2020届三轮冲刺 上海高考数学基础知识回顾辅导讲义：第六讲 立体几何 教案（教师版）

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2020上海高考数学基础知识回顾：
第六讲 立体几何



一、空间点、直线、平面的位置关系
★（1）点与平面的关系：点A在平面内，记作；点不在平面内，记作
点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l； 点A在直线l外，记作Al；
直线与平面的关系：直线l在平面内，记作l；直线l不在平面α内，记作l。
★（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线）
★（3）公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
公理2的作用：①它是判定两个平面相交的方法。②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
★（4）公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据
★（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
★（6）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。
二、空间中的平行问题
★（1）直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。
线线平行线面平行
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行
★（2）平面与平面平行的判定及其性质
①两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行）；如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行（线线平行→面面平行）；垂直于同一条直线的两个平面平行
②两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行（面面平行→线面平行）；如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行→线线平行）。
三、空间中的垂直问题
★（1）线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
★（2）垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
四、空间角问题
★（1）直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角：规定为。
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
★★（2）直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角：规定为。 ②平面的垂线与平面所成的角：规定为。
③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
★★★（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
③求二面角的方法：定义法、垂面法、三垂线法、空间向量法等。
五、柱、锥、球的结构特征

★1、棱柱：（1）定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体；
（2）分类：三棱柱、四棱柱、五棱柱；直棱柱、斜棱柱；正棱柱；
（3）几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱 平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
★2、棱锥：（1）定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围 成的几何体；
（2）分类：三棱锥、四棱锥、五棱锥；正棱锥；
（3）几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于 顶点到截面距离与高的比的平方。
★3、圆柱：（1）定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何 体；
（2）几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面 展开图是一个矩形。
★4、圆锥：（1）定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体；
（2）几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
★★5、球体：（1）定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体；
（2）几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径；
（3）球面距离：球面上两点间所在大圆的劣弧或半圆长。
六、空间几何体的三视图
★定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、
俯视图（从上向下）
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
　 　俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

七、空间几何体的直观图——斜二测画法
★斜二测画法特点：①原来与轴平行的线段仍然与平行且长度不变；
②原来与轴平行的线段仍然与平行，长度为原来的一半。
八、柱体、锥体、台体的表面积与体积
★1、几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
★2、特殊几何体表面积公式（为底面周长，为高，为斜高，为母线）


★3、柱体、锥体、体积公式

★★4、球体的表面积和体积公式：；
九、空间向量
★1、空间两点距离坐标公式：
★★2、若直线的方向向量，平面的法向量，则
★★3、若平面的法向量，平面的法向量，则
★★4、空间的角：①若异面直线的方向向量为；与所成的角为，则
②已知直线的方向向量为，平面的法向量，与平面的夹角为，则；
③已知二面角的两个面和的法向量分别为，，则与该二面角相等或互补；
★★5、空间距离：若平面的一个法向量为，是平面外一点，是内任一点，则点到平面的距离



一、空间直线、平面之间平行关系
将空间的“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”，注意线线平行、线面平行、面面平行之间的传递性，即线线平行线面平行面面平行。
【例1】下列命题中，正确的是（ ）
、两条直线、没有公共点，那么与平行
、直线、，平面、满足、，若，则
、若，，则过、、有且仅有一个平面
、、、、是四条直线，，，，则
【难度】★
【答案】

【例2】已知、是两条不同的直线，平面，下列命题正确的是
①若上有两点到的距离相等，则；
②若，，则；
③若，则平行与平面内的无数条直线；
④若，则平行与平面内的任意一条直线；
⑤若，，则。
【难度】★
【答案】③

【例3】已知、是两条不重合的直线，、、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，，则；④若、是异面直线，，，，，则。其中真命题是（ ）
、①和② 、①和③ 、③和④ 、①和④
【难度】★
【答案】

【例4】如图所示，正方体的棱长为，点是棱上一点，且，过、、的平面交底面于，在直线上，则
【难度】★★
【答案】

【巩固训练】
1．有以下四个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②直线在平面内，可以用符号“”表示；
③若平面内的一条直线与平面内的一条直线相交，则与相交；
④垂直于同意直线的两条直线相互平行。
其中所有正确命题的序号是
【难度】★
【答案】①③


2．下列四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（ ）

、①③ 、①④ 、②③ 、②④
【难度】★★
【答案】

3．给出下列命题：
（1）若、是两个不重合的平面，，，则；
（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
（3）垂直于同一个平面的两个不同的平面平行；
（4）若、是两个不重合的平面，，，则；
（5）若，，则；
（6）若，，，则、为异面直线或平行。
其中正确命题的序号是
【难度】★★
【答案】（4）（5）（6）

4．如图所示，在四面体中，截面平行于对棱和，试问截面在什么位置时其截面面积最大？
【难度】★★
【答案】当截面分别为棱、、、的中点时截面面积最大。

二、空间直线、平面之间的垂直关系
从线线垂直到线面垂直的相互转化，也可以借助空间直角坐标系利用向量求解。
【例5】若空间中四条两两不同的直线，，，，满足，，，，则下列结论一定正确的是（ ）
、 、 、，既不平行也不垂直 、，的位置关系不确定
【难度】★
【答案】

【例6】给出下列四个命题：
①直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线和平面垂直；
②若直线和平面内的任何一条直线都垂直，则这条直线和平面垂直；
③直线垂直于梯形两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的平面；
④若直线垂直于梯形两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的平面。
其中正确的命题共有（ ）
、1个 、2个 、3个 、4个
【难度】★
【答案】

【例7】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，分别是，的中点，则平面与平面的位置关系为
【难度】★★
【答案】垂直

【巩固训练】
1．判断下列命题正确的有
（1）垂直于一组平行线中一条直线，那么也和其他直线垂直；
（2）若，，则；
（3）若，，则；
（4）若，，则
【难度】★
【答案】（1）（2）（4）

2．设、、为平面，、、为直线，则的一个充分条件是（ ）
、，， 、，，
、，， 、，，
【难度】★★
【答案】

3．如图，在斜三棱柱中，，，则在底面上的射影必在直线 上
【难度】★★
【答案】

三、空间几何体的表面积和体积
柱、锥、球的三视图的还原，表面积、体积的公式计算中，可以利用建立空间直角坐标系求出距离或者利用割补法放置在规则的空间几何体中进行切割求解。
【例8】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的长度为
【难度】★★
【答案】6

【例9】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧棱底面，，为的中点，则四面体的体积为

【难度】★★
【答案】

【例10】等腰直角三角形的腰长为2，将平面沿斜边翻折到平面的位置，翻着后如图所示，为的中点，若，则三棱锥的体积为
【难度】★★
【答案】

【例11】已知、是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为___________.
【难度】★★
【答案】

【巩固训练】
1．若一棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为
【难度】★★
【答案】20

2．如图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为
【难度】★★
【答案】

3．直三棱柱的体积为，点，分别在侧棱和上，如图，，则四棱锥的体积为
【难度】★★
【答案】

4．某同学用球形模具自制棒棒糖.现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为，高为），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为 （损耗忽略不计）.
【难度】★★
【答案】

四、空间角、距离和空间向量
对空间的“三角一距”的求解的方法常用的有：定义法、三垂线法、射影法、等体积转化法、空间向量法等。
【例12】直三棱柱中，，、分别是、的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为
【难度】★★
【答案】

【例13】如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则直线与平面所成的角为
【难度】★★
【答案】

【例14】如图所示，四棱柱的所有棱长都相等，，，四边形和四边形均为矩形，若，则二面角的余弦值为
【难度】★★
【答案】

【例15】如图，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，则点到平面的距离为
【难度】★★
【答案】

【例16】如图所示，在三棱柱中，底面，，，点、分别是棱、的中点，则直线和所成的角的度数是
【难度】★★
【答案】

【巩固训练】
1．如图，三棱锥中，，，点、分别是、的中点，则异面直线和所成角的余弦值是
【难度】★★
【答案】

2．如图，四棱锥中，底面为菱形，，，底面，则与平面所成角的正弦值为
【难度】★★
【答案】

3．如图，锐角二面角的内部有一点，点到两个半平面和的距离分别为和，若点到棱的距离是，则二面角的大小是
【难度】★★
【答案】

4．如图，四棱锥中，平面，，，，，则点到平面的距离为
【难度】★★
【答案】

5．如图，在长方体中，，，、分别是、的中点，则直线与平面所成角的正弦值是
【难度】★★
【答案】








【例1】在图中，、、、分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线、是异面直线的图形有 （填上所有正确答案的序号）

【难度】★
【答案】②④
【解析】图①中，直线；图②中，与异面；图③中，与共面；图④中，、、共面，但平面，所以与异面。
【易错点】异面直线的判定和证明时可以利用反证法来进行求解，即假设存在有且仅有一个平面经过两直线，找到矛盾点即可。

【变式训练】
1．若不平行与平面，且，则下列结论成立的是
①内的所有直线与异面；②内与平行的直线不存在；③内存在唯一的直线与平行；④内的直线与都相交；⑤若，则内不过点的直线与异面；⑥若，，则与必为异面直线。
【难度】★
【答案】②⑤

【例2】已知是正方体的面的中心，是棱上的任意一点，是棱的中点，则两条异面直线与所成的角为
【难度】★★
【答案】
【解析】如图，过点作，交于点，交于点，连接、，则，易证是的中点，在正方形中，是的中点，，又平面，平面，所以，，所以平面。又平面，所以，所以异面直线与所成的角为
【易错点】求两条异面直线所成的角，可以优先考察两条直线是否异面垂直，如果没有垂直关系，再转化为一般平移法来解三角形。

【变式训练】
1．已知四面体中，，，、、分别是、、的中点，是上任意一点，则与所成的角大小为
【难度】★★
【答案】

【例3】在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点分别是，，，，给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为 和

【难度】★★
【答案】④和②
【解析】已知四面体的顶点坐标，可以根据几何体的图形效果，将其补全至正方体中即可观察其三视图。
【易错点】当三视图不直观时可以利用规则几何体的割补法去观察。

【变式训练】
1．一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为

【难度】★★
【答案】

【例4】已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿、、三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的体积为
【难度】★★
【答案】9
【解析】根据题意该几何体为正四面体，设棱长为，其展开图是有四个与全等的正三角形组合而成的边长为的大正三角形，即可求解。
【易错点】平面图形和立体图形的相互转化，熟记边长为的正三角形的外接圆的半径为，内切圆半径为。

【变式训练】
1．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为
【难度】★
【答案】12

【例5】已知球的直径，、是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积为
【难度】★★
【答案】
【解析】如图，设球心为，则、是两个全等的等腰直角三角形和斜边上的高，斜边，故，且有，，
【易错点】分割法求体积中可以找到一个垂直于某条棱的直截面，将其分割成几个较为简单的几何体来求解体积

【变式训练】
1．斜三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱长等于，一条侧棱与底面相邻两边、都成角，则这个三棱柱的体积为
【难度】★★
【答案】

【例6】有三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面内切，第二个球与正方体各条棱相切，第三个球过正方体各顶点，则三个球表面积之比为
【难度】★★
【答案】
【解析】设正方体棱长为，则有内切球半径；棱切球半径；外接球半径，所以表面积之比为
【易错点】对球与正多面体的相切情况，注意找到球的大圆面和正多面体截面之间的关联。

【变式训练】
1．若正三棱锥的三条侧棱两两垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为
【难度】★★
【答案】

【例7】如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，，、分别是线段、的中点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为
【难度】★★
【答案】
【解析】如图，延长、交于点，连接，则是所求二面角的棱，补出棱后即可求解。
【易错点】两平面已有一个公共点，利用公理，只需要再找出另外一个公共点，添加辅助线或补形，作出二面角的棱再来求解。

【变式训练】
1．在底面为直角梯形的四棱锥中，，平面，，，则平面与平面所成二面角的余弦值为
【难度】★★
【答案】

【例8】已知直四棱柱中，底面为正方形，，，为的中点，则点到平面的距离为
【难度】★★
【答案】1
【解析】建系和等体积转化都可以求解，注意利用空间向量求解空间距离的公式。
【易错点】利用斜线的方向向量在法向量上的投影的绝对值即为点到平面的距离（其中为平面的法向量，为平面内任一点）

【变式训练】
1．已知斜三棱柱，，，点在底面上的射影恰为的中点，又知，则点到平面的距离为
【难度】★★
【答案】






基础知识

题型与方法

易错题型






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