2020届三轮冲刺 上海高考数学基础知识回顾辅导讲义：第七讲 数列 教案（教师版）

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2020上海高考数学基础知识回顾：
第七讲 数列



一、数列的有关概念
★1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
★2、数列的项：数列中的每一个数．
★3、有穷数列：项数有限的数列．
★4、无穷数列：项数无限的数列．
★5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
★6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
★7、常数列：各项相等的数列．
★8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
★9、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．
★10、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．
二、等差数列及其性质
★1、等差数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．首项是，公差是，则．
★2、通项公式的变形：①；②；③；④；⑤．
★3、若三个数，，成等差数列，则称为与的等差中项．
★4、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则
★5、等差数列的前项和的公式：①；②．
★★6、等差数列的前项和的性质：①是等差数列；②，，成等比数列③若项数为，则，且，；④若项数为，则，且，（其中，）．
三、等比数列及其性质
★1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．首项是，公比是，则．
★2、通项公式的变形：①；②；③；④．
★3、若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则．
★4、等比数列的前项和的公式：．
★★5、等比数列的前项和的性质：①若项数为，则．②．③，，成等比数列（）．
四、数列的通项与求和
★★★1、数列通项公式的常见求法：定义法、公式法、累加法、累乘法、待定系数法、取倒数法、构造法等；
★★★2、数列前项和的常见求法：公式法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法、分组求和法等．
五、数学归纳法
★★由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫归纳法，它能帮助我们发现一般规律；观察、归纳、猜想、证明，是发现数学规律的完整过程，其中证明是指用数学归纳法证明；
应用数学归纳法有两个步骤：①证明当取第一个时结论正确； ②假设当（）时，结论正确，证明当时，结论成立．这两步缺一不可，要完整地书写；用数学归纳法可以证明一些与正整数有关的命题，如数列求和公式，整除性和平面几何问题．
六、数列的极限
★1、数列极限的含义：一个数列中的项，当无限增大时，它无限地接近于某个常数，即能小于任意给定的正数时，称为数列的极限，记作．
★2、数列极限的四则运算法则：
如果，那么
① ② ③
特别地，如果C是常数，那么．
★3、三个基本极限：
①（为常数） ②
③对于任意实常数，
当时，
当时，若，则；若，则不存在
★★4、无穷递缩等比数列的和：（）
六、利息问题
★存款单利问题：（零存整取储蓄（单利）本利和计算模型）若每期存入本金元，每期利率为，则期后本利和为：；
★★分期付款复利问题：若贷款元，采用分期等额还贷款，从借款日算起，一期后为第一次还款日，如此下去，分次还清，如果每期利率为（按复利），那么每期等额还贷款元应满足：


一、数列的概念
数列是特殊的点函数，对数列的通项、单调性、最值可以利用函数的方法来解决，也可以利用与相邻项的比较来计算和解决问题。
【例1】已知，则数列的最小项和最大项分别是
【难度】★★
【答案】和
【例2】在单调递增数列中，若，则实数的取值范围为
【难度】★★
【答案】
【例3】已知数列满足，若，则
【难度】★
【答案】
【巩固训练】
1．已知数列的通项公式为，则数列中的最小项是第 项
【难度】★
【答案】7和8
2．已知在上单调递增，则实数的取值范围是
【难度】★★
【答案】
3．已知数列满足：为正整数，，如果，则
【难度】★★
【答案】4705

二、等差数列和等比数列
等差数列与等比数列的通项公式与求和公式以及其相应的性质。
【例4】在公差不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则的值为
【难度】★★
【答案】4

【例5】等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为
【难度】★
【答案】210

【例6】若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大正整数是
【难度】★★
【答案】8

【例7】已知数列的前项和为，求数列的前项和
【难度】★★
【答案】

【例8】设，是两个等差数列，他们的前项和分别为和，若，那么
【难度】★★
【答案】
【巩固训练】
1．若等比数列的各项均为正数，且，则
【难度】★
【答案】50
2．设等差数列的前项和为，若，则
【难度】★★
【答案】1
3．设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是（ ）
、若，则数列有最大项 、若数列有最大项，则
、若数列是递增数列，则对任意，均有
、若对任意，均有，则数列是递增数列
【难度】★★
【答案】C
4．在等差数列中，，，若此数列的前10项和，前18项和，则数列的前18项和
【难度】★★
【答案】60
5．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为正数的个数是
【难度】★★
【答案】5
三、数列的通项
求数列的通项的方法有：定义法、累加法、累乘法、待定系数法、作商法、取倒数法、构造法等等。
【例9】设数列的前项和为，已知，则
【难度】★★
【答案】

【例10】已知数列满足，，若，则
【难度】★★
【答案】4034

【例11】设数列的首项，，则
【难度】★★
【答案】

【例12】已知数列中，，且，则
【难度】★★
【答案】

【例13】在数列中，，，则数列的通项公式为
【难度】★★
【答案】

【巩固训练】
1．已知数列中，，，，则
【难度】★★
【答案】

2．对于正项数列，定义为的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列的通项公式为
【难度】★★
【答案】

3．数列首项，对任意的正整数恒成立，则
【难度】★★
【答案】

4．由，，则数列的第34项是
【难度】★★
【答案】

5．数列满足递推公式且，则使得为等差数列的实数的值为
【难度】★★
【答案】

四、数列求和与综合应用
数列求和的方法有：分组求和法、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法、并项求和法、分段求和法等等。
【例14】设数列，满足，，且对于任意正整数都有，又，则
【难度】★★
【答案】204

【例15】设，，则数列的前2015项和
【难度】★★
【答案】

【例16】设数列的通项公式，若数列满足，求数列的前项和
【难度】★★
【答案】

【例17】正项数列的通项公式，令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有
【难度】★★
【答案】，所以

【巩固训练】
1．选定整数序列使得，如果前1492项之和是1985，而前1985项之和是1492，则前2019项之和等于
【难度】★★
【答案】986

2．已知函数，则
【难度】★★
【答案】3015

3．已知数列的通项公式为，求其前项和
【难度】★★
【答案】

4．已知数列的通项公式为，证明：对于一切正整数，有
【难度】★★
【答案】当或时，满足；当时，，此时

五、数列极限
数列极限的求法可以用计算器、极限的运算公式和性质来解决，对于图形的极限问题可以常用归纳和猜想的方法。
【例18】无穷等比数列首项为1,公比为的等比数列前项和为，则，则________．
【难度】★
【答案】

【例19】在平面上有一系列的点，，…，，…， 对于所有正整数，点位于函数的图像上，以点为圆心的⊙与轴相切，且⊙与⊙又彼此外切，若，且．则 （ ）
A．0 B．0.2 C．0.5 D．1
【难度】★★
【答案】 C

【例20】已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若, 则公比的取值范围是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【难度】★★
【答案】

【巩固训练】
1．在正项等比数列中，则
【难度】★
【答案】

2．各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若， 则其公比的取值范围是 .
【难度】★★
【答案】

3．若表示阶矩阵中第行、第列的元素，其中第行的元素均为，第列的元素为，且（、）,则 .
【难度】★★
【答案】



【例1】已知数列满足，，，则该数列的前2012项和的值是
【难度】★★
【答案】1342
【解析】由已知，，，可得，，，，即数列是以3为周期的数列，所以该数列的前2012项和
【易错点】对于数列的求和，并不一定需要求出其通项公式，对于递推关系比较复杂的形式进行特例的观察，找到是否有循环部分，在最后求和的结果中注意有多少个周期。

【变式训练】
1．数列的通项公式，其前项和为，则
【难度】★★
【答案】1008

【例2】数列与的通项公式分别为，，它们的公共项由小到大排成的数列，则的通项公式为
【难度】★★
【答案】
【解析】数列的公差为4，数列的公差为6，所以数列的公差应为两者的最小公倍数12，由第一个公共项15，所以
【易错点】等差数列的公共项由小到大排成的新数列中，首项是第一个相同的公共项，公差是两个公差的最小公倍数。

【变式训练】
1．已知数列与的通项公式分别为，，将集合中的元素从小到大依次排列，则数列的通项公式为
【难度】★★★
【答案】

【例3】数列与的通项公式分别是，，它们的公共项由小到大排成的数列是，则数列的通项公式为
【难度】★★
【答案】
【解析】设，则，故需要被3整除。
因为
所以当为奇数时右式能被3整除，又因为为正整数，所以为大于1的奇数，所以
【易错点】利用二项式定理解不定方程。

【变式训练】
1．数列与的通项公式分别是，，它们的公共项由小到大排成的数列是，则数列的通项公式为
【难度】★★
【答案】

【例4】已知数列对于任意，有，若，则
【难度】★★
【答案】4
【解析】由可得，即可得等差数列。
【易错点】数列中项所满足的关系式，特殊赋值运用关系可求值。

【变式训练】
1．已知数列的前项和满足：，且，那么
【难度】★★
【答案】1

【例5】等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则其公比
【难度】★★
【答案】
【解析】，所以，，得
【易错点】利用整体思想可以不用求和公式，可回避讨论中计算的繁琐和易错。

【变式训练】
1．设是等比数列的前项和，若，，成等差数列，则公比等于
【难度】★★
【答案】

【例6】数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列，若 ，则数列也为等比数列。
【难度】★★
【答案】
【解析】根据等差数列与等比数列运算上的相似性，“和”“积”，“除”“开方”（代数平均几何平均）
【易错点】如果利用推导证明的方式会异常麻烦，找到对应运算和符号的类比变形即可。

【变式训练】
1．设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列，类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列。
【难度】★
【答案】，

【例7】在数列中，若，且，则
【难度】★★
【答案】
【解析】因为，所以，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故
【易错点】形如，两边取对数得，化归为熟知的问题求解。取对数实质就是降次，从而实现化归。

【变式训练】
1．数列满足，，则
【难度】★★
【答案】

【例8】设数列中，，，则数列的通项公式
【难度】★★
【答案】
【解析】设，则，代入得，即，代入已知递推公式化简得，由得，整理得，，从而，故解得
【易错点】观察递推式的结构特征，对复杂的局部进行换元。

【变式训练】
1．给定数列，，且，则
【难度】★★★
【答案】0
【解析】令，变成两角和的正切公式即可。

【例9】等差数列的前项和为，，，则的最大值是
【难度】★★
【答案】4
【解析】设，，即转化成线性规划问题即可。
【易错点】不等式的可加性只能整体进行。
【变式训练】
1．设等差数列的首项及公差分别为，，前项和为，且，则的最大值是
【难度】★★
【答案】6031
【例10】已知函数，且，则
【难度】★★
【答案】4032
【解析】由于三角函数的周期性，将进行分奇偶分组合并求和即可。
【易错点】根据问题的特征，通过连续的两个奇数项（或偶数项）并项求和，探索出题目中蕴含的规律性。
【变式训练】
1．数列满足，则的前60项和为
【难度】★★
【答案】1830





基础知识

题型与方法

易错题型






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