，点是轴上的一个动点，，分别切圆于，两点，则线段长的取值范围为
【难度】★★
【答案】

5．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是
【难度】★★
【答案】

三、圆锥曲线的相关问题
圆锥曲线中的问题大都是利用方程的结构，结合圆锥线自身的定义，联立方程进行求解。常用的方法有：数形结合、几何转化、函数思想、分类讨论等等。
【例11】若方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是
【难度】★
【答案】

【例12】已知椭圆的方程为，、分别为椭圆的左、右焦点，点的坐标为，为椭圆上一点，则的最大值与最小值分别是
【难度】★★
【答案】和

【例13】已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，，则
【难度】★★
【答案】

【例14】设为直线：上的点，过点作抛物线：的两条切线、，其中、为切点，若为抛物线的焦点，当点在直线上移动时，的最小值为
【难度】★★
【答案】

【例15】已知双曲线：，直线与双曲线相交于、两点，是双曲线上异于、的任一点，且、均与坐标轴不平行，则、的斜率之积
【难度】★★
【答案】

【巩固训练】
1．若双曲线的渐近线方程为，且经过点，则双曲线的方程为
【难度】★
【答案】

2．已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为
【难度】★★
【答案】9

3．设和为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积是
【难度】★★
【答案】1

4．已知椭圆：，设为原点，若点在直线上，点在椭圆上，且，则线段长度的最小值为
【难度】★★
【答案】

5．已知椭圆：，一直线与椭圆相交于、两点，是线段的中点，若为坐标原点，且直线、斜率存在，则、的斜率之积
【难度】★★
【答案】

四、直线与圆锥曲线综合问题
直线与圆锥曲线的综合问题有常见两种思路：数形结合、代数求解。
【例16】若平面区域是一个三角形，则的取值范围是_________．
【难度】★★★
【答案】

【例17】对于曲线所在平面上的定点，若存在以点为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点恒成立，则称角为曲线相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线相对于点的“确界角”．曲线相对于坐标原点的“确界角”的大小是 ．
【难度】★★
【答案】

【例18】设圆O1和圆O2是两个相离的定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹可能是 ①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是--（ ）
A．① ③ B．② ③ C．① ② D．① ② ③
【难度】★★
【答案】C

【巩固训练】
1．如果函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是
A． B. C. D.
【难度】★★★
【答案】A

2．若两函数与的图像有两个交点、，是坐标原点，是锐角三角形，则实数的取值范围是
【难度】★★★
【答案】

3．若双曲线和双曲线的焦点相同，且给出下列四个结论：①；②；③双曲线与双曲线一定没有公共点；④；其中所有正确的结论序号是（ ）
A. ①② B, ①③ C. ②③ D. ①④
【难度】★★★
【答案】B



【例1】过点且在两坐标轴截距相等的直线方程是
【难度】★
【答案】或
【解析】当截距为0时，所求直线方程是，当截距不为0时，斜率为-1，所求直线方程是。
【易错点】截距是一个数，是直线与坐标轴焦点的对应坐标的值，可正可负，也可为零。

【变式训练】
1．若直线与圆相切，且在两个坐标轴上的截距相等，则直线的方程为
【难度】★★
【答案】

【例2】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为
【难度】★★
【答案】或
【解析】设反射光线所在直线的斜率为，反射光线过点关于轴的对称点，所以设反射光线所在直线方程为，又因为反射光线与圆相切，所以，整理得，解得或
【易错点】与光的反射有关的问题，本质上还是与直线相关的对称问题，求解中利用光的反射性质，转化为对称直线问题

【变式训练】
1．如图，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经过直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是
【难度】★★★
【答案】

【例3】是曲线上任意一点，则的最大值是
【难度】★★
【答案】36
【解析】可直接代入求得到关于三角的函数结构来求最值，也可将其转化为圆的标准方程，利用坐标系，而表示点到点距离的平方，也可以用数形结合的方法求解。
【易错点】注意参数的隐藏的范围。

【变式训练】
1．若实数，满足，则的最大值为
【难度】★★
【答案】

【例4】已知两点，到直线的距离分别为，，则满足条件的直线总共有 条
【难度】★★
【答案】3
【解析】因为，，所以，以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，如图所示，易知圆与圆外切，故两圆有三条公切线，所以满足条件的直线共有3条
【易错点】将题中的距离问题转化为两圆的位置关系是关键。

【变式训练】
1．如果圆上总存在两个点到原点的距离为1，则实数的取值范围是
【难度】★★
【答案】

【例5】已知两圆：，：，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是
【难度】★★
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，则两圆心连线的直线方程为，由两圆方程作差得公共弦方程为，两直线的交点即为所求圆的圆心。由垂径定理可得半径为，即所求圆的方程为
【易错点】圆：，:相交于、两点，则两圆的公共弦所在的直线为

【变式训练】
1．圆：与圆：的公共弦所在直线被圆：所截得的弦长为
【难度】★★
【答案】

【例6】设点，若在圆：上存在点，使得，则的取值范围是
【难度】★★
【答案】
【解析】点在直线上，而直线与圆相切，根据题意可设点，如图，则只需即可，此时有，得，即，当位于点时，显然在圆上存在点满足要求，综上可知
【易错点】观察图形可知，当是切线时，最大。

【变式训练】
1．已知圆：，点在直线上，若圆上存在点，使，则的取值范围是
【难度】★★
【答案】

【例7】设是椭圆上一点，、分别是圆：和圆：上的点，则的取值范围是
【难度】★★
【答案】
【解析】的最小值，则，都应该最小，的最小值为；同理，最大值为
【易错点】利用椭圆上的点到两焦点的距离之和为定值以及圆外一点到圆上距离的最小值和最大值应该与过圆心的连线相关。

【变式训练】
1．为双曲线右支上一点，点、分别是圆和圆上的点，则的最大值是
【难度】★★
【答案】5

【例8】设、分别为圆和椭圆上的点，则、两点之间的最大距离是
【难度】★★
【答案】
【解析】设圆心为点，则圆的圆心为，半径，设点是椭圆上任意一点，则，即，其中，
，当时，有最大值，则、两点之间的最大距离为
【易错点】在考虑两个曲线上的双动点间的距离问题时线转化为已知的单点到曲线的距离问题。

【变式训练】
1．设点是抛物线上一动点，是直线上任一点，则的最小值为
【难度】★★
【答案】

【例9】设，是双曲线的两个焦点，在双曲线上，当的面积为1时，的值为
【难度】★★
【答案】0
【解析】的面积为，所以，故
【易错点】椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式是解决焦点三角形问题的捷径。

【变式训练】
1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若、、是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为
【难度】★★
【答案】或

【例10】已知点是圆内一点，点、是圆上两动点，且满足，则矩形的顶点的轨迹方程为
【难度】★★
【答案】
【解析】利用相关点代入法和垂径定理就可求解。
【易错点】对轨迹中相关点之间的联系处理不清楚，应先探求其相关点中点的轨迹，再将所求的坐标转移给相关点即可。

【变式训练】
1．在平面直角坐标系中，点是圆上一动点，轴于点，记满足的动点的轨迹为，则轨迹的方程为
【难度】★★
【答案】

【例11】已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为
【难度】★★
【答案】
【解析】由抛物线的定义可知，已知当与共线时最短。
【易错点】抛物线定义相关的最值问题主要利用到焦点的距离与到准线距离相等来进行相互转化。

【变式训练】
1．已知在抛物线上存在三点、、，为抛物线焦点，且，则
【难度】★★
【答案】6





基础知识

题型与方法

易错题型






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